涂層風沙沖蝕損傷表面分形維數預測模型

郝贠洪，張飛龍，宣姣羽，劉艷晨

涂層風沙沖蝕損傷表面分形維數預測模型

郝贠洪1a,1b,2，張飛龍1a，宣姣羽1c，劉艷晨1c

（1.內蒙古工業大學 a.土木工程學院 b.內蒙古自治區土木工程結構與力學重點試驗室 c.理學院，呼和浩特 010051；2.內蒙古自治區建筑檢測鑒定與安全評估工程技術研究中心，呼和浩特 010051）

建立涂層風沙沖蝕損傷表面分形維數預測模型，重構沖蝕損傷表面形貌，為涂層風沙沖蝕損傷表面形貌研究提供基礎。進行了聚氨酯防腐面漆涂層風沙沖蝕損傷試驗，建立了多粒徑粒子沖擊模型，利用赫茲接觸理論求解沖擊損傷面積及其分布概率，分析表面損傷的演化規律得到損傷面積增長迭代關系式，結合分形分布理論求解損傷表面分形維數，分析不同參數對理論模型的影響。利用理論模型重構損傷表面形貌、預測表面分形維數并與試驗結果進行對比分析。沖蝕試驗中，隨沖蝕時間、角度的增加，隨機均勻分布的損傷區域逐漸疊加聯通，分形維數也隨之增大；表面分形維數存在最大值，斜角度下單粒子沖擊損傷區域為彗星形。理論模型中，主導粒子粒徑越大，分形維數初期增長速度越慢；沖擊損傷面積越大，分形維數初期增長速度越快；損傷尺度系數越大，分形維數最大值越大；沖蝕前損傷面積越大，初始分形維數越大。對比理論模型與試驗結果，重構損傷表面形貌損傷演化規律與試驗結果相似，表面形貌余弦相似性及分形維數相關性系數均大于0.9。通過分析固體粒子沖蝕現象特點和試驗結果，發現風沙沖蝕是非線性的反饋的動力學系統，涂層沖蝕表面形貌具有迭代的損傷演化過程。基于此建立涂層風沙沖蝕損傷表面分形維數預測模型，可利用風沙流參數有效預測不同沖蝕時間下損傷表面分形維數、重構損傷表面形貌。理論模型預測結果與試驗結果具有較高的相似性，可以為涂層風沙沖蝕損傷表面形貌研究提供基礎。

風沙沖蝕；形貌；分形維數；赫茲接觸理論；分形分布理論；預測模型

風沙沖蝕現象[1]廣泛地存在于我國中西部地區，是工業結構和材料破壞的重要原因之一，準確描述沖蝕現象，解釋損傷機理，對于延長工業結構使用壽命具有重要意義[2-3]。為此，研究人員提出微切削理論[4]、變形磨損理論[5]、鍛壓擠壓理論[6]、彈塑性壓痕破裂理論[7]、二次沖蝕理論[8]、絕熱剪切與變形局部化磨損[9]、低周疲勞理論[10]、脫層理論[11]等理論來解釋沖蝕現象。不過，上述理論多是對沖蝕損傷力學機理的揭示，描述單顆粒沖擊損傷形貌變化較成功，用于定量表征損傷表面形貌全局變化尚有困難。自Mandel-brot創立分形理論[12]以來，就被大量應用于粗糙表面的研究[13-14]，利用其標度不變形的特點，可以有效、準確地表征[15-16]和重構[17-18]復雜精細零碎的表面結構。現有研究已證明[19-20]沖蝕損傷表面同樣具有自相似性和無標度性的特征，符合使用分形理論的條件。因此，不少學者使用分形理論表征沖蝕損傷表面[19-21]，揭示沖蝕損傷機理[22]。

準確預測不同沖蝕損傷條件下涂層損傷表面的分形維數，重構損傷表面形貌，為涂層風沙沖蝕損傷表面形貌研究提供理論依據。本文進行了聚氨酯防腐面漆涂層沖蝕試驗，通過分析沖蝕損傷的動力學過程建立了多粒徑粒子沖擊模型，基于赫茲接觸理論求解此模型中不同風沙流參數、不同粒徑粒子沖擊下表面的沖擊損傷面積及其分布概率，重構了損傷表面形貌。通過描述損傷表面形貌的迭代過程，結合分形分布理論預測了損傷表面分形維數。最后，分析了不同參數對分形維數預測模型的影響，并將理論模型結果與試驗結果對比分析。

1 試驗

1.1 材料及方法

沖蝕試驗采用氣流挾沙噴射法，使用風沙環境侵蝕試驗系統模擬沙塵暴環境下涂層的風沙沖蝕，如圖1所示。試件尺寸為80 mm×80 mm，基體使用Q235普通低碳鋼，涂層使用厚度為320 μm的聚氨酯防腐面漆。試驗使用的風沙沙粒取自內蒙古中西部庫布齊沙漠，粒徑級配見表1。使用激光共聚焦顯微鏡（LSCM）提取涂層損傷表面形貌圖像，圖像像素為1 024×1 024，尺寸為2 560 μm×2 560 μm。取樣點為損傷面橢圓交點，以保證所有試件的取樣點均被風沙流中軸線穿過，如圖2所示。

圖1 模擬風沙環境侵蝕試驗系統示意圖

Fig.1 Sketch map of simulated wind-sand environment erosion experiment system

表1 庫布齊沙漠粒徑分布

Tab.1Particle size distribution in Kubuqi desert

圖 2 涂層損傷表面形貌取樣位置

1.2 風沙流參數設置

使用風沙環境侵蝕試驗系統模擬風沙沖蝕現象，需要設置風沙流參數。文中設置的風沙流參數為：沖蝕速度12 m/s；沖蝕時間5、10、15、20、25、30、60、90、120 s；下沙率7 g/min；沖蝕角度15°、30°、45°、60°、75°、90°；涂層試件距出風口10 cm。可利用相似理論[23]將上述風沙流參數轉換為實際沙塵天氣工況，計算過程如下。

當沖蝕角為90°時，測得距出風口10 cm處風沙過流區域為直徑15 cm的圓形區域，則實際沙塵過流面積=m=0.070 7 m2。但風沙環境侵蝕試驗系統模擬的風沙流中沙粒分布并不均勻，呈現中間多、兩邊少的特點。利用儀器收集單位時間內距出風口10 cm處過流區域內沙塵濃度分布數據后可知，取樣點處的沙塵濃度為平均沙塵濃度的4.52倍，既m需乘4.52。沙塵質量濃度與下沙率s、沖蝕面積、沖蝕速度的關系為：

查表2可知，揚沙等級最強沙塵質量濃度為2 000 μg/m3，風速為12 m/s，換算為下沙率：

表2 沙塵天氣分類對應的沙塵濃度及風速

Tab.2 Relationship between sandstorm weather classification and dust mass concentration and wind velocity

速度相似比為：

質量相似比為：

沖蝕面積相似比為：

將式（3）—（5）代入式（1）可得沙塵質量濃度相似比為：

由式（6）可知，模擬試驗中沖蝕1 s可以模擬最強揚沙等級沙塵暴（沙塵質量濃度2 000 μg/m3，風速12 m/s）沖蝕311.13 s所造成的損傷，通過改變沖蝕時間即可模擬對應實際沙塵暴的爆發次數。例如，模擬試驗中沖蝕120 s相當于實際工況中連續4.15 a，每年發生5次持續時間為30 min的揚沙等級沙塵暴，查閱相關資料后[24]，認為符合內蒙古地區實際沙塵天氣情況。

1.3 試驗結果及分析

圖3為沖蝕角度為90°、不同沖蝕時間下涂層表面形貌的灰度圖像。可以看出，大小各異的損傷區域分布均勻隨機，隨著沖蝕時間的增加而增加，并且逐漸連通成條帶狀，最終布滿表面。表3為不同沖蝕時間下涂層表面形貌灰度圖像的分形維數。可以看出，隨著沖蝕時間的增加，分形維數不斷增加，直至達到最大值后不再變化。因為分形維數越大，說明表面結構越精細復雜，損傷也就越嚴重，當表面無法再繼續增加損傷細節時，分形維數就達到了最大值。而表面損傷的最小尺度與材料表面能[25]有關。一般來說，表面能越大，損傷尺寸越大，故表面最大分形維數與材料相關。

圖3 不同沖蝕時間下涂層的損傷圖像

表3 不同沖蝕時間下損傷圖像的分形維數

Tab.3 Fractal dimension of damage images under different erosion time

圖4為沖蝕時間為25 s、不同沖蝕角度下涂層表面形貌的灰度圖像。可以看出，損傷區域的全局分布同樣均勻隨機，并且逐漸連通成條帶狀，最終布滿表面，且單個沖擊損傷面積隨著沖蝕角度的增加而增加。圖5為不同沖蝕角度下單粒子沖擊涂層的損傷圖像。可以看出，損傷區域呈彗星形，慧尾指向粒子沖擊方向，且損傷區域的長寬比隨著沖蝕角度的增加而減小。因為風沙粒子的沖擊力可分解為平行于表面的切向力和垂直于表面的豎向力，當粒子首次接觸涂層時，沖擊力的豎向分量最大，粒子在切向力作用下移動的同時，豎向力、切向力均逐漸衰減。由于接觸半徑由沖擊力的豎向分量控制，故損傷區域頭部接觸半徑最大，并向尾部收縮，直至粒子離開涂層表面，使單粒子損傷區域由圓形拉長為彗星形。同時，實測后同一沖蝕角度下單粒子沖擊損傷區域的長寬比可視為常數，說明損傷區域面積主要由最大接觸半徑控制，而沖蝕角度越大，沖擊力豎向分量越大，最大接觸半徑也越大，故涂層表面沖擊損傷面積隨沖蝕角度的增加而增加。表4為不同沖蝕時間下涂層表面形貌灰度圖像的分形維數。可以看出，隨著沖蝕角度的增加，分形維數不斷增加，說明表面損傷越嚴重。

圖4 不同沖蝕角度下涂層的損傷圖像

圖5 不同沖蝕角度下單粒子沖擊涂層的損傷圖像

表4 不同沖蝕角度下損傷圖像的分形維數

Tab.4 Fractal dimension of damage images under different erosion angle

2 沖蝕損傷表面分形維數預測模型的建立

風沙沖蝕是指大量松散沙粒對材料表面持續沖擊，進而造成材料的累積損傷及磨耗的一種物理現象。結合圖3、圖4分析沖蝕現象的動力學過程，將其簡化為高速氣流攜帶大量不同粒徑粒子沖擊材料表面，在沖蝕表面造成隨機損傷，損傷分布均勻、尺度很小，同時可能發生重疊。由圖6可以看出這是反饋系統，下一刻的粒子將沖擊在上一刻的損傷表面上，沖蝕表面具有迭代的損傷過程。

圖6 多粒徑粒子沖擊模型

2.1 多粒徑粒子接觸模型的建立

風沙流沙粒組成一般按級配參數分為種，本文=5。計算單位質量風沙流所含的不同粒徑沙粒數n及沙粒總數，其表達式為：

因風沙粒子微小，轉動慣性可不考慮，雙方接觸區材料變形慣性力和涂層弧度也可忽略，而且沙粒往往接近球形，故粒子沖擊表面可以被描述為一個球形粒子沖擊半無限體的準靜態模型。赫茲接觸理論[26]可以描述這一過程，見圖7。當風沙粒子的沖擊角度為90°時，接觸區域為圓形；當沖擊角度小于90°時，在p的作用下損傷區域將向粒子沖擊方向延長，可利用橢圓面積公式π求此沖擊損傷區域面積，見圖8。

圖7 赫茲接觸模型

圖8 單粒子接觸區域平面模型

v=sin(10)

表5 不同豎向沖擊速度下的

Tab.5 ξ under different vertical erosion velocity

為計算不同粒徑沙粒沖擊損傷間的相互作用，將單位時間內單位過流面積的氣流攜帶的不同粒徑沙粒分離，依次沖擊至損傷表面，損傷疊加過程如圖9所示。因為相同粒徑間沙粒的相互作用是不同粒徑粒子間相互作用的特例，故考慮后者即可。以統計的角度分析上述過程可知，當單個損傷面足夠小、足夠離散時，單一粒徑沙粒造成的損傷面積，一部分會疊加至其他粒徑粒子已經造成的損傷面上，另一部分則會成為新的損傷面，而兩者的比例為已損傷區域面積與未損傷區域面積之比。其表達式為：

表6 不同沖蝕角度下的

Tab.6 γ under different erosion angle

圖9 不同粒徑粒子損傷疊加示意圖

結合風沙流參數，即可得單位時間單位過流面積上全部風沙粒子造成的沖擊損傷總面積。其表達式為：

式中：s為沙塵濃度，μg/m3；為單位時間單位面積沖擊損傷總面積，m2。

表7 不同疊加順序下′

Tab.7 S′ under different stacking sequence

2.2 表面損傷迭代模型建立

當風沙流穩定時，單位時間內單位過流面積的氣流所攜帶的沙粒數是恒定的，故將要造成的沖擊損傷總面積也是恒定的。但沖蝕損傷表面具有迭代的損傷過程，是反饋系統，下一刻表面損傷的變化率取決于上一刻損傷表面的狀態。以統計的角度分析上述迭代過程可知，當單個損傷面足夠小、足夠離散時，單位時間單位過流面積內風沙流帶來的沖擊損傷總面積，一部分將疊加在已損傷區域上，另一部分則成為新增的損傷面積，而兩者的比例為上一刻已損傷區域面積與未損傷區域面積之比，迭代過程如圖10所示。其表達式為：

式中：t為沖蝕時間，s；at為t時刻沖蝕表面單位面積上的沖蝕損傷總面積，m2。當沖蝕前（t=0）表面無損傷時，a0=0；有損傷時，a0為已損傷面積的比例。

2.3 損傷表面分形維數

分析圖3、圖4可知，風沙粒子沖蝕損傷表面上的單個沖擊損傷面很小，分散也很均勻，可以看作是有限空間上分布著有限個小幾何體，利用分形分布理論[28]可以描述這一空間分布的分形維數。其表達式為：

式中：為單個幾何體分布的概率；為單個幾何體面積；為空間總面積；s為分形維數。

為簡化計算，將式（13）中不同粒徑粒子的損傷面積s轉換為加權損傷面積0，即為。同時，空間總面積為單位面積1。已知單位面積上的沖蝕損傷總面積a即可求出損傷分布的概率。但表面最大分形維數與材料性質有關，故用損傷尺度系數修正，為試驗測得最大分形維數的一半。其表達式為：

式中：0為加權損傷面積，m2；為損傷尺度系數；為損傷表面分形維數。

將式（17）帶入式（18），式（18）帶式（22）中即可得不同風沙流參數、不同沖蝕時間下損傷表面分形維數最終表達式：

2.4 不同參數對表面分形維數的影響

圖11為不同變量下沖蝕損傷表面分形維數預測模型結果。分析圖11a可知，隨著粒徑級配中主導粒子（占比為50%）粒徑s的增大，分形維數前期增長速度減緩。因為粒子粒徑越大，單位質量中粒子總的表面積越小，沖擊表面造成的損傷越少，分形維數增長越緩慢。分析圖11b可知，隨著加權損傷面積0的增大，分形維數初期增長速率增加，將更早達到最大值，但是中后期增速放緩，曲線腹部向左上角擴張。因為0的增大實際上是沖擊損傷面積的增大，沖擊損傷面積增大將導致表面損傷加速。但前期損傷速度快，中后期未損傷面積就會驟減，故分形維數會前期增速快，中后期增速減緩。而一切能增加風沙流能量的變化，如氣流速度增加也會使0增大。分析圖11c可知，隨著沖蝕前已損傷面積比例0的增加，初始損傷面將更復雜，初始分形維數也隨之增大。

圖11 不同變量下理論模型的結果

圖12 不同系數下理論模型的結果

3 理論模型與試驗結果對比分析

3.1 表面形貌對比分析結果

圖14為沖蝕角度90°、不同沖蝕時間下沖蝕損傷表面形貌的重構圖像。依據本文參數，隨機生成大量如圖13a所示的單位時間的重構圖像，將其按時間順序依次疊加，即可生成不同沖蝕時間下損傷表面形貌的重構圖像，還原表面損傷迭代過程。可以看出，重構圖像與圖3中實際損傷圖像的變化規律相似。將圖14中損傷表面重構圖像與圖3中實際試驗損傷圖像，轉為二值圖（既元素僅為0、1的黑白圖像），以避免實際損傷圖像基底非白色而造成的統計誤差，再分析重構圖像與實際圖像的余弦相似性，結果見表8。余弦相似性[29]被大量應用于圖像的相關性分析，其性質是余弦相似度越接近1，圖像越相似。可以看出，重構圖像與實際損傷圖像余弦相似性均大于0.9，相似性良好。同時，當沖蝕時間達到60 s后，涂層表面幾乎完全損傷，重構損傷表面圖像也幾乎被完全填充，故兩者余弦相似度接近1。

圖13 單位時間內不同沖蝕角度下損傷表面的重構圖像

圖14 不同沖蝕時間下沖蝕損傷表面的重構圖像

表8 不同沖蝕時間下重構損傷圖像與實際損傷圖像的余弦相似性

Tab.8 Cosine similarity between reconstruction damage images and actual damage images under different erosion time

圖15為沖蝕時間25 s、不同沖蝕角度下沖蝕損傷表面形貌的重構圖像。生成方式與圖14相同，由于粒子沖擊方向均為同向，故單位時間的重構圖像為同向疊加。可以看出，重構圖像與圖4中實際損傷圖像的變化規律相似；重構圖像與實際圖像的余弦相似性均大于0.9，相似性良好，結果見表9。

3.2 分形維數對比分析結果

圖16為沖蝕角度90°、不同沖蝕時間下沖蝕損傷表面分形維數預測結果及實際試驗數據。圖中理論曲線的風沙流參數與文中試驗相同，初始損傷面積為0；有效損傷系數、接觸區域形狀系數使用表5、表6中的數據。可以看出，預測結果和試驗結果基本相符，兩者的相關性系數2為0.963 4；但理論曲線左端點低于試驗曲線，且理論曲線較晚達到最大值。因為涂層在沖蝕前一般會因為制備工藝或者運輸造成一定程度的損傷，故初始分形維數大于0；而LSCM拍攝的損傷圖像清晰度有限，當沖蝕時間達到90 s后，表面損傷尺度已經小于像素尺度，無法識別出更多的細節，故此后實際試驗的分形維數將直接達到最大值。

圖17為沖蝕時間25 s、不同沖蝕角度下沖蝕損傷表面分形維數預測結果及實際試驗數據。圖中理論曲線的風沙流參數與文中試驗相同，初始損傷面積為0；有效損傷系數、接觸區域形狀系數使用表5、表6中的數據。可以看出，預測結果和試驗結果基本相符，兩者的相關性系數2為0.987 1；但理論曲線左端點低于試驗曲線，且理論曲線最大值小于實驗曲線。同樣是因為涂層初始分形維數大于0，且LSCM拍攝的損傷圖像清晰度有限，使得實際試驗的分形維數會更快達到最大值。

圖15 不同沖蝕角度下沖蝕損傷表面的重構圖像

表9 不同沖蝕角度下重構損傷圖像與實際損傷圖像的余弦相似性

Tab.9 Cosine similarity between reconstruction damage images and actual damage images under different angle

圖16 不同沖蝕時間下涂層表面的分形維數

圖17 不同沖蝕角度下涂層表面的分形維數

4 結論

1）通過分析不同沖蝕時間、角度下，涂層損傷表面形貌、分形維數的演化規律，發現隨著沖蝕時間、角度的增加，隨機均勻分布的損傷區域逐漸疊加聯通，分形維數也隨之增大，且表面分形維數存在最大值，斜角度下單粒子沖擊損傷區域為彗星形。通過分析固體粒子沖蝕現象特點和試驗結果，建立多粒徑粒子沖擊模型，發現沖蝕表面具有迭代的損傷過程，是非線性的反饋的動力學系統，表面損傷的變化率取決于上一刻損傷表面的狀態。

2）考慮表面損傷的迭代過程，基于赫茲接觸理論和分形分布理論，提出一種根據風沙流參數預測多粒徑粒子沖擊下損傷表面分形維數、重構損傷表面的方法，并分析不同參數對分形維數預測模型的影響。結果顯示，主導粒子粒徑s越大，分形維數初期增長速度越慢；加權損傷面積0、有效損傷系數、接觸區域形狀系數越大，既沖擊損傷面積越大，分形維數初期增長速度越快；損傷尺度系數越大，分形維數最大值越大；沖蝕前已損傷面積比例0越大，初始分形維數越大。

3）基于沖蝕損傷表面分形維數預測模型，重構損傷表面、預測損傷表面分形維數，與實際試驗結果對比，發現兩者的演化規律相似，表面形貌余弦相似性及分形維數相關性系數均大于0.9。結果顯示，理論模型預測結果與試驗結果具有較高的相似性，可以有效重構和預測涂層沖蝕損傷表面形貌及分形維數。

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Fractal Dimension Prediction Model of Coating Damage Surface by Wind-sand Erosion

1a,1b,2,1a,1c,1c

(1. a. School of Civil Engineering, b. The Inner Mongolia Key Laboratory of Civil Engineering Structure and Mechanics, c. School of Science, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China; 2. The Inner Mongolia Research Center for Building Inspection, Identification and Safety Assessment, Hohhot 010051, China)

In this paper, the fractal dimension prediction model of coating damage surface by wind-sand erosion was established, and the erosion damage surface morphology was reconstructed, which provides the basis for the study of coating wind-sand erosion damage surface morphology. The sand erosion damage test of polyurethane anticorrosive topcoat coating was carried out, the impact model of multi-particle was established, particle impact damage area and distribution probability were solved by using the hertz contact theory. By described the evolution law of surface damage, the iterative relationship of the increase of damage area was obtained. And combined with the theory of fractal distribution, the fractal dimension of damaged surface was solved. Finally, analyzes the influence of different parameters on the theoretical model, The theoretical model was used to reconstruct the surface morphology of erosion damage, predict the fractal dimension of damage surface, and compared it with experimental results. In the erosion experiment, with the increase of erosion time and angle, the random and evenly distributed damage areas will overlap and connect with each other, and the fractal dimension will also increase. The surface fractal dimension has a maximum value, and the single-particle impact damage area under oblique angle is a comet. In the theoretical model, the larger the dominant particle size, the slower the initial growth rate of the fractal dimension. The larger the impact damage area, the faster the growth rate of the fractal dimension. The larger the damage scale factor, the larger the maximum value of the fractal dimension. The larger the damage area before erosion, the larger the initial fractal dimension. Comparing the theoretical model with the experimental results, the damage evolution law of the reconstructed damage surface morphology was similar to the experimental results, and the cosine similarity of surface topography and the correlation coefficient of fractal dimension were both greater than 0.9. By analyzing the characteristics of solid particle erosion and experimental results, it was found that wind-sand erosion is a nonlinear feedback dynamic system, and coating erosion surface morphology has iterative damage evolution process. Based on this, the fractal dimension prediction model of coating wind-sand erosion damage surface was established. The wind-sand flow parameters can be used to effectively predict the fractal dimension of the damage surface and reconstruct the damage surface morphology under different erosion time. The predicted results of the theoretical model have a high similarity with the experimental results, which can provide a basis for the study of the surface morphology of wind-sand erosion damage.

wind-sand erosion; morphology; fractal dimension; hertz contact theory; fractal distribution theory; prediction model

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TH117.1

A

1001-3660(2022)04-0127-12

10.16490/j.cnki.issn.1001-3660.2022.04.012

2021-04-19；

2021-08-30

2021-04-19；

2021-08-30

國家自然科學基金（11862022）；內蒙古自治區自然科學基金項目（2018MS0547）；內蒙古自治區青年科技英才支持計劃（NJYT-17-A09）

Supported by the National Natural Science Foundation of China (11862022); the Natural Science Foundation of Inner Mongolia Autonomous Region (2018MS0547); the Youth Science and Technology Talent Support Program (NJYT-17-A09)

郝贠洪（1977—），男，博士，教授，主要研究方向為區域特殊環境下工程結構和材料耐久性損傷及評價。

HAO Yun-hong (1977—), Male, Doctor, Professor, Research focus: engineering structure and material durability damage and evaluation under special regional environment.

郝贠洪, 張飛龍, 宣姣羽, 等. 涂層風沙沖蝕損傷表面分形維數預測模型[J]. 表面技術, 2022, 51(4): 127-138.

HAO Yun-hong, ZHANG Fei-long, XUAN Jiao-yu, et al. Fractal Dimension Prediction Model of Coating Damage Surface by Wind-sand Erosion[J]. Surface Technology, 2022, 51(4): 127-138.

責任編輯：萬長清