基于EFEMD-HT能量法的電力系統低頻振蕩模態辨識

張程，邱炳林，劉佳靜

(1. 福建工程學院電子電氣與物理學院，福州350118；2. 智能電網仿真分析與綜合控制福建省高校工程研究中心，福州350118)

0 引言

隨著電網規模的持續擴大，各區域電網互聯互通，使得當前電網的穩定運行能力下降，特別是基于電網的弱阻尼或欠阻尼等原因，使系統發生低頻振蕩現象[1 - 2]，特別地，系統若以水電機組為主，還存在著發生超低頻振蕩的風險[3 - 5]，振蕩愈發頻繁，嚴重時將導致系統運行解裂。抑制低頻振蕩的關鍵在于能夠迅速準確地辨識出主導振蕩模式的相關參數，較具代表性的一個分析方法為特征值分析法，由于新能源并網、電網規模持續擴大等原因[6 - 7]，特征值分析法的計算越發復雜、計算速度較慢，其運用范圍也在不斷受限。

為實現電力系統的安全穩定運行，對電網進行實時的監測監控已成為當下電網安全穩定運行必不可少的環節，同步相量單元(synchronous phasor unit, PMU)的廣泛配置及電力系統廣域測量系統(wide area measurement system, WAMS)的廣泛應用，使實測信號分析成為一大研究重點[8 - 9]。常用的信號分析法主要有快速傅立葉變換(fast Fourier transformation, FFT)[10]、自回歸滑動平均模型(autoregressive moving average，ARMA)法[11 - 12]、小波變換(wavelet transform, WT)[13]、Prony[14 - 15]和希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transformation, HHT)[16 - 17]等方法。文獻[10]中的FFT法能夠獲取系統的頻率但不能獲得系統的阻尼，且傳統的FFT法無法實現在線分析的功能；文獻[11 - 12]中的ARMA模型法雖然能夠計算出系統的阻尼系數和振蕩頻率，但在模型階數的確定過程中，計算量大且較為復雜；文獻[13]中的小波分析法存在小波脊選取困難的缺點；Prony分析法存在抗干擾能力較差，易受噪聲影響的問題[14]，基于此問題，文獻[15]通過對Prony分析法進行改進，在一定程度上解決了抗噪能力不足的缺點，但若是在多種振蕩模式共同作用下，其辨識振蕩模式參數的精度不足等問題也隨之而來。

近年來,由于HHT具有較強的自適應性能力、能夠分解各種非線性信號等優勢[16]，其應用越發廣泛，文獻[17]中的HHT克服了傳統FFT法和Prony法處理分析非平穩信號的不足與WT法小波脊選取困難等問題，但HHT法在EMD分解的過程中存在嚴重的端點效應，從而在分解的過程中存在較大的偏差，為此文獻[18]通過建立極值點對稱延拓的方法對算法進行了改進，雖有效解決了算法的端點效應但不可否認其模態混疊現象仍然存在。為解決模態混疊的問題，文獻[19]通過引入信號能量法對EMD分解的IMF用半周期能量法進行計算并權重，從而篩選出信號的主導振蕩模式分量，雖其結果有效可行，但因該方法只適用于二階模型下的振蕩信號應用范圍有限。對此，文獻[20]通過提出TEO能量指標并將其應用在語音信號上的處理，使能量法指標的應用不再局限于二階模型下的信號。文獻[21]將該方法與經驗模態分解技術進行結合，基本能夠確定出系統的主導振蕩模式，但其獲取模式阻尼比仍以二階模型下的信號能量分析法為基礎，所得到的結果存在一定的誤差，且TEO指標存在抗噪性較差等不足而有待進一步完善[22]。

基于上述分析，本文提出經驗模態分解的能量函數-希爾伯特變換(energy function of empirical mode decomposition-Hilbert transformation, EFEMD- HT)能量法，通過Hilbert變換與EFEMD能量法的結合，解決了EMD分解過后出現較多的分量而無法確定出系統的主導振蕩模式及其對應的主導振蕩參數。本文所提的EFEMD-HT能量法能夠對EMD分解出的各分量進行能量計算并權重，從而篩選出系統的主導振蕩模式，最后通過Hilbert變換對主導振蕩模式進行參數的提取。通過對給定的理想信號、EPRI- 36機系統仿真信號以及電網實測PMU信號進行仿真驗證，證實了本文所提EFEMD-HT能量法能夠對系統的主導振蕩模式進行準確的辨識。

1 EFEMD-HT的構成

1.1 EFEMD-HT能量法

對于信號能量的求取，目前可用方法較少，其中，信號能量法是根據發電機受擾軌跡分析系統動態特征的一種方法，主要原理是基于阻尼耗散能量原理[23]，該方法以物理模型為基礎。鑒于此，本文將從物理過程中提出EFEMD能量法。

用單位質量為m的質點和一條彈性系數為k的彈簧，一端固定而另一端與質點相連，將質點向固定點擠壓后松手，續而發生振蕩；則小球在t時刻的位移表示為：

(1)

式中：A為振幅；φ0為初始相位，在理想振蕩條件下，其能量總和為小球的動能和彈簧的勢能之和，表示為：

(2)

其中，小球的瞬時速度用微分表示，即

(3)

將式(1)、式(3)代入式(2)，可得：

(4)

E∝A2f2

(5)

若將該分析結果遷移到一個連續的振蕩信號系統中，則式(1)的表達式為：

xn=Acos(αn+φ0)

(6)

式中：α=2πf/fs；f為振蕩頻率；fs為采樣頻率[24]。

低頻振蕩信號通常是含有噪聲的信號，每個采樣點的能量值易受噪聲的影響，為提高計算過程中對每個采樣點能量的準確求取，本文將根據文獻[22]中取相隔a個采樣點進行9點3組方程采樣方法，具體過程如下。

(7)

(8)

(9)

對其進行三角變換，且當α非常小時，即采樣頻率足夠大時，對sin2(α)進行泰勒級數展開，可得sin2(α)≈α2， 即有：

(10)

由式(5)和式(10)可得，在某一采樣點xn處，其EFEMD-HT能量值記為:

(11)

通過計算出信號的每個采樣點所具有的相對能量值，對各個采樣點的能量求總和，即可獲得所對應的IMF所具有的相對能量值，并對它們進行能量占比分析，如式(12)所示。

(12)

式中：m為采樣點總數；Ex為某一個IMF所具有的相對能量值。

(13)

(14)

由于經驗模態分解(EMD)是根據被處理信號自身所具有的時間尺度作為依據，將被分解信號分解成不同頻率尺度的IMF[25 - 26]，此時虛假分量和主導分量將同時產生，因而本節的目的在于應用EFEMD-HT能量法計算出各IMF的能量權重與對比值ρ， 從而篩選出主導振蕩模式，剔除EMD分解分量中存在的虛假分量。

1.2 Hilbert變換解析IMF

通過1.1節引入的EFEMD能量法剔除虛假無關分量，再用Hilbert變換法對篩選出的主導振蕩模式提取振蕩頻率、阻尼比等關鍵參數，首先定義IMF為x(t)， 再由x(t)、y(t)構成的共軛復數對，得到解析信號z(t)、 瞬時幅值A(t)、 瞬時相位φ(t)以及瞬時頻率f(t)：

z(t)=x(t)+jy(t)=A(t)ejφ(t)

(15)

(16)

(17)

由式(16)和(17)可得f(t)的表達式為：

(18)

各振蕩模式的瞬時阻尼比ξ(t)的表達式如式(19)所示。

(19)

詳細的推導過程在文獻[27]中已給出，本文不再推導；衰減因子λ的表達式如式(20)所示，其中ω為角頻率，ξ為阻尼比。

(20)

通過Hilbert變換，獲取各振蕩模式瞬時參數的均值，從而得到各主導的振蕩頻率、阻尼比等參數。

2 基于能量法對振蕩模態參數的辨識

本文所提基于EFEMD-HT能量法的低頻振蕩模式辨識步驟歸納如下：

1)首先找出信號的局部極值點，用包絡線圍住上、下極值點，從而得到上、下包絡線，取其均值，記為m1，再用原信號x(t)減去m1得到h1，若滿足條件，則h1為第一個IMF；若h1不滿足條件，則將h1作為原信號重復上述操作；

2)當h1滿足條件時，則進行第二個IMF的分解，用x(t)減去h1，作為新的信號r1繼續分解，重復上述操作，直至最后一個信號rn成單調函數，不能繼續再作分解，從而得到n個IMF模態分量和一個剩余分量rn；

3)通過對原始信號的分解，獲得n個IMF分量，隨后由式(11)計算出每一個IMF分量中的每一個采樣點所具有的相對能量值K(xn)， 并根據式(12)將各采樣點的相對能量值進行求和，從而得到每個分量各自的相對能量值的總和Ex；

4)由EFEMD能量法計算得到的各個IMF分量所具有的能量值之后，分別采用式(13)—(14)對每一個IMF分解分量進行能量權重分析ηx與對比值ρ的計算，并將其從大至小排序，且根據預先設定的值，通常將能量權重大于15%的IMF分量篩選出來作為系統的主導振蕩模式；

5)通過以上步驟確定出主導振蕩模式并對其進行Hilbert變換，根據式(18)—(20)對瞬時參數求取均值獲取信號的主導頻率、衰減因子和阻尼比等參數信息。具體辨識流程如圖1所示。

圖1 本文提出的能量法提取參數的總流程Fig.1 General process of extracting parameters of energy method presented by this paper

3 仿真與實驗分析

3.1 測試信號

實際的電力系統低頻振蕩信號通常是含噪信號，現構造低頻振蕩信號如下，由兩個正弦信號和噪聲信號構成：

(21)

測試信號由頻率為0.5 Hz、1 Hz以及均值為0、方差為0.2的白噪聲信號w(t)構成的復合信號,信號的采樣頻率為35 Hz，采樣點數為800，得到的含噪信號原始信號波形圖如圖2所示。

圖2 含噪信號及原始信號Fig.2 Signal containing noisy signal and original signal

首先，對含噪信號進行EMD分解。本文截取EMD分解的部分結果圖，如圖3所示，從圖3中可知IMF1分量中含有大量噪聲，初步判斷IMF1為虛假無關分量,但人為的判斷無法保證判斷的準確性，而傳統分析方法亦是如此，如圖4所示，通過對各IMF進行Hilbert變換，獲取相應的瞬時頻率圖，只需對各分量的瞬時頻率求取均值，即可得到IMF各自的頻率值。

圖3 EMD分解的部分結果Fig.3 Partial results of EMD decomposition

圖4 部分IMF的瞬時頻率圖Fig.4 Instantaneous frequency diagram of IMF

其次，對主導振蕩模式分量和虛假分量加以篩選區分。本文使用EFEMD-HT能量法指標進行篩選。首先計算出各IMF分量的相對能量值，結果如圖5所示，根據能量值的大小可初步判斷振蕩信號中含有兩個主導振蕩模式IMF1和IMF2。為驗證上述結論，通過對各分量進行Hilbert變換，由頻譜圖可知，主導振蕩頻率為0.5 Hz和1 Hz左右，即驗證了有兩個主導振蕩模式。為驗證主導振蕩模式為IMF2和IMF3，需要對各IMF分量進行能量權重，并進行相對值ρ的計算，其結果如表1所示，能量權重值η和相對能量值ρ較大的為IMF2和IMF3。

圖5 各個IMF的量值Fig.5 Energy value of each IMF

表1 各個IMF的能量權重及對比值的結果Tab.1 Energy weights of each IMF and the results of the ratios

本文在程序上，先對EMD分解出的各分量按順序進行編號并排序，通過EFEMD能量法計算出各IMF分量的能量值，并對相應順序上的分量進行能量權重以及相對值計算，從而獲得相應的數組，利用判斷加循環的操作，將數組中權重值大于15%的分量作為系統的主導振蕩模式，以此確定出本文的主導振蕩模式。隨后利用Hilbert變換對本文篩選出的兩個主導振蕩模式進行參數的提取，計算出相應的頻率、阻尼比等參數信息。

為驗證本文分析方法提取參數的有效可行性，以下采用3種不同分析方法對實際辨識出的參數值與給定信號的參數值進行對比分析，如表2所示，其中測試信號的頻率為0.5 Hz和1 Hz、阻尼比為3.18%和7.9%。首先對于HHT而言，本文的EFEMD-HT能量法與HHT分析法本身都是對瞬時參數求取均值，所以兩種分析法都會因為每次不同的運行結果而在數值上稍有偏差，但兩種方法的根本區別在于HHT是對每一個EMD分解的結果進行解析，本身是沒有能力能夠從諸多參數中識別出主導振蕩的參數，表中的HHT辨識結果是人為篩選的，而本文分析方法是通過能量指標自行篩選；其次，就辨識精度而言，EFEMD-HT能量法也略優于傳統的HHT法，原因在于本文的分析方法在算法的處理上，較大程度避免了噪聲干擾以及虛假分量的影響；另外，在體現避免噪聲影響的重要性方面，與本文方法相比較，Prony法的參數辨識精度明顯較低，特別是其阻尼比的誤差明顯較大。

表2 主導振蕩模式參數提取的誤差分析Tab.2 Error analysis of parameter extraction of dominant oscillation mode

3.2 EPRI- 36系統仿真算例

為了驗證本文所提出的方法在電力系統低頻振蕩模態辨識分析中的有效性，采用EPRI- 36系統如圖6作為本文仿真分析系統。在母線20處設置一維持0.4 s，大小為0.5 p.u.的沖擊負荷。以1號發電機的有功功率作為輸入，由于本算例的故障為特別小的系統干擾，所以人工加入信噪比為25 dB的白噪聲來模擬電力系統實際采樣信號，其信號干擾已非常明顯，如圖7所示。利用電力系統綜合分析程序小干擾穩定分析模塊計算得到EPRI- 36節點系統G1機電振蕩模式特征值，如表3所示。

圖6 EPRI- 36節點仿真系統Fig.6 IEEE- 68 Node simulation system

圖7 G1有功功率的原始信號和含噪信號Fig.7 Original signal and noisy signal of G1 active power

表3 有功功率振蕩信號的特征值分析結果Tab.3 Eigenvalue analysis results of G1 active power oscillation signal

G1有功功率的原始輸入信號曲線和人為加入噪聲后的信號曲線如圖7所示。首先，對有功功率的原始輸入信號進行小干擾分析，從表3中可知，模式1的阻尼比較大，具有較強的阻尼特性，能夠有效地抑制振蕩，而其他模式的阻尼比均小于10，阻尼特性較弱，需要后續人為采取相應的措施來抑制振蕩所帶來的系統失穩風險。

首先，對加入噪聲后的G1有功功率信號進行EMD分解，部分分解結果如圖8所示。可知IMF1和IMF2分量中含有大量噪聲，初步判斷這兩個分量為虛假無關分量。接著使用EFEMD-HT能量法對各IMF分量進行能量值計算，其計算結果如圖9所示。根據能量值的大小可知系統中存在兩個主導振蕩模式，隨后對各IMF分量進行Hilbert變換，如圖10所示。確定系統確實存在兩個主導模式，振蕩頻率在0.75 Hz和1.8 Hz左右，最后通過能量權重和相對值計算，如表4所示，確定系統的主導振蕩模式為IMF3和IMF4。

圖8 EMD分解的部分結果Fig.8 Partial results of EMD decomposition

圖9 各個IMF的能量值Fig.9 Energy values of all the IMFs

表4 各個IMF的能量權重及對比值的結果Tab.4 Energy weights of each IMF and the results of the ratios

圖10 部分IMF的頻譜圖Fig.10 Spectrum of a part of IMF

隨后對篩選出的主導振蕩模式IMF3和IMF4進行Hilbert變換，得到如圖10所示的IMF頻譜圖。在相應的時間內對瞬時頻率取均值，得到頻率、阻尼比等參數信息，如圖11所示。其中由IMF3和IMF4可對應特征值分析結果中的模式2和模式7，頻率分別為1.825 6 Hz、0.784 1 Hz，阻尼比分別為6.874 7%、0.986 1%；通過表5中的3種分析方法辨識出的實際參數值，與特征值分析結果得出的參考值進行對比，分析其誤差并對IMF3和IMF4 進行重構，與原始信號曲線進行對比，如圖12所示。

圖11 部分IMF的瞬時頻率圖Fig.11 Instantaneous frequency diagram of a part of IMF

圖12 重構信號和原始信號的比較Fig.12 Comparison of the reconstructed signal and the original signal

從圖12可知，篩選重構后的信號基本能夠還原出原始信號；3.1節測試信號和本節仿真信號的分析結果表明，使用EFEMD-HT能量法能夠較好地對含噪信號進行分解、篩選、重構、參數提取，其辨識精度也能較好地滿足要求。表5為本文方法與HHT、Prony等傳統參數辨識法的對比，通過表5可直觀地體現出本文方法的有效性、準確性。

表5 主導振蕩模式的誤差分析Tab.5 Errors analysis of dominant oscillation mode

針對HHT方法辨識振蕩模式不準確的問題，大多數的研究方向都是通過對HHT本身的端點延拓以及包絡插值等方面進行改進，或是通過更好的去噪環節對含噪信號進行預處理，以提升最終振蕩模式的辨識精度，但這些方法都未解決HHT一個最為關鍵的問題，即如何從EMD分解出的眾多分量中確定出系統的主導振蕩模式；本文方法的提出有效地解決了主導振蕩模式難以確定的問題，能夠在前人對HHT算法改進的基礎上再對本文方法進行一個應用，以進一步提升主導振蕩模式的辨識精度。

4 實測電網數據

為進一步驗證本文所提出的方法在實際電網中的可行性，選取一段電網實測的低頻振蕩故障信號作為分析目標，該事故于2007年10月發生在美國的賓西法尼亞州，電網實測頻率數據曲線如圖13所示，數據記錄長度為35 s。

圖13 電網中的實測頻率曲線Fig.13 Measured frequency curve in power grid

由圖13可知，在頻率信號的中段區域內系統明顯受到了外界干擾，初步判斷該段為低頻振蕩發生的有效區間段，在信號參數的辨識過程中也主要是對該數據段進行波形分析以獲得系統的主導振蕩模式。

如圖14為實測信號的小波時頻分析圖，由圖中各頻率分量顏色的冷暖可以確定出系統發生低頻振蕩的時間大概在15～20 s，所發生的振蕩頻率介于1.5～2 Hz左右。

圖14 小波時頻分析圖Fig.14 Wavelet time-frequency analysis diagram

首先，將上述低頻振蕩頻率數據進行EMD分解，所得分解結果波形如圖15所示；隨后對各IMF分量能量值進行計算，所得結果分別為0.015 3、0.043 6、0.057 2、0.010 4、0.000 8、0.000 3，并根據本文提出的篩選指標確定出系統的主導振蕩模式，即進行能量權重分析以此確定出系統的主導振蕩模式分別為IMF2和IMF3。

圖15 EMD分解的部分結果Fig.15 Partial results of EMD decomposition

最后得到的分析結果如下：系統存在兩個主導振蕩模式，其頻率分別為1.731 5 Hz、1.826 4 Hz，阻尼比分別為0.018 2和0.007 4。綜上分析，表明了本文EFEMD-HT能量法在實測信號分析中的有效性與可行性。

5 結論

在當今電網規模的持續擴大以及當代新能源技術的發展與新能源并網的背景下，其低頻振蕩造成的系統失穩風險可能發展成整個大電網的安全穩定運行風險，為此，辨識出系統的低頻振蕩模式、提取振蕩中的關鍵參數尤為重要，為后續如何抑制低頻振蕩提供可靠的數據支持與理論支撐。

本文通過EFEMD-HT能量法，利用EMD技術先將信號進行分解，分解出的各振蕩模式進行能量計算并權重，并通過相對值計算進行驗證主導振蕩模式的篩選是否正確，對篩選出的主導振蕩模式進行重構從而還原出原始信號。

通過Hilbert變換獲取主導振蕩模式的各參數，對辨識出的關鍵振蕩模式參數信息進行對比分析，驗證了本文EFEMD-HT能量法能夠較好地實現主導振蕩模式參數的提取，其辨識參數的誤差也在可接受的范圍內，最后通過電網實測PMU數據進一步驗證了該方法在實際中的可行性。