基于Monte Carlo算法的復雜機械系統共因失效研究

葉建飛 趙飛豹 張 焱 李 超 王燁君

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

共因失效是一種源于機械載荷、振動、溫度、腐蝕等共同因素導致系統內部多個零件發生同時失效的現象。經典可靠度計算方法在計算系統可靠度時作獨立不相關假設即假設各個零件之間失效彼此獨立，而實際上以載荷為代表的共因失效廣泛存在并且會使可靠度計算值出現誤差。從20世紀70年代至今,國內外可靠性研究人員對共因失效進行了大量研究，提出包括全概率模型方法、GO法、MCS-CA法、PMS方法等在內的共因失效可靠度建模或仿真方法。其中謝里陽等人針對機械系統共因失效系統可靠度計算問題，在系統層面應用應力-強度干涉理論，結合條件概率方法建立串聯、并聯系統可靠度全概率計算模型。對于簡單串并聯系統，該方法性能良好，但是當零件數量較多時存在多重積分計算難度大的問題，此外若系統串并聯關系比較復雜甚至無法利用全概率模型方法建模。元胞自動機是Ulam與Von Neumann在20世紀50年代提出的一種用于模擬動態離散系統行為的方法。近年來被廣泛應用于如通訊系統、電力傳輸系統、交通運輸系統等復雜二終端二態網絡可靠性評估，具備有效判斷網絡連通性的優勢。本文針對全概率模型方法處理復雜機械系統可靠度時的缺陷，從Monte Carlo數值仿真的角度出發，在對全概率模型方法進行分析總結的基礎上將復雜機械系統轉化為二終端網絡，結合元胞自動機思想構建存在共因失效的串聯、并聯和復雜混聯機械系統可靠度算法，并就共因失效對不同類型機械系統可靠度具體影響展開研究。

1 共因失效可靠度全概率模型

機電產品因為成本高昂，失效周期長，難以進行統計學意義上的大量可靠性試驗，因此經典系統可靠度方法計算可靠度時通常先利用應力-強度干涉方法計算零件可靠度，然后根據零件間關系建立系統串并混聯結構可靠性模型并計算。

對于串聯系統

(1)

對于并聯系統

(2)

其中代表系統可靠度，和分別代表第個零件廣義應力和廣義強度，()和()為第個零件廣義應力函數和廣義強度函數；代表零件數量。

經典系統可靠度模型假設零件之間失效彼此獨立，即不存在共因失效，而實際上共因失效在機電系統中廣泛存在。謝里陽等人利用條件概率方法，在系統層面應用應力強度干涉理論建立了存在共因失效的系統可靠度全概率模型。以個相同零件構成簡單系統并以應力作為主要的失效共因為例。

對于串聯系統

(3)

對于并聯系統

(4)

其中代表系統可靠度，和S分別代表第個零件廣義應力和廣義強度，()和(S)為第個零件廣義應力函數和廣義強度函數；代表零件數量。

對比公式(1)、(3)和公式(2)、(4)可以發現全概率模型在處理應力引起的共因失效問題時區別于經典可靠度方法中對每個零件的應力和強度都進行一次積分的做法，將作為失效共因的應力提取出來只進行一次積分。從Monte Carlo仿真的角度來看系統在任意一次仿真過程中按照經典可靠度的觀點各個零件所受的應力彼此不相關，應按照分布獨立抽樣；而按照全概率模型方法的觀點，應力作為失效共因在一次仿真中只應抽樣一次。根據實際情況，任意時刻各個零件所受應力與此時輸入載荷相關，都可由輸入載荷計算或仿真得到，而輸入載荷在任意確定時刻為定值，因此全概率模型方法更為貼近實際。

2 全概率模型數值仿真算法

由以上分析本文推斷：通過設定引起共因失效的因素在仿真過程中的抽樣方式，使其能夠反映共因失效的特性將是算法能否準確計算系統共因失效可靠度的關鍵。

在此基礎上構建共因失效全概率模型Monte Carlo數值仿真算法。程序流程圖如圖1所示。

圖1 全概率模型數值仿真算法流程圖

1)步驟一：初始化仿真次數=1，系統累計安全次數=0。

2)步驟二：對零件的應力按其分布抽樣得；對每個零件的強度按其分布進行單獨抽樣得,…。

3)步驟三：以成敗型零件為研究對象，代表第個零件失效與否的狀態，=1表示第個零件安全，=0表示第個零件失效。計算-，若大于0，將置為1，否則置為0，=1,2…。

4)步驟四：給不同類型的系統設置不同的安全條件。判斷是否滿足安全條件，滿足則置系統狀態變量=1(表示系統安全),否則=0(表示系統失效)。

5)步驟五：更新仿真次數=+1和系統累計安全次數=+。

6)步驟六：判斷仿真次數≤(表示總仿真次數，由人為給定。)若滿足則返回第二步，否則終止程序并統計系統累積安全次數，計算可靠度=。

對于Monte Carlo經典可靠度算法只需在此基礎上進行少量修改。具體為將步驟二對零件應力獨立抽樣改為對每個零件分別抽樣…。將步驟三中計算-，改為分別計算-若大于0，將置為1，否則置為0，=1,2…，其余步驟不變。

步驟四中安全條件是指系統失效與否的判斷依據，對于零部件數量較少，關系簡單的系統可以直接給出安全條件的數學公式。

串聯系統安全條件為

(5)

并聯系統安全條件為

(6)

對于復雜混聯系統可以參考Von Neumann型元胞自動機思想，將系統失效與否的條件轉化為判斷可靠性網絡是否導通。以圖2所示案例進行說明。

圖2 混聯模型結構圖

編號1-13代表13個零件，按圖中連接方式構成混聯系統。首先將模型結構圖轉化為符合元胞自動機思想的可靠性網絡，如圖3所示。

圖3 混聯模型可靠性網絡示意圖

每條邊代表一個零件，其對應的狀態是1(安全)或0(失效)；每個節點代表一個元胞，其對應的狀態是1(激活)或0(未激活)，初始狀態是未激活。各元胞狀態由箭頭指向該元胞的邊的狀態以及與這些邊相連的元胞的狀態共同決定，當至少有一條邊和與這條邊相連的元胞的狀態都為1時該元胞的狀態為1。以元胞7為例，其狀態可以用關聯函數表示為

=((2,4),(4,8),(6,9),(2,7))

(7)

式(7)中(,)表示將第個元胞的狀態與第條邊狀態進行“交運算”后的結果，即當第個元胞的狀態與第條邊狀態都為1時，(,)=1。因此當(2,4)，(4,8)，(6,9)，(2,7)中至少有一個為1時，=1。

每次仿真過程中動力由元胞1輸入，即首先激活元胞1，經過可靠性網絡傳輸后從元胞9輸出。步驟三得到各個零件狀態后按照元胞關聯函數依次更新元胞狀態，若得到元胞9的狀態為1，則說明可靠性網絡導通，系統安全，否則判定系統失效。

3 算例分析

1)算例1：將上述兩個同樣的零件串聯，分別利用經典可靠性方法，全概率模型方法，Monte Carlo共因失效可靠度算法(以下簡稱Monte Carlo改進算法)和Monte Carlo經典可靠度算法(以下簡稱Monte Carlo經典算法)計算系統可靠度，結果如表1所示。

2)算例2：將上述兩個同樣的零件并聯，分別利用經典可靠度方法，全概率模型方法，Monte Carlo改進算法和Monte Carlo經典算法計算系統可靠度，結果如表2所示。

3)算例3：將13個同樣的零件按照圖2的連接形式混聯，分別利用經典可靠度方法，全概率模型方法，Monte Carlo改進算法和Monte Carlo經典算法計算系統可靠度，結果如表3所示。

從表1、表2中可以看出經典可靠度方法計算結果與Monte Carlo經典算法計算結果誤差非常小，而全概率模型方法計算結果與Monte Carlo改進方法計算結果也是如此，從而說明Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法在計算精度上與經典可靠度方法和全概率模型方法保持一致。

表1 串聯系統可靠度計算結果

表2 并聯系統可靠度計算結果

對于圖2所示的復雜混聯系統，在計算過程中發現使用經典可靠度方法和全概率模型方法建模難度較大，而利用Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法則較為方便。對比表3中的計算結果，共因失效對該混聯系統可靠度的影響表現在使用Monte Carlo經典算法得到的可靠度值小于Monte Carlo改進算法計算結果，可靠度被低估。

表3 混聯系統可靠度計算結果

4 共因失效對可靠性影響研究

在Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法基礎上，將分別就Monte Carlo仿真次數對可靠度計算值的影響、共因失效對串聯系統、并聯系統和簡單混聯系統可靠度的影響展開研究。

4.1 Monte Carlo仿真次數對可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎，將3個相同的零件串聯，不斷改變仿真次數，利用Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法計算系統可靠度，結果如圖4所示。

圖4 Monte Carlo仿真次數與系統可靠度的關系

隨著仿真次數的不斷增加，兩種方法的可靠度計算值波動程度逐漸降低并趨于穩定。當仿真次數>2000次后，可靠度計算值基本保持不變，為了保證仿真精度在后續研究中可靠度計算仿真次數定為5000次。

4.2 共因失效對串聯系統可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎，將個相同零件串聯構建簡單串聯系統。零件數量由1逐漸遞增到10，分別用Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法計算系統可靠度，結果如圖5所示。從圖中可以看出隨著零件數量的不斷增加，串聯系統可靠度逐漸降低。總的來看，由Monte Carlo改進算法得到的可靠度計算值要高于經典可靠度計算方法得到的可靠度計算值，換句話說由于共因失效的存在，利用經典可靠度計算方法計算串聯系統可靠度時，可靠度被低估。

圖5 串聯系統零件數量與可靠度的關系

分析原因在于對串聯系統而言，經典可靠性算法將失效共因在不同零件中進行獨立抽樣，由此統計出的系統失效事件中將某時刻由于共因使多個零件同時失效導致系統發生的一次失效事件多次重復計算，從而導致計算失效率比實際更高，可靠度被低估。

4.3 共因失效對并聯系統可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎，將個相同零件并聯構建簡單并聯系統。零件數量由1個逐漸遞增到10個，分別用Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法計算并聯系統可靠度，結果如圖6所示。

圖6 并聯系統零件數量與可靠度的關系

從圖6中可以看出隨著并聯零件數量的不斷增加，系統可靠度逐漸上升，總體而言由Monte Carlo改進算法得到的可靠度計算值要低于經典可靠度計算方法得到的可靠度計算值，換句話說由于共因失效的存在，利用經典可靠度計算方法計算并聯系統可靠度時，可靠度被高估。原因在于對并聯系統而言，經典可靠度計算方法將失效共因在不同零件中進行獨立抽樣，由此統計出的所有零件同時失效事件中，即系統失效事件，忽略了失效共因增加多個零件同時失效概率這個事實，導致系統失效率被低估，可靠度被高估。

4.4 共因失效對混聯系統可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎，通過多個相同零件串并聯構建簡單混聯系統，如圖7所示。串聯零件數量與并聯零件數量之和保持不變，設定+=6。串聯零件數量由0個逐漸遞增到6個，并聯零件數量由6個遞減到0個，分別用Monte Carlo經典算法和Monte Carlo改進算法計算混聯系統可靠度，結果如圖8所示。

圖7 簡單混聯系統示意圖

圖8 混聯系統零件數量與可靠度的關系

從圖8中可以看出，當零件全部為并聯時，即=0，=6，利用Monte Carlo經典算法計算的系統可靠度高于利用Monte Carlo改進算法計算的系統可靠度，即可靠度被高估，與4.3中結論一致；而當零件全部為串聯時，即=6，=0，可靠度被低估，與4.2中結論一致；當并聯零件數量由6個逐漸遞減到0個，此時串聯零件數量由0個逐漸遞增到6個，利用Monte Carlo經典算法得到的混聯系統可靠度先高于后又低于Monte Carlo改進算法計算的混聯系統可靠度，且存在某個點使兩種方法得到的可靠度計算值相等，說明在該點共因失效對系統可靠度的影響被“中和”而不予顯現。因此，利用Monte Carlo經典算法計算一個存在共因失效的混聯系統可靠度時，鑒于系統結構不同，系統可靠度計算值與實際值相比，可能被高估也可能被低估甚至兩者相同，并且總體來看，共因失效對串聯系統可靠度影響程度大于對并聯系統可靠度的影響程度。

5 結束語

對于存在共因失效的機械系統，利用全概率模型方法可以計算系統可靠度，但是當零件數量較多或者零部件關系復雜難以求解和建模時，利用本文提出的Monte Carlo共因失效可靠度算法可以有效解決這個問題。研究發現當系統存在共因失效時利用經典可靠度計算方法計算串聯系統可靠度時，可靠度將被低估；計算并聯系統可靠度時，可靠度將被高估；而計算混聯系統可靠度時，鑒于系統結構不同，系統可靠度計算值可能被高估、低估甚至與實際值相同，并且總體來看，共因失效對串聯系統可靠度影響程度大于對并聯系統可靠度的影響程度。