指令整形擴展控制對柔性臂抑振及靈敏度分析

馬鵬宇，任 豪，劉曉輝，彭榮貴

（1.長安大學高速公路施工機械陜西省重點實驗室，陜西 西安 710064；2.河南省信陽市公路管理局，河南 信陽 464000）

1 引言

機器人機械臂的精確定位和快速運動一直是人們所期望的目標，由于實際應用中系統都存在機構的振動現象，這就成為了其精準控制的難點[1?2]。為了解決這一問題，就必須降低機構在運動過程中產生的振動超調，使系統運行結束后的殘余振動為零或者接近于零，柔性機構的振動抑制問題也是一個非常活躍的研究課題[3]。指令整形是一種前饋控制技術，其原理是利用時滯脈沖響應的相互抵消實現振動的消除[4?6]。現有的相關研究只是針對傳統的ZV、ZVD 和EI三種整形器的設計分析[7?9]，但并未對擴展整形器進行振動抑制的研究對比，且機構運動結束時刻系統殘余振動較大，調節緩慢；雖也有利用導數法對整形器進行了改進和靈敏度的相關分析[10]，但只分析了單模態的靈敏度情形并未進行振動抑制效果的分析對比。

這里基于對簡單整形器進行脈沖序列擴展，采用易于實現的整形器級聯方法得到性能更加穩定的改進整形器。針對單連桿變截面柔性臂系統，通過將輸入信號規劃為三段式梯形速度，并采用4種擴展整形器對輸入信號進行整形，即可實現系統殘余振動的抑制，很大程度上減小了系統穩定時間，增加了整形器的魯棒性。另外，對4種擴展整形器的單模態和多模態靈敏度進行研究，得到了各擴展整形器的魯棒性和多模態振動抑制頻率比的規律，可為擴展整形器的設計和振動模態抑制提供依據。

2 指令整形擴展計算方法及仿真

2.1 指令整形法的擴展計算方法

指令整形法是依據系統的固有頻率和阻尼比得到一系列脈沖信號，將脈沖信號與系統的輸入信號進行卷積后作為新的信號輸入系統，即可有效抑制系統的殘余振動。系統在脈沖序列作用下的殘余振動響應為[7]：

式中：n—脈沖數；Ai—脈沖幅值；ti—脈沖作用時間阻尼振動頻率。

要使得殘余振動為零，必須滿足下式：

傳統指令整形法的ZV整形器（包含2個脈沖），由式（2）和約束條件t1=0，∑Ai=1可解得ZV整形器的脈沖參數如下：

實際應用中，一方面要依據系統本身特點及輸出響應情況，另一方面為了提高系統參數存在誤差時輸入整形器的魯棒性，需要合理地增加脈沖序列的個數。因此，提出來一種基于現有指令整形法的擴展改進方法，將ZV整形器擴展為n脈沖的整形器，只需脈沖序列參數滿足式（4）即可抑制柔性系統的殘余振動，將其稱為改進的ZV輸入整形器。

其中，K=e?(2ξπ/(n?1?ζ2))；M=K+K2...+Kn?1。

ZV整形器在系統特性參數無誤差情況下可以有效的消除殘余振動，為使在系統特性參數存在可控誤差時，也可以有效的抑制系統的殘余振動，應對ZV輸入整形器施加額外的約束，使得殘余振動V（ω，ζ）對頻率ω的導數在被控對象固有頻率ωn處為零，即可得到魯棒性較好的ZVD輸入整形器（包含3個脈沖）[7]。這里方法的不同之處在于：改進的指令整形法是通過卷積兩個任意脈沖數的ZV整形器來獲得改進的ZVD整形器，這樣就對其脈沖數進行了擴充，抑制振動的效果和穩定性得到提高。以2×3脈沖的改進ZVD 整形器（包含6 個脈沖）為例，如圖1 所示，所形成的ZVD整形器的6個脈沖參數滿足式（5）。

圖1 整形器的卷積過程Fig.1 Convolution of Shaper

式中：K=e?ζπ/(31?ζ2)；M=K2+K3+K4+K5+K7。

2.2 柔性機械臂的動力學模型

柔性機械臂的物理模型，如圖2所示。XOY為全局坐標系，xoy為隨柔性機械臂轉動的隨動坐標系。角位移θ(t)為柔性機械臂旋轉的角度，E、I、A、ρ、L分別代表楊氏模量、慣性矩、橫截面積、密度、總長度。U為扭矩，設U=m(x,t)。軸套半徑為r。y(x,t)代表柔性機械臂末端的振動位移。將變截面梁等效成無窮多個均勻的等截面梁的組合，如圖3所示。

圖2 柔性機械臂物理模型Fig.2 Physical Model of Flexible Manipulator

圖3 單連桿柔性機械臂模型Fig.3 Models of a Single?Link Flexible Manipulator

由振動力學[5]得變截面柔性梁的橫向振動微分方程：

根據振型截斷法[5]得機械臂彈性變形為：

由振動力學[5]得每段等截面梁的振型函數為：

令r=EI″(x)/ρA(x)且m(x,t)=0，式（6）可寫為：

式（10）中參數x和t相互獨立，令等式兩邊同時等于常數ω2，上式仍成立，式（10）被寫為：

式中：ω—機械臂的固有圓頻率。將式（10）和式（11）聯立化簡可得：

對式（12）的等號兩邊同乘以Yj(x)并積分得：

根據正交性條件[5]和式（13）可到旋轉扭矩作用下的柔性機械臂振動微分方程，考慮系統的結構阻尼因素，假設系統的模態阻尼比為ζi，并寫成輸入輸出的形式[5]：

現將作用在柔性機械臂上的力矩看作集中力距，則力矩m(x,t)可寫成[5]：

式中：δ(?)—狄拉克函數，ξ—受力點到電機軸心O點的距離。

將式（15）代入式（14）并根據δ(?)導數的篩選性質[5]得：

機械臂的力矩是由慣性力產生，慣性力的等效作用點是機械臂的質心，由數學知識知如圖2的機械臂的質心離軸心的距離ξ為：

式中：r—軸套半徑；L—變截面梁的總長；b0,b1—梁的固定端x=0和懸臂端x=L處橫截面的高度；b2—機械臂夾具長度。

由于力距M(t)是角速度ω0的函數，式（16）中的M(t)和Yj′(x)可寫成：

將Yj′(x)換成Yi′(x)，且記：

則式（16）改寫為：

將柔性機械臂的終端振動位移y作為系統的輸出響應，將式（20）轉化為狀態空間表達式：

表1 柔性臂參數表Tab.1 Flexible Arm Parameter Table

根據主振型正則化[5]和式得柔性機械臂系統的輸入為角加速度信號，輸出為機械臂末端振動位移的傳遞函數：

2.3 指令整形擴展的振動抑制仿真

通過實驗衰減法測得柔性機械臂的動態特性參數：一階模態的固有頻率為ω=25.041rad/s；阻尼比為ζ=0.026。文獻[11]根據數值仿真得出，驅動力矩頻率不高的時候，取前一階模態可滿足精度要求。因此這里只研究單連桿柔性機械臂的第一階振動模態。

在仿真時將輸入的角速度信號經整形器整形后再經過微分器變成角加速度信號輸入到系統中，輸入信號和整形后的信號如圖5所示。系統仿真模型包括輸入信號模塊、四個整形器模塊、系統模塊、輸出模塊，具體模型，如圖4所示。

圖4 仿真模型Fig.4 Simulation Model

根據機械臂的特性參數及式（4）和式（5）可求得各整形器脈沖的幅值Ai和作用時間ti。下面以2脈沖的ZV整形器、3脈沖的改進ZV 整形器、（2×2）脈沖的改進ZVD 整形器、（2×3）脈沖的改進ZVD 整形器為例進行仿真分析。各整形器脈沖序列設計參數，如式（6）~式（9）：

2脈沖ZV整形器：

3脈沖改進ZV整形器：

2×2脈沖改進ZVD整形器：

2×3脈沖改進ZVD整形器：

針對圖3 中的機械臂系統，輸入信號設置為梯形速度信號（加速?勻速?減速），經微分變為角加速度信號后輸入到系統模型中。初始信號和經過ZV整形器整形的信號，如圖5所示。縱坐標為輸入角速度，機械臂末端的振動輸出響應，如圖6所示。

圖5 系統輸入信號Fig.5 System Input Signal

圖6 系統輸出響應Fig.6 System Output Response

將各整形器整形后的信號輸入到柔性臂系統得到的仿真結果，如圖7、圖8所示。

圖7 改進ZV整形器輸出響應Fig.7 Improved Output Response of ZV Shaper

圖8 改進ZVD整形器輸出響應Fig.8 Improved Output Response of ZVD Shaper

圖6中，當輸入信號加載給系統時，系統在輸入信號結束后的3.13s時，機械臂末端存在2.76e?3m的殘余振動。

由圖7知，加入ZV整形器和改進的ZV整形器后，機械臂運動結束后的3.04s時機械臂末端分別存在4.76e?5m和3.98e?5m的殘余振動。

相比未加輸入整形器的殘余振動，系統殘余振動分別減少了98.27%和98.56%。同時注意上述整形器加入之后系統的超調以及調節時間各不相同，加入改進整形器后系統只在兩斜坡信號段出現超調，系統超調分別減小了46.86%和47.1%。

由圖8知，加入2×2脈沖改進ZVD整形器和3×3脈沖改進ZV整形器后，機械臂運動結束后的3.06s時和3.28s時機械臂末端分別存在8.39e?5m和4.44e?5m的殘余振動。

相比未加輸入整形器的殘余振動，系統殘余振動分別減少了96.96%和98.39%。系統超調分別減小了46.35%和46.99%。由此說明對整形器的擴展是合理且有效的，增加脈沖序列不但有效地消除系統殘余振動，而且可以減小系統超調。

3 指令整形擴展的靈敏度分析

在整形器的設計中，靈敏度是評價整形器性能的主要指標。整形器的魯棒性可以用靈敏度曲線定量地表示，表示了系統固有頻率發生變化時對整形器抑制系統振動的影響[9?10]。

靈敏度曲線上在某個殘余振動水平范圍下的曲線的寬度稱為整形器的不敏感度，一般情況下整形器的振動幅度限制為5%。靈敏度曲線表示了系統抑制的振動與未抑制的振動的比值，用最后一個脈沖結束時殘余振動的百分比表示，曲線的橫軸為頻率比ωn，縱軸為殘余振動百分比。輸入整形器的靈敏度V（ωn，ζ）的計算公式表示為式（27）：

式中：ωn—系統實際固有頻率與模型計算得到的頻率的比值。靈敏度曲線的寬度決定了整形器的不敏感度，曲線的寬度越大其不敏感度就越高，魯棒性也就越好。

對進行靈敏度仿真，改進ZV整形器的靈敏度曲線，如圖9所示。其設計參數為式（6）和式（7），一般以5%的殘余振動為界線，根據上面的曲線圖可以看出，2脈沖和3脈沖改進的ZV整形器的靈敏度曲線在頻率橫軸上的映射寬度分別為1.65和2.46，這表明3脈沖的ZV整形器的不敏感度比2脈沖的要稍高一些，也即3脈沖的ZV整形器魯棒性要稍好；同時，分析圖10可得，兩個ZV整形器不僅可以抑制頻率比為1的模態振動，而且可以抑制某些特定頻率比的有限振動模態。例如3脈沖改進ZV整形器由于增加了脈沖數，還可以抑制頻率比為2的振動模態。

圖9 ZV整形器的靈敏度曲線圖Fig.9 Sensitivity Curve of ZV Shaper

圖10 ZV整形器的靈敏度曲線Fig.10 Sensitivity Curve of ZV Shaper

然后對改進后的ZVD整形器靈敏度曲線進行仿真分析，其設計參數為等式（8）和等式（9），相應靈敏度曲線，如圖11~圖12所示。

圖12 ZVD整形器的靈敏度曲線Fig.12 Sensitivity Curve of ZVD Shaper

分析可知，圖11中2×2脈沖和2×3的改進ZVD 整形器的殘余振動曲線與5%限制界線的交點在橫軸上的頻率寬度分別為7.56和7.91，也就表明2×3脈沖的ZVD整形器魯棒性要好。圖11中兩個ZVD整形器不僅可以抑制頻率比為1的模態振動，2×2脈沖ZVD整形器還可以抑制頻率比為1、3、5、7的振動模態，2×3脈沖ZVD整形器可以抑制頻率比為1、2、3、4、5、7的振動模態。

圖11 ZVD整形器的靈敏度曲線Fig.11 Sensitivity Curve of ZVD Shaper

所研究的4個整形器的靈敏曲線整合，如圖13所示。比較可知，無論是哪種整形器，只有當系統的頻率比為1時，系統的殘余振動才可以被完全消除；以殘余振動5%為界線，上述整形器的靈敏度曲線在橫軸上的頻率寬度范圍依次為1.65、2.46、7.56、7.91，由此可看出，2脈沖和3脈沖的ZV整形器以及2×2脈沖和2×3脈沖的ZVD同類型整形器的魯棒性相差不是很大，但與ZV整形器同脈沖數的改進ZVD 整形器的靈敏度頻率寬度范圍大約是ZV整形器的3倍，相比來說，這就表明ZVD整形器的魯棒性更好能夠適應參數的小誤差。但是，ZVD整形器的作用時間是ZV整形器的約2倍，也說明了增加脈沖提高魯棒性的同時，要犧牲系統的作用時間。

圖13 整形器的靈敏度曲線Fig.13 Sensitivity Curve of Shaper

4 結論

基于傳統指令整形對整形器進行了擴展改進以及系統輸出響應的仿真分析，并對其靈敏度進行實例仿真對比。結果表明：

（1）對柔性機械臂運用指令整形擴展方法并且采用三段式梯形輸入信號后，在機構運動結束時刻能有效消除殘余振動平均達97.97%以上，而且系統運動超調平均降低達46.81%以上。

（2）應用指令整形時只有當被控對象的實際固有頻率與建模頻率相等時，系統的殘余振動才能被完全消除；在5%殘余振動條件下，ZV整形器通過增加脈沖序列的個數可以增大振動模態抑制的頻率比范圍，且對（m×n）脈沖ZVD整形器，能夠抑制頻率比為k（k不等于m和n的最小公倍數）的振動模態，且隨著頻率比值的增大，對殘余振動的抑制效果也逐漸變弱。

（3）增加脈沖序列的脈沖數可以提高整形器抑振的魯棒性，但其作用時間會相應增加。綜合分析對比知改進的2×2 脈沖ZVD整形器有較好的全面性能。因此，合理選擇整形器及脈沖序列數可以很好的抑制系統的殘余振動且提高魯棒性，實現最好的綜合性能，同時也為柔性機構振動抑制中整形器的設計和選擇提供了依據。