布谷鳥算法在同軸度誤差評定中的應用

許家赫，陳岳坪

（廣西科技大學機械與交通工程工程學院，廣西 柳州 545006）

1 引言

同軸度作為機床主軸、箱體等零件的重要位置度精度指標，其誤差值的大小直接影響主軸的回轉精度及機床運行的穩定性，對于保證和提高機床產品質量有重大意義。同軸度誤差表現為被測物體軸線相對于設定的基準軸線的變動量的大小。在同軸度誤差中包含有基準軸線問題和被測截面圓心位置問題，國外學者多將其歸類于圓度問題和圓柱度問題進行討論[1]。文獻[2]在最小區域法基礎上利用網絡法求解基準軸線誤差；文獻[3]在最小二乘法基礎上利用二分迭代法，實現了對位置度誤差的在線高效評定；文獻[4]利用滿足最小區域的最佳脊線法對圓度、同軸度進行誤差評定，但文中只列舉圓度，并未進行同軸度評定；文獻[5]利用粒子群算法對誤差模型進行評定，但實例計算依然應用最小二乘法和簡化算法。以最小包容區域為準則，將布谷鳥算法用于同軸度誤差評定，通過實例驗證，證明算法的精確性和有效性，并給出可視化圖進行參考。

2 構建目標函數模型

2.1 同軸度誤差

同軸度誤差指實際被測物體軸線相對于理論基準軸線變動量，其公差帶形狀是直徑為公差值且與基準軸線同軸的圓柱內區域，如圖1所示。其中，S—實際被測軸線。

圖1 同軸度公差帶示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Coaxiality Tolerance Zone

2.2 基準圓柱軸線方程

從最小包容區域準則[6]出發，同軸度誤差評定的關鍵在于理想軸線與被測軸線延長線的相對位置，因此分別建立基準圓柱軸線方程和實測截面圓心軸線方程。

設基準圓柱軸線方程:

式中：（a，b，c）—軸線上一點坐標參數；p、q、r—其方向向量。

設基準圓柱上某測點B={B i=(x i，y i，z i)，(i=0，1，2…)}，該測點與基準軸線距離為：

式中：di—測點與基準圓柱的距離。

因此該測點到基準軸線距離為：

式中：dmax、dmin—基點到基準軸線的最大和最小距離，該問題為連續型求解非線性優化問題，寫出其適應度函數：

2.3 確定實測被截圓的軸線方程

設實測圓柱第j個截面圓心坐標（xcj、ycj），則截面圓方程：

式中：下標j為被測截面圓柱的索引；xcj、yc j—第j個圓截面圓心坐標，圓心在z軸坐標值與截面z方向坐標值大小相同。

設實測界面上某點坐標B'={B'i=(x'i,y'i,z'i),(i=0,1,2,…)}，則該點坐標到理論圓心點距離：

被測截面圓心軸線所在位置：

式中：d’max，d’min—被測截面測點到理想圓心位置的最大、最小距離。

該問題為連續型求解非線性優化問題，寫出其適應度函數：

求出了基準軸線位置和被測截面圓心位置，利用式子（2），計算基準軸線與圓心位置最大距離的2倍，式中f mz即為所求同軸度誤差值：

3 布谷鳥優化算法及操作步驟

3.1 布谷鳥算法與萊維飛行

布谷鳥搜索算法[7]（Cuckoo Search algorithm，CS）是一種啟發式算法，通過對布谷鳥寄生育雛的生存行為，再對果蠅和鳥類等的飛行機制進行結合，創造出的尋優算法，它是由劍橋大學的Yang和Deb等人于2009年共同開發。CS的關鍵設置參數極少，只需設置外來鳥蛋被發現概率和種群數目，該算法使用萊維飛行準則，有很好的全局尋優能力，且整個操作流程簡潔易于實現，因此廣泛應用于各個領域。

自然界中鳥類多具有萊維飛行的特征，由高頻率短距離飛行與低頻率長距離飛行構成，本質上是一種隨機游走過程。在搜索前期大步長能夠增加種群多樣性并擴大搜索范圍，易于全局最優解的搜索；在搜索后期，小步長能縮小搜索范圍，有利于搜索精度的提高，能在小范圍內收斂于全局最優解。

3.2 算法實現三假設

在自然界中布谷鳥會隨機飛行尋找鳥巢，為了方便進行模擬算法進行了如下假設:

（1）設定每只布谷鳥每次只會產出一個蛋，并且進行隨機搜尋鳥巢孵化。（2）隨機搜尋的鳥巢中，優質的會被流傳給下一代。（3）每一代可供選擇的總鳥巢數是一定的，鳥巢主人發現外來鳥蛋的概率Pa∈［0，1］，當鳥巢主人發現后，會放棄該鳥蛋或重新建立鳥巢。

基于上述假設，布谷鳥在游時采用隨機游走和Levy fights隨機游走相結合的方式，其搜尋鳥巢位置和飛行徑按如下方式更新：

更新鳥巢方式是根據萊維飛行準則[9]產生的，設為第i個鳥巢第t位置，其位置更新公式：

當宿主發現外來鳥蛋，另選新巢時，采用如下方式進行更新位置：

3.3 算法性能測試

為了驗證粒子群算法與布谷鳥算法的精度和有效性，可通過表1所示5個經典函數進行測試，觀察兩種算法在收斂速度和精度上的差異。其中f1-f3為單峰函數，f4-f5為多峰函數。設置測試種群數為30，維數d=20，規定各變量范圍[-20，20]，最大迭代次數為2000，收斂精度ξ=10-5，每個函數運行30次，測試函數，如表1所示；結果如表2所示。該數據選自文獻[10]。

表1 標準測試函數Tab.1 Standard Test Function

表2 PSO與CS仿真情況對比Tab.2 Comparison of PSO And CS Simulation

成功次數代表了成功率，由表2可知CS算法明顯好于PSO算法；從迭代次數上看，雖然PSO收斂速度快，但是犧牲了成功率，對于優化算法來說，成功率至為重要；從平均最優值和最優值標準差上看，CS算法所得出的結果明顯優于PSO算法，而且精度更高，因此從總體性能上看，CS算法是優于PSO算法的。

3.4 同軸度誤差評定實現步驟

（1）進行參數設置。設置種群最大規模D=2000，布谷鳥蛋被發現的概率pa=0.25%，需要連續優化的變量個數是6個，所以設置為6維，最大函數評估次數10000，步長一般設置為α=0.01，搜索收斂精度ξ=10-5。

（2）初始化種群。隨機生成6個D維向量X=(X t，1，X t，2…X t，D)為初始鳥巢可行解。將式（4）和式（8）帶入，作為待優化的適應度函數。計算每個鳥巢目標函數值并進行比較，得到當前最優值。

（3）利用萊維飛行準則式（10）和式（11）對除最優質鳥巢以外的其他鳥巢進行狀態和位置更新，計算求得新的目標函數值并與當前最優函數值進行比較，留下最優值并進行位置更新。

（4）當位置更新后利用隨機數r與pa進行比較，若r>pa則根據式（12）更新一次鳥巢位置，否則位置不變。

（5）若滿足最大搜索次數和收斂精度，將結果輸出，即為所求最優鳥巢位置，否則繼續進行（3）。

4 實例驗證

以上介紹了同軸度誤差評定的算法和步驟，通過對一個圓柱實測零件進行驗證，數據來源文獻［11］，如表3、表4所示。

表3 基準圓柱面輪廓測點數據Tab.3 Datum Cylindrical Contour Measuring Points

表4 被測圓柱面截面輪廓測點數據Tab.4 Data of Measured Points of Cylindrical Section Profile

文獻[6]中對該組數據用最小二乘法和簡化算法進行了計算所得同軸度誤差為0.0238mm，文獻中粒子群所得的同軸度誤差為0.0213mm，經過布谷鳥算法處理所得誤差為0.018024017456277mm，對應基準軸線參數和各算法結果，如表5所示。

表5 不同算法評定結果比較Tab.5 Comparison of Evaluation Results of Different Algorithms

根據數據對比得出：對于同軸度誤差評定，運用布谷鳥尋優算法，使所得結果計算精度更高更準確，誤差值更小，對誤差的評定效果更好，尋優值更加穩定，如圖2所示。

圖2 布谷鳥算法收斂曲線圖Fig.2 Convergence Curve of Cuckoo Algorithms

由圖中可以看出，布谷鳥算法能夠滿足全局收斂性要求，具有局部搜索和全局搜索能力，沒有出現陷于局部極小值和尋優后期大范圍震蕩的現象，計算結果快速而準確。為了更直觀形象的描述同軸度誤差分布，找到誤差產生原因，對評定結果進行了可視化處理，如圖3所示。

5 結論

建立了滿足最小條件準則的同軸度誤差評定模型，通過使用布谷鳥尋優算法，有效地解決了連續型非線性約束優化問題。該方法能精準地計算出同軸度所需各項參數值，同時提高了計算結果的精度，并給出了與PSO算法比較值，更能體現出該算法的有效性，最后實現了同軸度誤差的評定。