一種基于彈道曲線模型的脫靶量測試方法

陳 松， 李磊磊

(中國兵器工業試驗測試研究院，陜西 華陰 714200)

近年來國家致力于捍衛領海、領空、領土的主權，脫靶量作為靶場測試中實現射擊和制導等武器裝備鑒定評估的重要性能指標之一，對于國家的軍事實力發展有著舉足輕重的作用。因此，隨著武器系統向智能化、高精化且多樣化的方向發展，脫靶量測試設備須隨著武器系統的發展要求不斷提高其性能。

脫靶量測試設備通過獲取靶標位置、彈丸位置和爆炸距離等信息，得到引信驗收技術條件中規定的脫靶量極限值[1]，從而保證彈丸的有效威力以引爆彈藥。傳統脫靶量測試法[2]相對成熟，但受測試原理的局限，其精確度難再提高。國外于20世紀50年代就開始脫靶量測試技術的研究，隨著脫靶量測試技術的發展和完善，空中目標的脫靶量測試大多采用光學測試方法[3-4]和無線電測試方法[5]。脫靶量測試可分成基于運動坐標系和基于地面坐標系這兩類。前者測試過程較煩瑣，且測試成本偏高。而后者的測試設備往往較笨重，不方便移動，并且測試設備的采樣頻率較低，往往導致測試誤差較大。因此，筆者致力于尋求不同的測試方法進行脫靶量測試以滿足武器測試需求，以求獲得精度更高的脫靶量參數。隨著雙目立體視覺的不斷發展，因其具有非接觸、實時性、可視化、自動化、智能化等優點，在三維測繪和實時檢測中具有廣泛的應用前景，許多學者開始專注基于雙目立體視覺的三維重建研究。雙目立體視覺[6]最初是由MIT的Roberts通過從圖像信息中提取出對應的三維結構，并對其進行描述，從而將二維圖像推廣到三維場景。日本大阪大學研究基于雙目視覺的自適應伺服系統僅要求兩幅圖像中存在靜止參考標志，通過像素周圍局部特征匹配[7-9]的約束特點實現對動作方式未知的目標的自適應跟蹤[10]。特征匹配以灰度相似性為基礎，輔以極線幾何約束及其他約束進行搜索，Beardsley等[11]利用角點特征相關性匹配，借助SVD(Singular Value Decomposition,奇異解分解)的匹配結果，從而獲得基礎矩陣。在863計劃中，利用雙視點投影光柵三維測量原理實現對人體三維尺寸的非接觸測量[12]。近年來，為了解決武器靶場中飛行彈丸脫靶量高效求解的問題，通過兩臺高速攝像機組成雙目立體視覺測試系統對彈丸和靶目標進行識別和定位，實現彈丸飛行軌跡的曲線擬合。但是雙目立體視覺模型需要提供更多約束信息以提高立體匹配的精度[13]，同時建立具有目的性且面向任務的雙目立體視覺系統仍存在許多問題需要解決。

為此，筆者提出了一種基于雙目立體視覺的彈道曲線模型脫靶量測試方法。在飛行彈丸與靶標遭遇過程中，采用雙目立體視覺對高速運動彈丸的坐標提取模型進行建模。詳細闡述了彈丸飛行過程中彈道曲線模型的建立，采用考慮重力加速度及其他因素影響的非線性擬合方法實現彈丸的識別、定位，最后解算近炸引信的靶標爆炸瞬間彈丸的脫靶量參數，并通過實驗對提出的雙目立體視覺方法進行了驗證。

1 飛行彈丸脫靶量測試模型

筆者研究了彈與靶標遭遇過程中，由近炸引信起爆彈摧毀靶標的爆炸瞬間，其彈丸中心到靶標幾何中心的空間距離，該距離稱為脫靶量。建立圖1所示的雙目立體視覺測試系統，測試過程中靶標靜止而彈丸運動，正方形為實際測試立方體區域，外接圓代表包含測試區域最小的球體空間，用于輔助保證測試區域的假想球。

圖1 雙目立體視覺測試系統

利用針孔成像模型，設Oc1-Xc1Yc1Zc1、Oc2-Xc2Yc2Zc2為雙目立體視覺所對應的攝像機坐標系；p(Xw,Yw,Zw)為目標彈丸的世界坐標，所對應成像平面上像素坐標分別為(u1,v1)、(u2,v2)，將兩點成像約束關系聯立則可得雙目立體視覺測試模型為

(1)

式中：fxi、fyi(i=1,2)為兩攝像機對應的尺度因子;(u0i,v0i)(i=1,2)為像元中心也稱像元主點，屬于攝像機內參數；Ri、Ti(i=1,2)分別為世界坐標系與攝像機坐標系過渡的旋轉矩陣、平移矩陣，屬于攝像機外參數。

然而，實際測量過程中攝像機存在固有的加工誤差和裝配誤差，往往選用的透鏡不理想也會導致實際成像與理想的針孔成像之間存在光學畸變誤差。假設獲取空間飛行彈丸圖像且該目標在線性模型下的圖像像素坐標為(u,v)，則考慮畸變情況下的實際像平面坐標(u′,v′)為

(2)

式中：δu、δv分別為徑向畸變和切向畸變，如圖2所示，分別為u、v方向的非線性畸變值。

圖2 徑向畸變、切向畸變示意圖

因此，若考慮實際成像所存在的畸變，雙目視覺系統屬于非線性模型，其彈丸飛行坐標所真實對應的像素坐標系與世界坐標系之間的變換關系為

(3)

利用最小二乘法[14]擬合飛行彈丸的一組空間三維坐標(xi,yi,zi)，其中i=1,2,…,n。假設彈丸運動的數學模型為f(x,y,z)=b，方程中含有m個待定系數ai，i=1,2,…,m。彈丸運動測量模型為f(xi,yi,zi)，采用樣本點到擬合曲線之間的最小二乘關系構造誤差函數。

(4)

式中：b為常數，通過求解式(4)即可得到系數ai，進而得到該組數據的擬合函數，即彈道空間曲線模型。最后，通過計算靶標到達彈丸擬合曲線的最小距離即可得到脫靶量。

2 基于雙目立體視覺的序列彈丸坐標提取

基于雙目立體視覺，構造序列彈丸坐標測量系統，攝像機位置固定，通過調整棋盤格獲取其在公共視場中不同位姿的靶標圖像。系統選用簡單穩定且精度更高的張正友標定法[15]進行單攝像機標定和雙目視覺系統結構參數標定。根據攝像機坐標系與世界坐標系之間的坐標轉換關系，規定立體視覺系統中左攝像機為測量坐標系，雙目攝像機之間應滿足：

(5)

靜態靶標背景下高速運動彈丸目標提取的圖像序列背景條件相對穩定，幀間變化較小且時間間隔相等，為準確擬合彈丸曲線模型，選用幀頻為506 f/s的攝像機拍攝高速運動的彈丸飛行目標。雙目立體視覺系統捕捉飛行彈丸運動軌跡，其中第102 f和第103 f彈丸測試區域圖像序列如圖3所示。

圖3 圖像序列

假定乒乓球為靶標，黑點為飛行彈丸。為增強復雜背景中局部特征信息的檢測性并突出重點檢測區域，首先采用圖像平滑、圖像增強、圖像濾波等步驟對原始彈丸拍攝圖像進行處理，消除圖像噪聲以及不必要的冗余信息，提高檢測速度。考慮彈丸運動特點，本文采用運算速度快、背景建模簡單且不受目標運動速度限制的背景差分法對其展開研究。

為方便減小彈丸坐標提取過程中的計算量和測試誤差，令雙目立體視覺系統中左攝像機為測量坐標系，此時雙目視覺系統成像公式為

(6)

(7)

式中：r1～r9為旋轉矩陣R12的元素；tx,ty,tz為平移矩陣T12的元素。將成像公式改寫為M·Pw=N矩陣形式：

(8)

式中：矩陣M非方陣，式(8)中方程個數多于未知量個數，存在無確切解的情況，因此可利用最小二乘法求得飛行彈丸空間坐標Pw(Xw,Yw,Zw)最優解。

Pw=(MTM)-1MTN

(9)

3 基于彈道曲線模型的脫靶量測試算法研究

3.1 彈道曲線擬合

確定靶標位置和飛行彈丸經過的若干個定位信息后，脫靶時刻與脫靶點仍未知，導致無法精確獲得距離靶標最近的彈丸位置，即脫靶量信息。飛行彈丸的空間運動軌跡為曲線模型，通過飛行過程中若干個已知位置擬合特定的軌跡模型，進而求解彈丸任意時刻的運動信息。首先對攝像機進行水平調整，考慮重力加速度方向與左攝像機Yw軸平行，如圖4(a)所示；為避免對攝像機進行水平校正的麻煩，本文建立任意一方向上恒定加速度的運動軌跡模型，如圖4(b)所示。

圖4 加速度與坐標系關系

考慮飛行彈丸受重力加速度影響，令彈道曲線為z=Dx2+Ey2+Fxy+Gx+Hy+I，式中，D～I為二次方程的系數。當彈丸飛行經過n個點時，建立相應曲線模型進行擬合求解，模型擬合的復雜度提升，考慮以下兩種情況。

① 重力加速度方向與Yw軸平行，即保持左攝像機成像平面與重力加速度方向平行，其運動表達式為

(10)

式中，vx,vy,vz為飛行彈丸速度v的分量。用不同方式消去時間參數t可以得到：

(11)

(12)

式中，a,b,c,d,e為相應的系數。將式(10)進行擬合算法編寫，當彈丸飛行經過n個點時，將其轉換為矩陣形式為

(13)

最終利用最小二乘法可得到相應的彈道擬合曲線模型。

② 攝像機任意姿態且重力加速度恒定的彈丸運動軌跡擬合，為不失一般性，假設飛行彈丸的重力加速度可以分解到3個坐標軸上，其運動表達式為

(14)

式中：a1～a3,b1～b3,c1～c3為相應的系數；時間參數t的表達方式有3種，利用式(14)中x、y表達式可獲得t的一種表達式為

(15)

式(15)可以簡化為

t=Ax+By+C

(16)

將式(16)代入式(14)并轉換為矩陣形式(式(17))，利用最小二乘法可得到z關于x、y的表達式z=Dx2+Ey2+Fxy+Gx+Hy+I。

(17)

針對該種情況進行彈道曲線擬合，其中飛行彈丸的重力加速度方向已知，而與攝像機坐標系的關系未知。若保證左攝像機成像平面與重力加速度平行，則效果與第一種情況一致；若不能保證左攝像機成像平面與重力加速度的相對平行關系，則可對樣本點進行坐標變換，使之滿足約束條件，再次回歸到第一種情況。理論上坐標系之間的轉換具備可行性，但實際操作中復雜度和誤差出現概率提升，同時不能保證曲線的唯一性和穩定性，因此本文不選用此種彈丸脫靶量測試方法。而彈丸運動曲線特征明顯時，為了方便后續處理，系統測試時可設置左攝像機姿態任意。

3.2 彈丸脫靶量計算

通過曲線擬合得到彈丸中心運動軌跡，系統測試靶標中心位置(X,Y,Z)，由此可獲得彈道擬合曲線上任一點到靶標中心的距離，彈道擬合曲線表示為

(18)

式中：J(x)、K(x)函數關系通過擬合可得知，因此，脫靶量Miss表示為

(19)

式中：X、Y、Z通過測試可得知；而x未知，由于靶標設置于測試區域中心，脫靶時刻必然產生于彈丸出現在公共視場的某一時間，由此可獲得x的范圍，即可求出脫靶量。

4 實驗驗證與精度分析

為了驗證基于彈道曲線模型的飛行彈丸脫靶量精確度，利用靶標與飛行目標進行運動軌跡測試實驗，并將基于彈道直線模型、基于彈道曲線模型的飛行彈丸脫靶量測試結果進行了對比。

4.1 彈道曲線模型脫靶量測試實驗

基于雙目立體視覺對彈丸飛行非線性特征進行脫靶量測試實驗，利用手拋方式為運動目標提供初始速度，飛行過程速度變化較大，彈丸測試區域為拋物線運動最高點下落階段，因此速度較低。首先對相機進行立體視覺系統標定，單相機和雙目視覺系統標定均采用MATLAB編程實現，獲得相機內參和雙目視覺結構參數，其標定結果如表1和表2所示。

表1 相機內參

表2 立體視覺系統結構參數

為確保飛行彈丸運動曲線特征明顯，測試區域彈丸速度相對較低，因此可獲得較多樣本數，本節所列部分圖像序列中彈丸中心點空間坐標如表3所示。

表3 彈丸空間位置坐標 單位：mm

為直觀分析飛行彈丸的空間運動軌跡，其所經過離散點空間位置如圖5所示。

圖5 飛行彈丸空間位置

觀察可知，彈道直線模型并不適合彈丸飛行離散點空間分布，為驗證彈道曲線模型的合理性，計算了點到擬合直線的距離，其數值變化過程呈起伏狀，表現出二次曲線按一次曲線擬合的顯著特征，因此證明了實驗采用曲線模型進行飛行彈丸的脫靶量計算更為合理。實驗采用水平盤用以保證攝像機成像平面與重力方向相對平行的關系，通過加速度與Yw軸的平行關系擬合彈道曲線模型，其矩陣參數為

(20)

因此，彈道曲線模型為

(21)

經計算，得到彈丸脫靶時刻靶標中心為(9.3895,-85.6998,1991.8120)，其飛行彈丸與靶標之間的距離變化如表4所示，通過計算得知靶標距離彈道曲線最小值為215.6812 mm，即飛行彈丸的脫靶量。

表4 飛行彈丸與靶標距離變化表 單位：mm

4.2 系統精度分析

對研究的彈道曲線測量模型與飛行彈丸直線軌跡測量模型進行比較，為定量分析兩種模型所測量的彈丸脫靶量結果精度，使用脫靶量平均絕對誤差(Mean Absolute Error，MAE)來對彈丸脫靶量的曲線模型測試結果與直線模型測試結果進行比較，其中，MAE表達式為

(22)

表5 彈道軌跡直線模型、曲線模型的脫靶量測試結果誤差比較 單位：mm

由表5所示的基于彈道直線模型、彈道曲線模型的脫靶量平均絕對誤差可知，所提出的彈道曲線測量模型更貼合實際彈丸運動軌跡，計算的彈丸脫靶量更接近真實值，其脫靶量平均絕對誤差降低了大約一半，明顯優于勻速直線彈道測量模型。

5 結論

基于雙目立體視覺，提出了曲線彈道彈丸脫靶量測量模型與測量方法，旨在解決傳統脫靶量測試方法受其測試原理影響而精度受限的問題，并進行了精度分析。

① 根據飛行彈丸運動特征，分析其重力加速度對運動軌跡影響規律，建立彈丸脫靶量測量模型，并采用多元方程的一般表達式，結合彈丸運動軌跡方程組推導了彈道曲線模型與飛行彈丸脫靶量的測量公式。

② 與直線彈道測量模型相比，當飛行彈丸進入測量視場速度較小時，兩種模型計算彈丸脫靶量測試數據的偏差滿足系統精度試驗所允許的最大誤差要求。

③ 對研究的測量模型進行了飛行彈丸模擬試驗，結果表明彈道曲線測量模型脫靶量更接近實際彈丸飛行軌跡，其測量脫靶量精度優于彈道直線測量模型。