含執行器飽和主動懸架反饋控制的LMI方法

曹青松，易 星，許 力

（江西科技學院機械工程學院，江西 南昌 330098）

1 引言

主動懸架系統是在被動懸架系統中附加一個可控作用力裝置，能夠根據不同的路況主動并實時地產生所需的控制力，能使系統始終處于最佳的工作狀態，已經越來越廣泛使用在軍用車、高檔乘用車上。主動懸架執行器飽和現象作為其常見非線性現象之一，會大大降低系統的控制性能，甚至會導致系統不穩定。陳士安等采用LMI方法設計主動懸架H2控制器，通過多工況數值仿真驗證控制器對提高車輛側傾安全的良好效果[1]。文獻[2]綜合考慮半主動懸架座椅系統的參數不確定性、作動器飽和時滯問題，建立人體垂直振動模型，利用Lyapunov函數及LMI方法設計狀態反饋控制器。文獻[3]針對廣義系統、切換系統以及大規模分散系統等具有執行器飽和的典型控制系統，研究在輸入飽和情況下的吸引域估計方法和干擾抑制問題。文獻[4]通過描述函數法表達死區飽和特性，給出確定含有死區飽和的非線性系統PID控制器參數的穩定域方法。文獻[5]慮作動器飽和、外部干擾及參數不確定性因素，采用帶約束的自適應控制策略，研究車輛主動懸架隔振問題。文獻[6]考慮作動器失效及飽和對主動懸架系統的影響，設計自適應H∞控制器，分別在狀態反饋和動態輸出反饋條件下通過對系統失效率的實時估計，實現對作動器自適應補償控制。文獻[7]研究主動懸架靜態反饋控制問題，考慮主動懸架撓度、作動器飽和等因素，采用基于變量替換的靜態輸出反饋方法設計控制器，通過線性矩陣不等式進行優化。文獻[8]考慮主動懸架的參數不確定性、路面擾動和作動器飽和，采用神經網絡對系統輸入輸出數據進行狀態估計，設計基于粒子群優化算法的含飽和輸入的狀態反饋控制器。文獻[9]采用神經網絡研究含執行器飽和的主動懸架自適應控制器，通過backstepping技術和障礙Lyapunov函數方法解決系統約束問題。基于上述研究背景，建立具有執行器飽和的主動懸架系統狀態空間模型，確定含執行器飽和的主動懸架系統的橢圓不變集條件，估計系統的收斂域大小，采用LMI方法設計含執行器飽和的主動懸架反饋控制律。

2 含執行器飽和的1∕4車體主動懸架數學模型

將1∕4車體主動懸架系統簡化為具有彈簧、阻尼器和執行器的二自由度振動系統，如圖1所示。圖中：x1、x2—車身垂直位移和懸架垂直位移；x0—路面輸入量；m1、m2—簧上質量和簧下質量；k1、k2—懸架彈簧剛度和輪胎剛度；c—等效懸架阻尼系數；u—執行器產生的作動力。

圖1 1∕4車體主動懸架系統模型Fig.1 The Model of Active Suspension System for 1∕4 Vehicle Body

由圖1可推導出1∕4車體主動懸架系統的運動方程如下：

考慮執行器具有非線性飽和現象，sat：u∈Rm→Rm是標準的飽和函數向量，則：

飽和函數示意圖，如圖2所示。圖中：umax、umin—飽和上下限值；xi、xj—對應的自變量值。作動力未達到飽和時，其曲線呈線性或非線性變化；當達到飽和時，其曲線保持恒定值。建立含執行器飽和的主動懸架系統狀態空間模型如下：

圖2 飽和函數示意圖Fig.2 Diagram of Saturation Function

3 含執行器飽和的主動懸架系統不變集條件分析

系統（4）是一個非線性系統，研究它在原點的平衡點附近的收斂區域，即曲線收斂到原點的所有相容的初始條件的集合。通過以下形式來估計收斂區域：

其中，P1∈R q×q是正定矩陣，ε(P1，1)是一個具有收縮性的橢圓不變集：

定義D為所有m×m對角線上元素為1或0的對角矩陣的集合，有2m個元素，假定D中的元素表示成Ds，s∈[ 1，2m]。

定義Di=I-D i，顯然，如果D s∈D，那么D-s∈D。

給定F，H∈Rm×n。那么，對于任意的x∈ζ(H)，存在：

其中，co—凸集合。

根據上述Ds和co的描述，將Ds定義為系統執行器的飽和度，即執行器可輸出的最大作用力占其額定值的比例。

考慮具有以下形式的非奇異矩陣：

其中，P1∈R q×q，P4∈R(n-q)×(n-q)是非奇異矩陣。

由此，給出橢圓ε(P1，1)的不變集條件，即給定矩陣P1>0，如果存在一個形如上述P矩陣和一個H∈Rm×n，使得：

且ε(EP，1)?ζ(H)，那么閉環系統在ε(EP，1)中是正則、無脈沖的，即ε(P1，1)是一個具有收縮性的橢圓不變集。

4 含執行器飽和的主動懸架系統穩定性分析與反饋控制律設計

將具有執行器飽和的主動懸架系統收斂域問題歸結為求解一個最大且具有收縮性的橢圓不變集ε(P1，1)。定義一個形狀參考集合X R和目標值α，求解最大的α，并使得X R?ε(P1，1)，去接近橢圓不變集ε(P1，1)的大小。因此，通過以下優化算法求解最大的橢圓不變集ε(P1，1)。

考慮形狀參考集合是橢圓，即：

那么，約束（1）等價于

進一步，通過Schur補定理，可以等價于

約束（2）等價于

式中：h1i—H1的第i行。

定義：

g1i表示G1=H1Q1的第1行。在橢圓作為形狀參考集合X R的情況下，式（8）可轉換成求解LMI，算法如下：

為使得具有執行器飽和的主動懸架系統具有盡可能大的橢圓不變集，應對反饋控制律F進行優化。進一步改進LMI算法，將其轉化成F的優化設計，將F視為額外的一個優化參數，定義M=FQ，式（16）變換成

則優化后的F通過F=M Q-1求解。

5 實例仿真分析

5.1 仿真參數與計算步驟

5.1.1 系統仿真參數

用于實例仿真的主動懸架系統參數，如表1所示。

表1 主動懸架仿真參數Tab.1 Simulation Parameters of Active Suspension

5.1.2 計算與仿真步驟

（1）根據系統狀態空間方程（4）和系統仿真參數，確定系統模型系數矩陣或向量。

（2）設定飽和度Ds值及初始控制律F，通過LMI算法，求解初始狀態下的系統最大橢圓不變集。

適宜性分值銜接了空間開發限制性與建設用地空間管制[15]，即適宜性等級評價中最適宜區為非強限制區與較強限制區，得分最高的疊加區域，該區域宜劃入適建區；特別不適宜區分布在強限制區內，該區域應劃入禁建區；不適宜區處于非強限制區與較強限制區得分最低的區域，該區域宜劃入限建區；基本適宜區雖然不在強限制區內但適宜性分值并不高，可根據具體情況將分別劃入適建區、限建區。

（3）根據（1）和（2），建立Simulink模型，觀測系統輸入與輸出。

（4）設置某一飽和度Ds值，將控制律F作為參數變量，利用LMI算法進行優化，得到最優控制律F和最大橢圓不變集。

（5）設置不同飽和度Ds值，求解其對應的最優控制律F。

5.2 結果與分析

5.2.1 求解初始狀態，分析系統穩定性

為驗證含飽和的主動懸架系統滿足不變集條件，根據仿真參數及狀態空間模型（4），以階躍信號作為路面輸入，設置飽和度Ds=1，初始控制律F=［-1，-6，-1，-3］，采用LMI算法進行仿真求解，得到系統初始橢圓不變集ε(P1，1)，如圖3所示。

圖3 初始F下的系統橢圓不變集Fig.3 Elliptic Invariant Set of System for Initial F

由圖3可知，主動懸架系統的不變集ε(P1，1)是個橢圓，證明具有執行器飽和的主動懸架系統滿足不變集條件，進一步表明系統是收斂的，且具有一定的穩定區域。

同時，為觀測初始控制律F下系統的輸入輸出響應情況，在Simulink中建立系統仿真模型，觀測主動懸架系統簧載質量的位移x1和加速度a1，如圖4、圖5所示。圖中：L1—階躍路面激勵；L2—系統簧載質量位移；L3—系統簧載質量加速度；L4—執行器加速度。

圖4 路面階躍激勵與簧載質量位移曲線Fig.4 Curves of Road Step Excitation and Sprung Mass Displacement

圖5 簧載質量與執行器加速度曲線Fig.5 Acceleration Curves of Sprung Mass and Actuator

5.2.2 求解控制律F，優化橢圓不變集

為增大系統收斂區域，設置飽和度Ds=1，把F視為設計變量，通過LMI算法求解得到優化后的最大橢圓不變集ε(P1，1)，如圖6所示。比較圖3和圖6，通過把F視為設計變量對系統進行優化，使得橢圓不變集ε(P1，1)有了明顯的增大，并求得最大橢圓不變集對應的控制律F。

圖6 優化后的最大橢圓不變集Fig.6 Maximum Ellipsoidal Invariant Set After Optimization

以最大橢圓不變集為前提，進一步研究不同飽和度Ds對控制律F的影響，選取不同的Ds值進行仿真，不同Ds下的控制律F仿真結果，如表2所示。當系統飽和度Ds不同時，控制律F也不同，隨著Ds減小，控制律F值隨之增大，即當執行器能夠提供的最大作用力占其額定輸出力的比例越小時，系統需要提供更大的反饋增益來盡可能滿足系統的需求。此外，通過LMI求解的最大α和γ值不變，即表明將控制律F作為設計變量時，系統橢圓不變集的最大值不變且唯一。

表2 不同Ds下的控制律F仿真結果Tab.2 Simulation Results of Control Law F with Different Ds

6 結論

建立了含執行器飽和的1∕4車體主動懸架系統動力學模型，確定了系統橢圓不變集條件，通過LMI方法分析系統的穩定性，并將控制律作為設計變量，得到優化后的控制律。該控制律能顯著增大系統的橢圓不變集，且當改變執行器飽和度時，控制律也隨之改變，可得到不同飽和度下的控制律。所研究的主動懸架反饋控制律設計方法，可為改善執行器非線性不利影響提供參考，為高性能主動懸架系統研制奠定理論基礎。