軸箱振動計算軌道不平順方法研究

汪忠海，羅晉楠，張濟民

（1.中車長春軌道客車股份有限公司上海工程技術研究中心，上海 310112；2.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

1 概述

軌道不平順指的是軌道的尺寸、形狀與理想位置的偏差[1]。它可以分為幾何不平順和彈性不平順，幾何不平順是指線路上沒有車輛運行工況下，軌道自身的不平順，而彈性不平順指線路上由車輛運行的工況下，軌道產生的不平順。軌道不平順狀態對車輛運行時的舒適度、噪音、安全等都有著重要的影響[2]。

目前，計算軌道不平順的方法主要有2種：慣性基準法和弦測法[3]。慣性基準法主要是根據獲取的加速度值換算成軌道的不平順位移，包括慣性位移法、軸箱加速度積分法等。弦測法主要是根據對位移量的測量結果換算出軌道不平順的位移，包括兩點差分法、三點中弦法等。國內外根據這些方法和原理，采取了不同的方式實現對軌道不平順的測量。當前，國內外已經開發出一些測量軌道不平順的設備[3?5]，如：德國的mbbmRM1200E，該設備安裝有多個接觸式探頭，設備沿軌道移動時探頭獲取鋼軌外形數據測量軌道不平順。但是該設備使用時需要緩慢推行，測量速度較慢；英國的CAT（Corrugation Analysis Trolley）測量設備，在小車上安裝加速度測量裝置，小車沿軌道行駛時測量與軌道接觸的加速度，經過換算從而得到軌道不平順，這種測量方法有測量快速、使用便捷等特點；我國的GJ?4 型檢測系統，通過激光攝像組件、加速度傳感器等部件采集的數據進行綜合分析，得到軌道不平順。

圖1 國外軌道不平順檢測設備Fig.1 Foreign Track Irregularity Testing Equipment

基于軸箱加速度對軌道不平順的狀態進行計算進行研究。通過慣性基準法，利用在車輛軸箱上安裝傳感器所測得的加速度，計算出軌道的不平順數據。通過慣性基準法測量得到的不平順數據是軌道的彈性不平順，其本質上是列車受到軌道不平順激勵之后輪對的位移，相比于使用軌道檢測設備檢測得到的軌道幾何不平順數據，彈性不平順對線路和車輛的評估更具有參考意義。同時該方法可以實現對整條運營線路的快速檢測，具有成本優勢和效率優勢。

2 數學模型

軌道的不平順其本質上是一個隨機過程，是里程的隨機函數[6?5]。軌道不平順通過輪軌剛性接觸向上傳遞所激發出軸箱的振動，是一種隨機振動[7]。軌道車輛一般使用剛性輪對，輪對自身剛度較大，車輪和軌道之間近似看作為剛性接觸[8]，即鋼軌的不平順偏移能夠直接的傳遞到車體的輪對和軸箱上，因此通過對軸箱加速度的換算可以得到軌道的不平順。目前可以加速度到不平順的計算主要分成兩種方法，一種是在頻域上對加速度信號進行處理并計算成頻域上的位移信息，再變換回時域；另一種是在時域上直接采用積分方式將加速度信號換算成位移信息。

基于頻域的軌道不平順計算方法，將軸箱加速度的時域信號轉換成為頻域的信號，通過計算可以得到頻域上的位移信號。假設采樣得到的離散隨機加速度信號為a（n），n=1，2……N?1。

首先通過快速傅里葉變換變換，可以將時域的a（n）信號換算成頻域信號A（k）：

k=0，1，2……（N?1），k點的頻率為：

式中：N—采樣點數；F—采樣頻率。

根據時域中積分法在頻域中對應的實現方法，可以將頻域中的加速度信號A（k）經過兩次積分得到位移的頻域信號Y（k）：

在對車體進行頻域的動力學計算或分析時，可以使用Y（k）作為頻域的軌道譜，如果需要時域的結果，可以通過傅里葉逆變換從而計算得到，并且由于計算使用復數域進行計算，因此在逆變換時不會丟失相位信息：

基于時域的軌道不平順計算方法，與頻域法近似，當獲取到軸箱加速度后，可通過時域上兩次積分從而獲得假設采樣得到的離散隨機加速度信號為a（n），n=1，2……N?1。

首先通過離散積分將加速度信號轉化為速度信號，之后再進行一次積分轉化成位移信號。對于離散點的數值積分方法有很多，如：中點公式，梯形公式，辛普森公式，復合辛普森公式等。

本文中以辛普森公式為例對離散信號進行分析。辛普森（Simpson）公式又稱為拋物型公式，其表達式為：

辛普森公式計算的誤差R［f］為：

其中，ξ∈(a,b)。

辛普森公式為3次代數精度的求積公式，即對于3次及以下次數的多項式，辛普森公式能夠保證其沒有誤差。對于測量得到的振動數據，其實質是一種隨機函數，因此使用辛普森積分必定存在誤差。但是辛普森公式相比于中點公式梯形公式，其代數精度較高。對于離散積分而言，代數誤差是不可避免的，綜合考慮到計算復雜性和誤差大小，一般使用辛普森公式進行離散積分。辛普森公式其本質相當于對當前計算的點和該點的前后點，共三點進行二次插值擬合，然后根據擬合后的函數進行積分計算，并對信號中每個點都進行該操作從而實現整體數據的積分。對原始信號使用更高階的公式進行離散積分，反而可能會由于對離散點的過擬合導致積分結果不準確。將a（n）兩次帶入辛普森公式，如式（7）所示。

式中：t—采樣間隔；v（k）—離散速度；y（k）—離散位移。

使用加速度傳感器進行積分時，加速度的誤差會累計，當速度積分成為加速度時，誤差會再次累計，累積的誤差會導致計算得到的位移產生連續的偏移，即趨勢項[9]。軌道不平順的值本應是離散的隨機函數，積分后的結果不應產生趨勢項，因此需要對積分計算得到的位移函數進行修正，去除其趨勢項。在實際操作中，可以在計算v（n）和y（n）積分后時分別去除其趨勢項，但是其實質與在y（n）處去除一個包含更高階次的趨勢項等效。這里直接去除y（n）的趨勢項，設定趨勢項階次為4階。設趨勢項δ的表達式為：

通過最小二乘法擬合y（n）確定A的值，如式（9）所示：

其中，

去掉趨勢項后即可得到修正后的結果，即軌道的不平順位移：

對加速度度信號積分后對計算結果進行濾波也可以消除加速度信號的誤差積累[10?11]，而文中使用通過對積分曲線擬合去除趨勢項的方法。兩種方法的目的都是為了去除加速度儀器測量時積累的誤差。此外，經過兩次積分后，理論上得到的位移信號和加速度信號會有180度的相位差，由于軌道的不平順是一組隨機序列，其中包含多個頻段，其波長不同，不同頻段的信號積分后因為相位差所導致的偏移量不同，因此也會造成一定程度上的誤差，但是該誤差僅在時域上體現，不會對功率譜的分析造成影響。

3 實驗及數據處理

為驗證第一章節所描述的兩種方法，在某大學軌道交通試驗線上進行實驗。本章主要介紹實驗數據的獲取和測量數據的預處理。實驗數據獲取，在試驗線軌道車輛模型的軸箱上安裝無線加速度傳感器進行實驗，該車輛結構和傳感器安裝位置，如圖2所示。

圖2 軌道車輛模型Fig.2 Rail Vehicle Model

正式測試前，將車輛模型靜置，記錄一組車輛不工作狀態時的加速度信息。然后，控制模型車輛電機按照恒定速度行駛，當模型車啟動至平穩運行后，開始記錄數據。

實驗數據預處理，在加速度傳感器使用時，由于傳感器自身的元器件屬性，設備和周邊環境等因素的影響，傳感器自身存在一定的零點漂移和噪聲誤差。若不對零點漂移進行處理，在兩次積分的過程中將勢必產生嚴重的誤差累積。因此在使用加速度測量結果計算軌道不平順前，需要對數據進行預處理以減少傳感器的誤差，濾除無效的數據。方框框出的部分即為車輛靜止狀態下測得的數據，右端為車輛啟動后的加速度信息，如圖3（a）所示。當車輛靜止時，實際測得信號均值發生了明顯的偏移，加速度信號均值為不為零，即發生了零點漂移。

圖3 數據處理前后加速度信號Fig.3 Acceleration Signal Before and After Data Processing

在對運行加速度的信號處理時，需要首先去除傳感器的零點漂移，即將車輛穩定行駛后測量的數據減去對應靜止時測量得到的加速度平均值。選取一段穩定運行后的數據進行處理，結果，如圖3（b）所示。

4 軸箱加速度信號分析

根據第二章的時域和頻域計算方法，分別對測量的加速度進行計算。通過時域法對軸箱加速度信號進行積分的結果，如圖4所示，虛線表示兩次積分后的位移，實線表示對該位移進行四次多項式擬合得到的趨勢項，橫坐標為采樣點數。對軸箱的垂向加速度計算得到的結果，如圖4（a）所示。對軸箱橫向加速度計算得到的結果，如圖4（b）所示。

圖4 位移積分結果及擬合曲線Fig.4 Integral Result of Displacement and Fitting Curves

可見，即使將信號的零點漂移去除，對加速度傳感器采集到的信號進行積分的過程中依舊會產生誤差的積累，因此在進行過零點漂移的修正后，去除趨勢項造成的誤差也是有必要的。圖4中δ即通過式（9）計算得到的趨勢項與對應采樣點之間的關系，將計算數值減去對應擬合結果進而得到不平順的修正結果，如圖6中實線所示。

將同一段數據通過FFT轉換到頻域上進行計算，得到加速度和位移結果，其功率譜，如圖5所示。圖5（a）為軸箱垂向加速度的頻域數據，圖5（b）為同一時刻軸箱橫向加速度的頻域數據。

圖5 頻域法中加速度和位移的FFT圖像Fig.5 Acceleration and Displacement FFT Result Calculated in Frequency Domain

頻域和時域內的計算結果對比，如圖6所示，其中圖6（a）是軌道橫向不平順位移，圖6（b）是軌道垂向不平順位移。實線是在時域內計算的結果，虛線是在頻域內計算的結果。不難發現，時域和頻域上的計算結果不平順幅值相近，但不平順分布具有一定的差距，特別是橫向加速度計算得到的結果相差較大，且在頻域計算得到的結果其不平順主要集中于低頻部分。這是因為在頻域中將加速度積分成位移信號的過程中，如式（3）所示，每個頻率對應的信號乘以轉換系數得到對應頻率下的位移信號。

對于高頻信號對應的系數很小，而低頻信號對應的系數則非常大。由于采樣點是離散的，采樣的過程中會造成真實數據的丟失，在對頻域信號進行積分的過程中，放大的信號不是真實的信號而是丟失了部分數據的采樣信號，最后導致積分的結果并不精確，所以通過頻域計算的結果中信號低頻能量較大，而高頻信號能量較低。將頻域的計算結果在反演回時域的信號后，信號的中高頻成分較少，如圖6虛線所示。實驗結果表明，相比于在時域上進行積分計算，頻域的計算效果不佳。

圖6 軌道不平順位移計算結果Fig.6 Track Irregularity Result Calculated in Time and Frequency Domain

影響列車動力學性能的頻率主要分布在低頻頻段，若計算出軌道譜的低頻信號發生失真，對會大大影響后續車輛動力學分析的準確性，建議在時域上計算軌道不平順。

5 結語

這里根據軸箱上的加速度信號，分別在時域和頻域內進行積分計算得到了橫向和垂向的軌道不平順。經試驗表明，軸箱上的加速度信號經過處理后能夠較好的反映出車輛行駛所經過軌道的不平順信息，并且在時域上通過積分和去除趨勢項計算得到的軌道不平順相比于頻域上的計算結果更加可靠，對車輛和線路的評估具有重要參考意義。