基于核密度估計的重載組合列車縱向載荷譜外推研究

胡李軍，薛 海，周 宇

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

隨著我國重載貨運技術的發展，以及大功率交流傳動電力機車、無線重聯同步操作控制、大軸重、輕質鋁合金車體以及3輛貨車為一個固定單元、兩端采用旋轉式自動車鉤、貨車中間采用牽引桿連接等新技術的應用，貨物運輸由目前5 000-7 000 t的普通單元貨運列車，提升為1萬t重載單元或組合列車，重載化已成為鐵路貨運的發展趨勢[1-2].縱向載荷譜作為重載列車關鍵技術基礎性研究方向之一，表征了載荷大小與出現次數之間的關系，是重載列車整車和關鍵承載部件結構設計、安全評估和維修策略制定的理論基礎.

由于受測試條件、經濟成本、技術手段等因素限制，目前重載組合列車縱向載荷譜的外推方法是將雨流矩陣乘以測試里程的倍數，實現頻次上的增加[3-5]，而未充分考慮線路條件、機車操縱、載荷工況等不確定性因素，缺少縱向載荷及其出現次數在數理統計層面的特性表征，準確度較差.此外，載荷譜中小載荷的出現次數占總次數的大多數，而大載荷出現次數較少，有限測試里程的載荷數據不遵循均值服從正態分布、幅值服從威布爾分布的假定[6]，從而使得在譜級數選取不合理的情況下，存在載荷譜擬合效果差、多級載荷段表征不連續、極值載荷確定樣本不足等問題.針對上述重載組合列車縱向載荷譜外推存在的問題，結合目前鐵路重載化發展趨勢，以某線路1萬t重載組合列車為研究對象，對數據分布形式不需要假定的條件下，運用核密度估計的非參數統計方法進行載荷譜外推，建立高表征度的重載組合列車縱向載荷譜.

1 縱向載荷特性分析

重載組合列車在牽引、啟動、制動調速、進站停車期間，車輛之間存在著拉伸或壓縮運動，產生的縱向載荷通過車鉤緩沖裝置進行傳遞.由于重載組合列車采用非剛性的自動車鉤，且鉤體尾部弧面與從板球形弧面之間有一定的活動間隙，存在垂向和橫向運動.為獲得較為準確的縱向載荷，通過在鉤體鉤身位置處沿縱向粘貼多組應變片篩選中性層的方法制作測力車鉤，以此排除橫向載荷和垂向載荷的影響.試驗車輛為由117輛C80型鋁合金敞車組成的1萬 t運煤重載列車，從控機車位于第60輛貨車前部.

根據縱向載荷頻譜特性和信號采集相關理論，設置采樣頻率為500 Hz.圖1為測試某一趟的重車和空車縱向載荷-時間歷程，可知：不同工況下縱向載荷呈非對稱性，且在空、重車條件下，最大拉伸載荷分別為733 kN和1 224 kN，最大壓縮載荷分別為637 kN和1 030 kN，均方根值分別為153 kN和362 kN，重車時的縱向載荷大于空車的載荷；若取車鉤材料E級鋼的疲勞性能參數m值為4，則空、重車縱向載荷所造成的損傷占比分別為88.2%和11.8%，說明重車時的縱向載荷是造成重載組合列車部件損傷的主要原因.

圖1 縱向載荷-時間歷程Fig.1 Longitudinal load-time history

采用雨流計數獲得縱向載荷-時間歷程的雨流矩陣，分級數取為128級，統計分析縱向載荷均值與幅值的概率分布特性，結果如圖2所示.

圖2 載荷概率統計Fig.2 Probability statistics of load

取顯著性水平α=0.05，將所有均值分成k個互不重迭的小區間，每個小區間的頻數記作ni，根據式(1)獲得總體樣本落入第i個區間的概率pi，進而依據式(2)對均值是否符合正態分布進行χ2非參數假設檢驗.

(1)

(2)

式中：ai-1、ai分別是第i個區間的左、右端點；μ為總體樣本的均值；σ為總體樣本的標準差；n為樣本總數.

2 載荷的非參數統計

由于重載組合列車縱向載荷受機車操縱、空重車狀態、線路條件、運行工況等因素的影響較大，綜合比較多種載荷譜外推方法，采用基于核密度估計的非參數統計方法外推，一方面該種方法不依賴樣本的具體分布形式，可以克服縱向載荷分布呈現的不規則特性，獲得較好的統計穩健性，另一方面統計結果高度依賴有限的樣本，可以全面地反映多種影響因素導致的結果分散性，得到與實際情況相符的結果[7-9].

采用雨流計數法，對縱向載荷-時間歷程進行編譜，得到相應的均值-幅值(Fm-Fa)二維雨流矩陣.由于在連掛車輛間存在著相對的拉伸-壓縮運動，根據縱向載荷作用方向的不同，依據式(3)～(4)分別獲得拉伸載荷FL和壓縮載荷FY為：

拉伸載荷：

(3)

壓縮載荷：

(4)

由于在同一車位、不同測試下雨流矩陣的各級載荷不相等，不易實現各次數對應維度元素的疊加計算，為此，考慮載荷均值對結構損傷的影響，根據疲勞累積損傷理論和材料的S-N曲線，通過Goodman公式修正載荷幅的方式計算各級載荷所造成的結構損傷占比di為：

(5)

式中：Di為修正的載荷幅Fa1i造成的結構損傷；DZ為載荷造成的結構總損傷；Ni為Fa1i對應的出現次數.

(6)

式中：h為帶寬；K(·)為選取的核函數；nj為測試次數.

由于帶寬取值的大小決定了核密度估計函數的平滑程度，影響估值的結果.為此，采用積分均方誤差(MISE)進行最佳帶寬的選取，其表達式為:

(7)

(8)

(9)

在損傷一致的條件下，保證總損傷不變，通過改變前后各級載荷對應損傷的縮放修正，可實現修正的載荷幅Fa1與所造成結構損傷Di的關系表達式，使其具有通用性.與此同時，依據式(4)～(9)，可獲得總損傷DZ的概率分布.

由于較大載荷是造成重載組合列車承載部件損傷的主要原因，為此，在不同概率對應的載荷譜外推過程中，需要確定載荷的最大值.考慮載荷波動連續性對載荷最大值的影響，通過載荷數據的分組整合進行倒序排列，分別提取同一車位、不同測試雨流矩陣中出現1次的載荷，提取截至到出現次數為2次的載荷，采用核密度估計的方法，依據式(4)～(9)，可獲得載荷譜中最大級載荷的概率分布.

設概率P對應獲得的最大級載荷為FmaxP，譜級數為NP，總損傷為DZP，則外推所得載荷譜中各級載荷對應次數Ni的表達式為：

(10)

式中：f(·)為載荷幅Fa1與造成的結構損傷Di的關系表達式.

3 縱向載荷譜的外推

圖3 不同概率下的載荷-損傷關系Fig.3 Load-damage relationship under different probabilities

對比分析多種曲線擬合模型，采用表達式(11)所示的一元高次多項式模型，進行載荷與所造成損傷關系曲線擬合的效果較佳，從而定量分析不同概率下載荷-損傷關系，結果如表1所示.采用優度系數對擬合效果進行檢驗，其中99%概率下拉伸載荷-損傷擬合效果最差，為0.914，所有擬合值都接近1，說明擬合效果較好.

表1 不同概率下的載荷-損傷關系表達式系數

D(F)=A0F4+A1F3+A2F2+A3F+A4.

(11)

分別選取各測試次數對應的總譜級損傷，采用核密度估計的方法，獲得拉伸載荷和壓縮載荷所造成的損傷概率分布曲線，結果如圖4所示，以50%概率對應的譜級損傷為基準，得到50%、90%、95%和99%概率下， 拉伸載荷對應的總譜級損傷比為1∶1.23∶1.29∶1.39，壓縮載荷對應的總譜級損傷比為1∶2.02∶2.14∶2.37.同理，可獲得拉伸載荷和壓縮載荷最大值的概率分布曲線.

圖4 損傷的核密度估計分布Fig.4 Damaged nuclear density estimation distribution

根據式(10)得到不同概率下載荷-次數-譜級損傷的關系.圖5為50%、90%、95%和99%概率下載荷-次數-損傷關系曲線，從中得出：隨著載荷的增加，外推的載荷和次數同時發生了變化，且次數變化差異性不大，但所造成的損失呈指數級增加.

圖5 載荷-次數-損傷的關系Fig.5 Load-time-damage relationship

取載荷大于1 000 kN的譜級，得到50%、90%、95%和99%概率下所外推的載荷-次數關系如圖6所示，從中得出：隨著統計概率的增加，載荷和次數同步增加.

圖6 載荷-次數關系Fig.6 Load-time relationship

4 外推載荷譜的等效變換

在重載組合列車承受縱向載荷的結構設計時，根據結構的重要程度選取不同的可靠度，從而需確定相對應概率外推下的載荷譜，當譜級數選取過多，降低了設計效率，不宜用于結構設計.在開展重載列車結構縱向疲勞試驗時，設備可施加的載荷受其技術參數的制約，考慮試驗時間和成本的因素，需要在充分利用試驗設備的同時盡可能減少試驗次數.為此，在保證損傷一致性的前提條件下，需要對不同外推概率下的載荷譜進行等效變換.根據式(10)，在保證損傷不變的情況下實現載荷-次數的變換.

圖7取最大載荷為1 063 MPa時，等效變換所得到的不同概率下的載荷-累積次數關系曲線，從中得到：50%、90%、95%和99%概率下，取編譜公里數為測試公里數的100倍，則拉伸載荷的次數分別為425、516、525、581次，壓縮載荷的次數分別為186、372、389、429次，而當載荷次數統一取為2次時，對應的拉伸載荷分別為642、673、677、693 kN，壓縮載荷分別為928、1 103、1 116、1 144 kN，從而通過縮減次數、增加載荷的方式實現載荷譜的等效變換.

從圖7可以看出，在90%、95%和99%概率下外推的結果與原測試載荷(概率50%)下的趨勢基本一致，較好的保留了測試載荷的分布特征，且外推獲得了不同概率下大、中載荷對應的循環次數，相對于線性外推方法具有明顯優勢.

圖7 外推載荷譜的等效變換Fig.7 Equivalent transformation of extrapolated load spectrum

5 外推載荷譜的驗證

為驗證上述所得不同概率下外推載荷譜的有效性，目前所采用的方法主要有統計參數檢驗、擬合度檢驗、疲勞損傷檢驗等[13-14].由于載荷譜是進行結構疲勞設計和疲勞試驗的前提，同時也是制定疲勞規范和安全評定的基礎，為此，選用疲勞損傷檢驗的方法進行1萬t重載組合列車縱向載荷譜外推有效性的驗證.由于縱向載荷-時間歷程是通過測力車鉤獲得，為此，以車鉤為驗證對象.

根據參考文獻[15]得，車鉤拉伸載荷和壓縮載荷的應力轉換系數分別為0.36 MPa/kN和0.14 MPa/kN，車鉤材料E級鋼的疲勞極限δe=143.8 MPa，所對應的疲勞壽命為2×106次，疲勞性能參數m值取為4，考慮車鉤疲勞性能的分散性，通過數理統計和曲線擬合獲得99.5%可靠度下的P-S-N曲線為：

S4·N=8.55×1014,

(12)

根據結構疲勞損傷理論，得到第i級載荷對應循環次數ni下的車鉤疲勞損傷為：

(13)

式中：Fi為第i級等效載荷，f為應力轉換系數.

依據表達式(13)，得到拉伸載荷譜和壓縮載荷譜在車鉤服役100萬km對應的損傷計算結果見表2.

表2 不同概率下的載荷總損傷對比結果

結合表2和圖7可以得出，隨著外推概率的增加，較大載荷循環產生的次數明顯增多，造成的累積損傷也隨之增加.與概率為50%的結果相比，在概率為99%的情況下，拉伸載荷譜所造成的總損傷是50%概率對應損傷的1.40倍，壓縮載荷譜所造成的總損傷是50%概率對應損傷的2.35倍，與載荷譜外推理論實際情況相符，從而證明了外推結果的有效性.

6 結論

1) 采用核密度估計的非參數統計方法，建立不同概率下載荷譜的外推，在保證結構損傷一致的條件下，不依賴樣本的概率分布可通過各級損傷的縮放修正，實現不同概率下載荷-次數-譜級損傷關系的外推，并根據實際情況實現載荷譜的等效變換.

2) 隨著外推載荷譜中載荷的增加，各級縱向載荷所造成的結構損傷呈指數式變化，且大載荷級造成的損傷占比較大，而在不同的外推概率下，小載荷區載荷級所造成的損傷差異性較小.

3) 通過不同概率下外推結果，可以得出隨著概率的增加，外推獲得了較多低周、較大載荷，外推概率99%下的拉伸載荷譜疲勞損傷損傷比實際測試的增加40%，壓縮載荷譜增加135%.為此，在載荷譜編制時有必要獲得可能出現的較大載荷.

4) 根據結構所受載荷特點，可將基于核密度估計的縱向載荷譜外推方法，推廣應用到其他軌道車輛裝備零部件載荷譜的外推，以此考慮載荷分散性的前提條件下，實現高表征度縱向載荷譜的外推.