基于Bayes和Bootstrap方法的智能電表可靠性評估

李若茜，肖霞，梅能，柯航

(華中科技大學電氣與電子工程學院，武漢 430074)

0 引言

隨著智能電網的發(fā)展，海量智能電表投入運行。截至2017年底國家電網累計安裝了4.24億只，截至2018年底南方電網安裝了8 815.72萬只。智能電表的可靠運行關系到用戶電費計量，同時，其可靠性評估結果可用于指導設備的檢修、輪換工作[1 - 3]，因此準確評估智能電表的可靠性具有重要意義。

目前針對智能電表可靠性評估已給出了較多解決方案。IEEE1413.1—2002標準[4]給出了4種電子設備可靠性預計方法：基于手冊的可靠性預計、基于試驗的可靠性預計、基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)的可靠性預計和基于失效物理的可靠性預計。基于手冊的可靠性預計根據(jù)元器件的質量、工作環(huán)境等由手冊獲得元器件失效率、結合串聯(lián)模型得到系統(tǒng)的可靠性預計結果，文獻[5 - 6]分別依據(jù)SR- 332、GJB/Z 299C標準預計智能電表可靠性。文獻[7]結合智能電表特點及可靠性預計需求指出SR- 332更適用于智能電表的可靠性預計，然而該方法的結果依賴于更新較慢的預計手冊，與實際情況存在偏差，通常僅用于設計階段。基于試驗的可靠性預計和基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)的可靠性預計采用數(shù)理統(tǒng)計方法處理通過開展加速壽命試驗(accelerated life test, ALT)、收集現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的數(shù)據(jù)進行智能電表可靠性評估，GB/T 17215.931[8]標準采用最小二乘法處理獲得的ALT數(shù)據(jù)。文獻[9]則將該方法用于現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的分析中。文獻[10]采用遺傳算法優(yōu)化根據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)構建的極大似然函數(shù)得到模型參數(shù)，以上方法僅使用一種來源的數(shù)據(jù)，其結果的準確度有限，原因在于試驗數(shù)據(jù)雖能涵蓋智能電表整個生命周期但受限于試驗施加應力同現(xiàn)場運行環(huán)境間差異、試驗樣本量等因素，其結果并不準確，而現(xiàn)場數(shù)據(jù)雖然樣本量相對更大但由于截尾程度較深故不能涵蓋其全生命周期。基于失效物理的可靠性預計在掌握設備結構、材料等信息的基礎上，將開展應力分析得到的結果結合失效機理壽命模型得到準確的失效時間[11]，但一些失效機理尚未建立準確的壽命應力模型，限制了該方法的應用。

融合多源數(shù)據(jù)進行可靠性評估的研究目前大多基于貝葉斯理論并圍繞發(fā)動機、數(shù)控機床等[12 - 16]設備開展，應用于智能電表的研究不多，文獻[17]通過加速退化試驗數(shù)據(jù)與現(xiàn)場檢測狀態(tài)數(shù)據(jù)的融合對智能電表進行狀態(tài)評估，文獻[18]對ALT得到的失效數(shù)據(jù)和性能退化數(shù)據(jù)進行融合實現(xiàn)可靠性評估，但先驗分布的確定是該方法的難點。

針對前述問題，本文提出基于Bootstrap和Bayes方法的智能電表可靠性評估方法，該方法通過Bayes理論融合ALT數(shù)據(jù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)，采用Bootstrap方法獲取并解決先驗分布的確定存在主觀性的問題，得到的可靠性評估模型兼顧兩種數(shù)據(jù)的優(yōu)點，彌補兩種數(shù)據(jù)的缺陷，對于智能電表可靠性評估工作具有指導意義。

1 數(shù)據(jù)融合的智能電表可靠性評估法流程

基于Bayes和Bootstrap方法融合ALT數(shù)據(jù)、現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的智能電表可靠性評估方法的框架如圖1所示。

圖1 基于Bootstrap和Bayes方法的智能電表可靠性評估框架Fig.1 Framework for reliability evaluation of smart meters based on Bootstrap and Bayes methods

融合現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)與ALT數(shù)據(jù)的智能電表可靠性評估方法主要由以下3部分構成。

1)對現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的處理。采用傳統(tǒng)參數(shù)估計方法處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)求得總體的可靠性模型參數(shù)估計值；在獲得模型參數(shù)的基礎上，基于Bootstrap方法對總體多次抽樣并重復參數(shù)估計過程，得到可靠性模型參數(shù)的先驗信息。

2)對ALT數(shù)據(jù)的處理。ALT數(shù)據(jù)是在高于正常應力水平下得到的，需借助加速因子外推至正常條件下，作為后續(xù)似然函數(shù)構建的基礎。

3)融合現(xiàn)場與試驗數(shù)據(jù)的參數(shù)估計值求解。以現(xiàn)場數(shù)據(jù)處理后得到的參數(shù)離散分布作為先驗分布，由外推至正常條件的試驗數(shù)據(jù)構建似然函數(shù)，基于Bayes方法聯(lián)合兩種信息得到參數(shù)后驗分布進而求得數(shù)據(jù)融合后的參數(shù)估計值。

2 基于Bayes方法的智能電表數(shù)據(jù)融合

2.1 Bayes方法

Bayes方法是一種以Bayes定理為核心的參數(shù)估計方法，該方法認為概率分布的參數(shù)為隨機變量，且其估計值為根據(jù)樣本信息不斷修正先驗信息得到的后驗分布的期望值。

考慮到指數(shù)分布、正態(tài)分布等一些常用可靠性壽命分布可視為Weibull分布的特殊形式，本文采用如式(1)所示的Weibull分布建立智能電表的不可靠度模型。

(1)

式中β和η分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

模型參數(shù)后驗分布的離散形式如式(2)所示。

(2)

式中：π(βi,ηi)為β和η的先驗分布；L(t|βi,ηi)為根據(jù)樣本構建的似然函數(shù)；g(βi,ηi|t)為參數(shù)的聯(lián)合后驗分布。

基于該后驗分布的參數(shù)β、η后驗期望計算式如式(3)—(4)所示。

(3)

(4)

采用該方法進行參數(shù)估計的難點在于先驗分布的確定。常用的確定方法包括依賴經驗的主觀確定法和客觀法，客觀法又分為基于同等無知原則的Bayes假設和總結過去資料兩種方法，但同等無知原則在高可靠系統(tǒng)的評定中不可取[19]，故本文根據(jù)已有的現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)或試驗數(shù)據(jù)確定先驗分布。

由式(2)可知，先驗信息和樣本信息提供的信息量大小雖然有所差異，但兩者在參數(shù)估計中地位對等[20]。考慮到現(xiàn)場數(shù)據(jù)樣本量更大，因此本文將現(xiàn)場數(shù)據(jù)作為先驗信息來源、試驗數(shù)據(jù)作為似然函數(shù)構建依據(jù)。

2.2 ALT數(shù)據(jù)的處理

ALT對樣本施加高于正常條件的應力以在短時間內獲得高可靠設備壽命數(shù)據(jù)[21]。將該數(shù)據(jù)應用于評估設備實際運行條件下的可靠性或壽命，需借助加速模型導出的加速因子對試驗數(shù)據(jù)進行外推處理。

高溫、高濕試驗下獲得的數(shù)據(jù)可通過Peck模型處理，該模型及其導出的加速因子(acceleration factor, AF)表達式分別如式(5)—(6)所示，ALT得到的壽命數(shù)據(jù)乘以加速因子即得到等價的正常運行條件下的壽命數(shù)據(jù)。

(5)

(6)

式中：A為常數(shù)；Ea為活化能，一般取0.9 eV；n為常數(shù)，一般取3；k為玻爾茲曼常數(shù)；ρu和ρs分別為正常使用條件和加速試驗條件下的相對濕度；Tu和Ts則為對應條件下的溫度。

通過ALT得到的數(shù)據(jù)包含失效數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)兩部分，前者提供了準確的樣本壽命、后者給出了樣本壽命的取值范圍，似然函數(shù)應由兩個部分共同構成。假設樣本總數(shù)為N，失效樣本數(shù)為r，則該樣本對應的似然函數(shù)如式(7)所示。

(7)

式中：f(ti|β,η)為概率密度函數(shù)在ti處的取值；R(TR|β,η)為可靠度函數(shù)在Tr處的取值。

將Weibull分布的概率密度函數(shù)、可靠度函數(shù)代入式(7)得到似然函數(shù)，如式(8)所示。

(8)

式中：ti為第i個失效樣本對應的失效時間；Tr為截尾時間。

3 基于Bootstrap法的先驗分布獲取

3.1 Bootstrap方法

該方法后續(xù)也被用于參數(shù)區(qū)間估計的研究中，因此本文采用該方法獲取參數(shù)的先驗分布，基于Bootstrap方法獲取Weibull分布的參數(shù)聯(lián)合先驗分布的主要步驟如下。

1)依據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，得到形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的估計值β和η。

3)由Weibull分布中β和η獨立得到式(9)所示參數(shù)的聯(lián)合先驗分布。

(9)

3.2 現(xiàn)場數(shù)據(jù)及其Bootstrap子樣的處理

如前所述，先驗分布的獲取依賴于對樣本及其Bootstrap子樣的參數(shù)估計，傳統(tǒng)參數(shù)點估計方法有最小二乘法和極大似然估計法(maximum likelihood estimation, MLE)，合適的參數(shù)估計方法應當結合樣本的特點確定。

現(xiàn)場數(shù)據(jù)來源于對實際運行的大量智能電表的故障收集，智能電表的高可靠性[23 - 24]使得同一批投運的裝置中故障數(shù)量占比并不大，得到的現(xiàn)場數(shù)據(jù)實際是樣本總數(shù)N很大，而失效數(shù)量r占比很小的截尾樣本。采用MLE方法時，一種處理為使用失效數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)得到式(7)所示的似然函數(shù)，但較大的樣本總數(shù)使得表達式復雜、求解困難；另一種方式將樣本轉換為截尾分布后只使用失效數(shù)據(jù)列出似然函數(shù)，但該方法的求解精度隨截尾程度的增加而降低[25]，不適用于截尾程度過深的現(xiàn)場數(shù)據(jù)。最小二乘法則對截尾樣本、完全樣本均適用。

對式(1)所示的Weibull分布做線性化處理得到式(10)。

(10)

采用最小二乘法結合樣本對上式進行參數(shù)估計時，代入樣本點(ti,F(ti))， 其中i為樣本升序排列的序號，F(xiàn)(ti)采用近似中位秩計算、同時構造新的變量如式(11)所示。

(11)

則采用最小二乘法進行線性擬合得到的參數(shù)β、η的計算式分別如式(12)—(13)所示。

(12)

(13)

樣本的Bootstrap子樣的參數(shù)計算式要求同上述計算式保持一致，故抽樣過程中從Fn(β,η)中抽取N個樣本，升序排列并剔除大于截尾時間Tr的樣本后采用同樣的方法進行處理。

4 實例分析

本節(jié)以某廠家某型號智能電表的實際ALT數(shù)據(jù)和現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)為例，采用本文給出的可靠性評估方法進行處理并對結果進行分析。

4.1 算例數(shù)據(jù)處理

在ρs=95%、Ts=65 ℃的條件下對30個樣本開展ALT，由式(6)可知外推至ρu=75%、Tu=20 ℃的正常條件時，加速因子取值為234，由此得到的23個ALT失效數(shù)據(jù)及其外推結果在表1中給出，該樣本的等效正常使用條件下截尾時間為146 016 h。

表1 ALT失效數(shù)據(jù)及其外推結果Tab.1 ALT failure data and their extrapolation results

同時對現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行收集，得到某批次投入現(xiàn)場使用的同型號智能電表共2 312只，故障表計共53只，相應的失效數(shù)據(jù)如表2所示，該樣本截尾時間為89 784 h。

表2 現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)Tab.2 Field failure data

由現(xiàn)場數(shù)據(jù)根據(jù)式(12)—(13)求得形狀參數(shù)β=7.30，尺度參數(shù)η=140 700.17，從對應的Weibull分布中進行10次Bootstrap重抽樣與參數(shù)估計，得到各子樣的參數(shù)估計結果如表3所示。

以表3數(shù)據(jù)為基礎構建Weibull分布的參數(shù)聯(lián)合先驗分布，根據(jù)Bayes方法基于該離散先驗分布和試驗數(shù)據(jù)，由式(2)得到參數(shù)的后驗分布，根據(jù)式(3)—(4)得到對應的后驗期望值為β=5.74、η=130 818.18。

表3 Bootstrap子樣參數(shù)估計結果Tab.3 Parameter estimation results of Bootstrap samples

本文所提方法在上述算例場景下的應用流程圖如圖2所示。

圖2 算法在算例應用下的流程圖Fig.2 Flow chart of the algorithm in a calculation case application

4.2 結果對比分析

將本文方法得到的模型與基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)評估、基于ALT數(shù)據(jù)評估得到的模型進行對比，后兩種方法的模型采用最小二乘法單獨對表1的試驗數(shù)據(jù)、表2的現(xiàn)場數(shù)據(jù)處理得到，參數(shù)估計值由式(11)—(13)計算。3種數(shù)據(jù)源對應的模型參數(shù)整理如表4所示，對應的可靠度隨時間變化曲線及現(xiàn)場數(shù)據(jù)如圖3所示。可以得到如下結論。

表4 不同數(shù)據(jù)源的參數(shù)估計結果Tab.4 Estimation results of parameters based on different data source

圖3 三種不同數(shù)據(jù)源可靠性評估結果對比Fig.3 Comparision of reliability evaluation results based on three different data source

1)在有現(xiàn)場數(shù)據(jù)的時間段，僅采用ALT數(shù)據(jù)得到的智能電表可靠性模型預計的可靠度指標明顯低于實際運行數(shù)據(jù)反映的情況。

2)僅采用現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的智能電表可靠性模型對現(xiàn)場數(shù)據(jù)擬合效果較好，但由于現(xiàn)場數(shù)據(jù)集中在全生命周期的前半段，對于缺乏現(xiàn)場數(shù)據(jù)支撐的范圍無法判斷模型評估效果的優(yōu)劣。

3)本文所提方法得到的智能電表可靠性模型在前半段相較于僅依據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到的模型更接近現(xiàn)場實際情況；在無現(xiàn)場數(shù)據(jù)的后半段由于融合了涵蓋全生命周期的試驗數(shù)據(jù)，相較于僅依據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的模型其評估結果有一定的數(shù)據(jù)作為支撐，可以用于智能電表全生命周期的可靠性評估。

5 結語

本文提出了一種基于Bayes和Bootstrap方法的智能電表可靠性評估方法，融合現(xiàn)場數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)解決基于單一數(shù)據(jù)源的可靠性模型不夠準確的問題，采用Bootstrap方法處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)解決數(shù)據(jù)融合中先驗分布的獲取依賴主觀經驗的問題。

實例分析結果表明，該方法得到的模型能夠較好地反映現(xiàn)場實際可靠度水平，同時在現(xiàn)場數(shù)據(jù)缺失段利用試驗數(shù)據(jù)，綜合兩種數(shù)據(jù)各自的優(yōu)點，可用于解決智能電表全生命周期的可靠性評估問題，對智能電表的輪換工作具有一定的參考價值。