巧用最大公因數與最小公倍數解決小學相關問題的探索

張恩厚

關鍵詞：最大公因數;最小公倍數;應用

最大公因數與最小公倍數是小學數學中的重要概念之一，是繼整除概念之后的重要內容，也是后續學習分數運算的必備基礎，更有許多實際問題與之相關，但應用其解決問題卻是一個難點，特別在一些應用題中看似與之無關，仿佛要用更高或更深的知識解決的問題，其實可以巧用最大公因數或最小公倍數在算術范圍內就可以解決，因為問題本質上就是公因數或者公倍數的問題。

一、巧用最大公因數解決相關問題

設個整數，若d是這n個數中每一個數的因數，則d就叫做這n個數的一個公因數，這些公因數中的最大的一個叫做最大公因數，記作 [1]。

1.求公因數的問題

由于幾個數的公因數是其最大公因數的因數，因此，求幾個數的公因數就可以先求出這幾個數的最大公因數，然后再寫出該最大公因數的所有因數即可。此時可由質因數分解法或者短除法亦或輾轉相除法求出最大公因數。例如求60和24的公因數，可由得，而，故60與24的公因數有1，2，3，4，6，12。

例1. 某公司某產品單價超過1元，去年銷售總額為36963元，今年單價沒變，銷售總額為59570，求去年和今年這種產品各銷售多少件。

分析：單價沒變，那么產品單價就應該是兩年銷售額的公因數，因此只需求出兩年銷售額的最大公因數就能解決問題。

解 單價是（36963，59570）=37，因37是質數，故37大于1的因數只有37，因此單價為37元，故去年銷售出：），今年銷售出：）。

2.容器分裝的問題：在很多容器分裝的問題中，往往可以通過巧用最大公因數來解決，并且在解決問題的同時也加深了對最大公因數概念的進一步認識。

例2. 小明只有一個27升和一個15升的桶，但他現在需要從池子里舀出6升水，他要怎么利用手里這兩只桶完成任務呢？

解：顯然（27，15）=3， ，，那么，而，因此，小明只需要用15升的桶裝滿后再倒入27升的桶里，每次27升的桶裝滿后就把水倒掉，這樣當27升的水桶第二次裝滿水時，15升桶里剩下的水就剛好是6升。這個問題的數學本質是要找到兩個整數使之分別與27和15相乘后的代數和等于6，而由裴蜀恒等式[2]可知一定可以找到兩個整數分別與27和15相乘后等于（27，15），而6=2（27，15），此類問題得解。

3.優化問題：在有些既要均等又要最大化的問題里，往往就是一個需要利用最大公因數解決的問題。

例3. 把一塊長240公分，寬140公分的長方形薄片，截成大小相同的正方形薄片，正方形的邊長最長可以為多少公分？總共可以截成這樣的正方形多少個？

分析：顯然，正方形的邊長必須同時能整除240和140，也就是邊長為240和140的公因數，又要正方形最大，那么正方形邊長當然是取公因數中最大者即最大公因數。

解：由題意得 （240，140）=20（公分），（個），因此，最大正方形鐵片的邊長為20公分，總共可以截成84個這樣大的正方形。

4.猜數問題：有些猜數問題看似與最大公因數無關，其實可以巧用最大公因數解決。

例4. 猜一個整數a，用a去除47、61、75這三個數都余5，這個a是多少？

分析：既然都余5，那么這三個數都減去5以后就應該能被a整除，亦即a就應該是減去5以后的三個數的公因數，而且因為余數只能小于除數，所以這個公因數應該是最大公因數。

解 根據題意a是（47-5）、（61-5）、（75-5）的最大公因數，而（47-5，61-5，75-5）=（42，56，70）=7，故所求數a=7

二、巧用最小公倍數解決相關問題

設個整數，若d是這n個數的倍數，則d就叫做這n個數的一個公倍數，又這一切公倍數中的最小正數叫做最小公倍數，記作 [1]。

1.相遇問題

我國農歷是以十個天干和十二個地支配對紀年，因為[10，12]=60，故60年為一個甲子，這其實就是每60年天干中的甲就會與地支中的子相遇。這一類相遇問題很多，仔細分析都涉及最小公倍數問題。

例5. 甲、乙、丙三個小朋友圍著操場跑步，甲6分鐘跑完一圈，乙8分鐘跑完一圈，丙要10分鐘才能跑完一圈，當三人同時從起跑線出發，三人同時相遇最少需要多少分鐘？

分析：要相遇，時間必然是三人各自跑一圈用時的公倍數。

解：甲乙丙相遇所需最少時間為：[6，8，10]=120（分鐘）故，最少要120分鐘三人才會再同時相遇。

可巧用最小公倍數解決的相遇問題還有很多，例如調度問題，不同齒數的齒輪嚙合轉動的問題等，都可歸屬周期性的相遇問題。

2.求人數的問題

例6. 某班訂了一批體育器材，每人訂了1個小皮球，每2人訂了一根跳繩，每3人訂了一個呼啦圈，總共正好訂了55件體育器材，請問該班有多少個學生？

分析：既然總的剛好訂了55件，那么人數就應該既是2的倍數又是3的倍數，當然是1的倍數，因此此問題與公倍數相關。

解 由于人數是1、2、3的倍數，而[1，2，3]=6，每6人組共訂器材為：（件），由，故該班人數為）。

例7. 某器件加工共有三道工序，第一道工序每人每小時可完成3件，第二道工序每人每小時可完成12件，第三道工序每人每小時可完成5件，請問三道工序應該分別分配幾個工人才能均衡作業？

分析：要做到均衡作業，就必須在相同的時間內三道工序完成相同的件數才行，也就是要先求出12、5、3的最小公倍數，然后才能確定每道工序該配備多少工人。

解 因[12，5，3]=60，故在相同的時間內完成60件的話，第一道工序需要：），第二道工序需要：），第三道工序需要：），此類問題的本質就是最小公倍數的問題。

3.猜年齡的問題

猜年齡的問題比較多，很多都可巧用最小公倍數求解。

例8. 爺爺對小明說：“我現在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”請問爺爺和小明現在的年齡是多少？

分析：注意此問題中的變量與不變量，不變的是兩人的年齡差，因此兩人的年齡差就分別是6、5、4、3、2、1的倍數，故只需求出這6個數的公倍數，然后根據實際情況就可確定兩人的年齡。

解：由于兩人年齡差不變，故由題設可先求

[（7-1），（6-1），（5-1），（4-1），（3-1），（2-1）]=[6，5，4，3，2，1]=60

兩人年齡差是60的倍數，根據實際情況，可判斷出爺爺現在的年齡是70歲，小明的年齡是10歲。

由于公倍數是最小公倍數的倍數，故在需要求公倍數時只需先求出最小公倍數即可。

4.簡單的同余問題

有一類簡單的同余問題，稍作變換后可巧用最小公倍數解決，例如著名的孫子問題：有一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，這個數最小是多少？這個問題其實可以巧用最小公倍數解決，一個數除以3和7都余2，那么這個數一定比3和7的最小公倍數大2，即，而23這個數恰好除以5余3.利用公倍數是最小公倍數的倍數，可以解決類似的稍難一點的問題。例如，求一個除以3余2、除以5余3、除以7余4的最小正數。分析：首先，從除以3余2的數中找到除以5余3的數，然后再將上一步找出的數逐次加上3和5的最小公倍數15，從中去找到除以7余4的數即可。

5.涉分數相關的問題

涉分數的問題往往比較難也比較復雜。此類問題不僅要發現其與公倍數的聯系，還必須充分理解分數的含義，才能找到問題的解決方案。

例9. 全校有一千多名運動員參賽，其中參加球類比賽人數占1/3，參加田賽人數占2/7，參加泳賽人數占1/5，剩余的參加其它項目比賽，比賽結果，參加球賽的有1/6的運動員獲獎，參加田賽的有1/8的運動員獲獎，參加泳賽的有1/12的運動員獲獎，請問共有多少名運動員？

解：參加球類比賽獲獎的占全體運動員的，參加田賽獲獎的占全體運動員的，參加泳賽獲獎的占全體運動員的，因此，參賽運動員總數應該是18、28、60的倍數，而[18，28，60]=1260，故運動員總數應是1260的倍數，但題設只有一千多人，所以全?？偣灿?260名運動員。

此類與分數相關的問題，能否用最小公倍數解決，取決于個體的不可分性。

還有更加復雜的涉分數的問題，需要用最大公因數和最小公倍數來求分數的最小公倍數，這在小學較難理解。

例10. 袋鼠和羚羊進行跳躍比賽，袋鼠每次跳米，羚羊每次跳米，它們每秒都只跳一次，賽道從起點開始，每隔米設有一個陷阱，請問它倆誰先掉進陷阱？當它掉進陷阱時另一個跳了多少米？

分析：它們第一次掉進陷阱時都應該是它們的速度與井距的最小公倍數。

解 袋鼠第一次掉進陷阱時距離起點為

（米），此時袋鼠跳了（次），

同理，羚羊第一次掉進陷阱時距離起點為，（米），此時羚羊跳了（次），所以，第一個掉進陷阱的是袋鼠，此時羚羊跳了（米）。

兩個數的最大公因數與最小公倍數是解決關于公因數和公倍數的根本，而且二者的乘積就是這兩個數的乘積。

綜上所述，很多與整除相關的問題，或與周期性相關的問題，其本質往往都涉及到公因數和公倍數，因而善于巧用最大公因數和最小公倍數的理論解決問題，是為算術方法解決問題的良策。

參考文獻

[1] 閔嗣鶴 嚴士健編.初等數論（第三版）.北京：高等教育出版社，2003

[2] 單墫主編.初等數論.南京：南京大學出版社，2000