培養分類討論能力讓學生具備創新精神

溫瑜鋒

初中數學中的分類討論問題，是近年來中考的熱點內容之一。本文從抓住分類討論的動因與討論的方法入手，講述了怎樣在初中數學教學中實施分類討論問題的教學。

在初中數學中，有關涉及分類討論思想的問題很多，題目也比較繁雜。這類問題有沒有一種共性？在此，筆者總結了四點。理解之后，當碰到問題時基本上能夠抓住分類討論的動因從容應答了。

一、由于問題本身考查分類討論思想概念導致應用分類討論

（1）教師應對初中數學中的概念有全面、系統、完整地認識，尤其是涉及分類討論思想的概念。曾聽說過這樣一個事例：某教師在講授絕對值這一概念時，圖一時的省力，教學生求一個數的絕對值只要把絕對值里面的負號去掉就可以了，如：|3|=3，|-0.5|=0.5，……結果出現了像|a|=a這樣的錯解。究其原因，該教師沒講清絕對值這一概念，讓學生對這一概念有了一個錯誤的認識：求絕對值只要去掉絕對值里面的負號。把學生引入歧途，害人不淺。這個問題要講清楚，就需要分類討論思想。該教師講授的絕對值的概念非但錯誤，而且也抹殺了學生的創新精神和探索精神。所以，教師對概念的講解必須準確、科學，特別是涉及有關分類討論思想的概念，要讓學生對這樣的概念有正確的認識、理解。

（2）讓學生牢固掌握初中數學中有關涉及分類討論思想的概念。要達到這一目的可以采用討論式歸納出概念、教師加以歸納精煉和增加變式訓練的教學方法。如，初中數學中兩圓的五種位置關系是一個分類討論思想的概念。在講授兩圓位置關系這一課時，教師可讓學生準備大小不等的兩個圓，讓學生自己動手操作、歸納出兩圓（半徑不等時）有哪幾種位置關系。教師再加以歸納總結，得出兩圓（半徑不等時）的五種位置關系：相離（外離、內含）、相切（外切、內切）、相交。這樣既培養了學生的探索精神，又有助于學生牢固掌握兩圓的五種位置關系。

二、由于問題解決過程中出現各種不同的情況而需要對其分類討論

例如：二次函數y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2. ①每個圖像與x軸有幾個交點？②它們各有幾個根？

根據分類思想，將△大于0、小于0、等于0的各種情況進行考慮，可得出結果：①2個，1個，0個。②2個根，1個根，無實數根。由以上一例，我們知道解此類問題的關鍵是審清題意。審題是解題的重要一環，在教學中應強調審題的重要性。教師在講解例題時，應作出認真審題的示范，讓學生了解解題時的正確思路，提高正確率。

三、由于問題中帶入變量參數的不同而有不同的結果需要對各個結果進行分類討論

例如：已知一次函數y=-x+8和反比例函數y=k/x （k≠0） ，①k滿足什么條件時，這兩個函數在同一直角坐標平面中的圖像有兩個交點？②設①中的兩個交點為M、N，試比較∠MON與90°的大小。（中考題）

本題第①小題求得k<16且k≠0；在解第②小題時，由于090°。

數學本身的產生與發展充滿了樸素的辯證唯物主義思想，揭示了唯物辯證法的許多基本規律，如量變到質變等。本類分類討論問題就是揭示了唯物辯證法中的量變到質變這一基本規律。在本類問題的教學中，要做到使學生能分析清楚問題中參變量在整個量變過程中會造成哪些質的變化，即參變量的不同取值會對問題產生的哪些不同結果，把它們一一羅列出來，全面、系統地分類，并能正確求解。這是建立在有良好的知識結構和靈活、開闊的思維基礎上的。教學中，要注意培養學生一絲不茍的學習精神、嚴謹的科學態度和辯證唯物主義的觀點，充分發揮學生的聰明才智。

四、由于問題中幾何圖形的不確定而需要對其進行分類討論

例如：等邊三角形OBC的邊長為10，點P沿O→P→C→O的方向運動，⊙P的半徑為，⊙P運動一圈與△OBC的邊相切多少次？每次相切時，點P分別在什么位置？（圖略）

本題極易漏解，原因是沒有想到本題要分類討論。本題需要考慮3種情況，即點P在OB或OC上時，點P在OB或BC上時，以及點P在BC或OC上時。通過分類討論即可得出：運動一圈，⊙P與△OBC的邊相切6次；⊙P與△OBC相切時點P的位置分別是PO=2（點P在OB或OC上），PB=2（點P在OB或BC上），PC=2（點P在BC或OC上）。

此類問題不僅是考查學生的思維能力，同時也是對于學生圖形認知能力的考查。在分類討論的同時，教師也應培養學生抽象思維能力，提高數學做題技巧。

結語：在初中的數學學習中，教師應著重培養學生分類討論能力，提高學生思維的條理性、科學性、縝密性，讓學生具備真正的創新探索精神。在教學中，我們要多研究、多實踐、多探索，讓學生更好地掌握好初中數學中的分類討論思想。

（廣西賀州市沙田鎮第一初級中學）