一種基于指數(shù)趨近律的非線性系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)軌跡跟蹤控制新方法

田 霖, 孫 亮, 劉冀偉

(1.北京科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100083； 2.民政部一零一研究所，北京 100070)

在許多控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，常常面臨實(shí)際對(duì)象和所建立的面向控制的數(shù)學(xué)模型之間存在差異的問(wèn)題，這些差異主要源于系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性、外部未知干擾、未建模動(dòng)態(tài)及參數(shù)等。因此設(shè)計(jì)能克服這些差異的魯棒控制算法成為一個(gè)挑戰(zhàn)。強(qiáng)大的魯棒性滑模變結(jié)構(gòu)控制成為一種能有效克服這些模型差異的控制算法[1-3]。

多年來(lái)，滑模變結(jié)構(gòu)控制的研究成果不斷涌現(xiàn)。為了減少到達(dá)滑模面的時(shí)間，文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]通過(guò)等價(jià)控制輸入提出了指數(shù)趨近律方法并得到了大量推廣和應(yīng)用。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[4]采用指數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)了一種非線性趨近律，動(dòng)態(tài)調(diào)整受控系統(tǒng)的變化過(guò)程，并將其應(yīng)用到多輸入多輸出非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[5]基于指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)了一種分層滑模變結(jié)構(gòu)控制器。在許多實(shí)際應(yīng)用中需要采用觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)的不可測(cè)干擾以保證系統(tǒng)狀態(tài)在模型存在不確定性的情況下也能收斂。文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類含有不匹配干擾的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種非線性干擾觀測(cè)器。文獻(xiàn)[7]針對(duì)一類非線性拉格朗日系統(tǒng)的定點(diǎn)調(diào)節(jié)和軌跡跟蹤問(wèn)題，借助低通濾波器估計(jì)未知干擾并設(shè)計(jì)出一種不連續(xù)的魯棒干擾觀測(cè)器。文獻(xiàn)[8]采用一種不確定性和干擾估計(jì)器技術(shù)設(shè)計(jì)了一種新的能抑制控制輸入抖振的邊界層滑模變結(jié)構(gòu)控制器。文獻(xiàn)[9]針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制中出現(xiàn)的抖振問(wèn)題，提出一種基于分段函數(shù)的冪次趨近律方法，加快了系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度。文獻(xiàn)[10]以一類非線性模型作為研究對(duì)象分析了滑模變結(jié)構(gòu)控制趨近運(yùn)動(dòng)邊界特性，給出狀態(tài)變量范數(shù)的約束關(guān)系式。目前，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法已經(jīng)推廣到大量實(shí)際系統(tǒng)中，包括單相全橋逆變器[11]、永磁同步電機(jī)[12-13]、開(kāi)關(guān)電源[13]、火箭發(fā)射系統(tǒng)[14]、汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)[15-16]、機(jī)器人系統(tǒng)[17]等。近年來(lái)，對(duì)經(jīng)典滑模控制的改進(jìn)和擴(kuò)展仍在繼續(xù)，但很多結(jié)果由于控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜或計(jì)算量大等因素難以確保優(yōu)良動(dòng)靜態(tài)性能。

筆者針對(duì)不確定二階非線性機(jī)械系統(tǒng)軌跡跟蹤過(guò)程中，當(dāng)模型參數(shù)具有不確定性和未知外部干擾時(shí)，基于新的指數(shù)趨近律提出一種非線性機(jī)械系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)軌跡跟蹤控制器。所設(shè)計(jì)的指數(shù)趨近律可以確保滑模控制器動(dòng)態(tài)適應(yīng)跟蹤誤差的變化過(guò)程以減少狀態(tài)到達(dá)滑模面的時(shí)間，進(jìn)而提高系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制器可以保證系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差的漸近收斂性。以質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)和兩自由度剛性機(jī)械臂作為仿真算例，驗(yàn)證了所提出控制器的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮一類由Eluer-Lagrange方程描述的二階非線性全驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[17]：

(1)

2 基于指數(shù)趨近律的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于計(jì)算力矩法的控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)不精確知道系統(tǒng)慣性參數(shù)且干擾未知時(shí)，可取控制律為

(2)

(3)

即

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

因此，基于新的指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器為

(10)

(11)

其中：

再代入式(2)最終可得到基于計(jì)算力矩法的指數(shù)趨近變結(jié)構(gòu)控制律為

(12)

注意到采用式(12)所示的控制律可以得到系統(tǒng)的指數(shù)趨近律為

(13)

2.2 基于輸入輸出穩(wěn)定性理論的控制器設(shè)計(jì)

(14)

則取控制律為

(15)

(16)

(17)

下面對(duì)所提出的閉環(huán)控制系統(tǒng)給出穩(wěn)定性結(jié)論。

定理針對(duì)式(1)所示的系統(tǒng)，參數(shù)不確定性有界及外部干擾有界的假設(shè)條件下，若兩類不同的滑模變結(jié)構(gòu)軌跡跟蹤控制律(式(12)和式(15))的參數(shù)都滿足0<δ0<1，α>0，β>0，κ>0時(shí)，則可以保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且基于計(jì)算力矩法的變結(jié)構(gòu)控制器的滑模面到達(dá)時(shí)間相對(duì)經(jīng)典滑模面更短。

接下來(lái)證明所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制律(式(15))也可以保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若采用該控制律則閉環(huán)系統(tǒng)方程為

(18)

2.3 抖振的消除

變結(jié)構(gòu)控制的一個(gè)明顯缺點(diǎn)是切換時(shí)由于慣性和時(shí)滯的影響，使得滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)疊加上一個(gè)高頻抖動(dòng)，稱為抖振。常用的消除抖振方法是在滑模面兩側(cè)增加一個(gè)邊界層，并在邊界層中用飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)，即將變結(jié)構(gòu)控制律中符號(hào)函數(shù)sign(si)替換為飽和函數(shù)[19]：

式中：ε>0為邊界層厚度。需要注意的是，此時(shí)變結(jié)構(gòu)控制只能保證所有軌跡都進(jìn)入邊界層，而不能保證都進(jìn)入滑模面，故若邊界層厚度過(guò)大，會(huì)產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

3 仿真算例

如圖1所示，筆者分別針對(duì)單輸入單輸出的質(zhì)量-彈簧-阻尼器機(jī)械系統(tǒng)[8]和多輸入多輸出的平面剛性機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)[17]兩個(gè)典型算例，應(yīng)用MATLAB仿真軟件對(duì)所提出的式(15)所示的控制算法進(jìn)行驗(yàn)證。類似地，對(duì)式(12)所示的控制算法也可進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在此不再贅述。

圖1 兩類典型機(jī)械系統(tǒng)

其次，建立兩自由度平面剛性機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型(如式(1)所描述)，其中機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位置向量為

圖2 質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)軌跡跟蹤效果

圖3 兩自由度平面剛性機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤效果

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)不確定二階非線性機(jī)械系統(tǒng)提出了基于一種新的指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。所提出的變結(jié)構(gòu)控制器通過(guò)采用一種良好特性的非線性函數(shù)對(duì)經(jīng)典滑模控制的滑模面趨近階段收斂性能進(jìn)行改進(jìn)，減小了系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，提升了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。并且設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制器對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性和未知外部干擾進(jìn)行抑制，并采用邊界層法有效消除抖振對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法可實(shí)現(xiàn)多輸入多輸出不確定非線性機(jī)械系統(tǒng)的高精度軌跡跟蹤控制。最后在仿真算例中通過(guò)對(duì)控制器進(jìn)行參數(shù)整定，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足動(dòng)靜態(tài)性能要求。理論分析和仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制方法的有效性。未來(lái)將開(kāi)展在質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)和兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)等實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的控制算法仿真驗(yàn)證。