偏度約束下單位收益風險最小的投資組合模型構建與實證

劉洪民（總會計師）戰穎（高級會計師）喬運鋒（高級會計師）

（1，2中冶北方工程技術有限公司 遼寧大連 114051 3中冶焦耐工程技術有限公司 遼寧大連 114031）

一、引言

投資組合問題是現代財務學研究的起源，諾貝爾經濟學獎獲得者Markowitz使用方差度量風險并構建均值-方差模型來定量研究資產的優化配置，標志著現代投資組合理論的誕生。由于方差將收益率向上的有利波動也視為風險，顯然是夸大了風險，與實際不符。對此，學術界提出了其他投資組合模型。

以風險或收益是否給定為標準，可將現有的投資組合模型分為兩大類。

第一類是既定風險下收益最大化或者既定收益下風險最小化的投資組合模型。其中，比較有代表性的是VaR模型，VaR（Value at Risk）主要用于衡量某一資產組合在市場正常波動時所遭受的潛在損失，它是三十國集團于1993年正式提出的，被巴塞爾銀行監管委員會于1995年所采納并加以推廣應用。但Artzner（1997）證明了VaR不滿足風險測度一致性公理中的次可加性，是一種不夠完善的風險度量方法。針對 VaR 的不足，Stanislav（2000）提出 CVaR（Conditional VaR），它是指某一資產組合的損失超過VaR的條件均值，反映了超額損失的平均水平。Stanislav證明了CVaR滿足次可加性，比方差和VaR更能有效地測度投資組合風險。李鋒剛等（2016）通過實證檢驗發現我國股票收益率不服從正態分布，采用改進粒子群算法來求解非正態分布下的均值-CVaR模型。

第二類是基于單位風險收益最大化或者單位收益風險最小化的投資組合模型，主要研究如何對投資組合的收益與風險進行綜合權衡。其中，武敏婷等（2010）采用均值與VaR的比值測度單位風險收益，并構建了單位風險收益最大化的投資組合優化模型。高培旺（2011）使用標準差與均值的比值即變異系數來度量單位收益風險，并建立了基于變異系數最小的投資組合模型。由于VaR、標準差（即方差的平方根）均不是完善的風險度量方法，吳雷等（2013）選用CVaR與期望收益率之比來度量投資者為獲得每一個單位收益所承擔的風險，構建了單位收益風險最小化的投資組合模型。

上述模型大多關注收益的前兩階矩（即均值和方差），往往忽視了收益的三階矩（即偏度）風險。早在1970年，著名經濟學家Sanuelson就明確提出：如果資產收益率不服從正態分布，那么高階矩風險特別是三階矩風險就不容忽視。遲國泰等（2009）在均值-方差模型基礎上引入偏度不小于零的約束，并證實偏度的引入可以降低投資組合風險。吳雷等（2014）在均值-CVaR模型的基礎上引入偏度約束，構建了均值與偏度約束下CVaR最小的投資組合模型并予以實證。蔡小龍等（2017）通過引入偏度約束，構建了均值-方差-偏度-正弦熵的投資組合模型，實證結果表明偏度約束在控制風險的同時可實現更高收益。

上述第一類模型需要投資者事先設定收益率或風險，存在著較大的主觀性和隨意性，如果投資者將收益率設定得過高或過低，都可能導致投資者為獲得每一個單位的收益而承擔了過高的風險。而第二類模型沒有考慮收益的三階矩（即偏度）風險。綜合考慮上述因素后，本文選用CVaR與期望收益率之比來度量單位收益風險，通過引入偏度大于等于零的約束條件來控制重大投資損失發生的概率，構建了偏度約束下單位收益風險最小的投資組合模型，并對模型作實證檢驗。

二、模型構建

（一）單位收益風險最小原理

現有文獻通常采用期望收益率來度量投資組合的收益，使用方差、VaR、CVaR等度量投資組合的風險。如前文所述，方差高估了風險，VaR不滿足次可加性，兩者均不是完善的風險測度方法。現有研究已證實CVaR滿足次可加性、具有凸性等特性，被認為是一種較為完善的風險度量方法。因此，本文選用CVaR測度投資組合風險。

CVaR是Conditional Value at Risk的縮寫，通常譯為“條件在險價值”，是指在一定期間和置信水平下損失超過VaR的條件均值。現有的CVaR模型大多是給定收益率使風險值CVaR最小，投資者要求的收益率越高，承擔的風險值CVaR也越高。然而，這類模型忽視了另一部分投資者的需求：對收益率沒有特定的要求，但希望為賺取每一元錢所承擔的風險最小。此外，由于這類模型中的收益率是投資者人為設定的，存在著較大的主觀性和隨意性，如果投資者將收益率設定得過高或過低，都可能導致投資者為獲得每一個單位的收益而承擔了過高的風險。

表1列示的是三種不同類型的投資組合，其中，“甲”的期望收益率與風險值CVaR均較低，投資者過于“謹慎”，但單位收益風險（CVaR與期望收益率的比值）較高，也就是說，投資者設定了過低的收益率，可能導致其為獲得每單位的收益而承擔了較高的風險。相反，“丙”的期望收益率與風險值CVaR均較高，投資者較為“冒險”，但單位收益風險偏高，換言之，投資者設定了過高的收益率，可能導致了其為獲得每單位的收益而承擔了較高的風險。“乙”的期望收益率和風險值CVaR較為適中，但單位收益風險相對較低。很顯然，理性投資者應選擇“乙”，即選擇單位收益風險最小的投資組合。

表1 不同期望收益率下的投資組合

本文選擇CVaR與期望收益率的比值度量單位收益風險，并構建基于單位收益風險最小化的投資組合模型，該模型不需要事先給定收益率就能求解，既滿足了部分投資者對收益率沒有特定要求但期望賺取每一元錢所承擔風險最小的需求，又對投資組合的收益與風險加以綜合考慮，可以避免投資者對收益率設定過高或過低所導致的單位收益風險過高，減少了投資者事先對收益率的盲目估計行為，提高了投資的效率和合理性。

（二）模型構建的思路

本文以CVaR與期望收益率的比值來測度單位收益風險，通過引入投資組合收益率的偏度大于等于0約束來降低投資損失發生的概率，構建了基于偏度約束下的單位風險最小的投資組合優化模型，模型構建的具體思路如圖1所示。

圖1 偏度約束下單位收益風險最小的投資組合優化模型構建思路

（三）目標函數的建立

1.目標函數的表達式。由上文分析可知，以CVaR與期望收益率的比值來度量單位收益風險，可以有效避免投資者對收益率設定過高或過低所導致的單位收益風險偏高。因此，目標函數就是最小化CVaR與期望收益率的比值，即：

2.CVaR的表達式。根據CVaR的定義，可以得到：

其中，發f（x，r）表示投資組合的損失函數，θ表示置信度。

通過式（2），無法直接求出CVaR，因為該式中含有內生參數VaR。本文參考Krokhmal（2002）設計的方法，對CVaR的計算進行離散化處理，得到CVaR的近似表達式：

通過式（3）計算出的β值就是VaR，由此可見，在求解CVaR的同時順便得到VaR。

3.目標函數的等價形式。綜合式（1）和式（3），模型的目標函數可轉化為：

（四）約束條件的建立

1.偏度約束。偏度可用于衡量收益率概率分布的偏斜方向以及偏斜程度，其計算公式為：

其中：n為資產數量，r為第i項資產收益率，r為期望收益率，σ為收益率的標準差。

如圖2所示，虛曲線M和實曲線N刻畫的是期望收益率相同但偏度不同的兩個概率分布，其中，M的偏度小于零，左尾長而右尾短，發生重大投資損失的風險較高；N的偏度大于零，左尾短而右尾長，發生重大投資損失的概率較低。顯然，選擇N進行投資，則在相同期望收益下，面臨的風險更小，與投資者的期望相符。

圖2 兩個不同偏度的收益率分布

以偏度大于等于零作為約束條件，可以減少重大投資損失發生的幾率，同時保留高收益發生的概率，進而降低投資風險，這正是使用偏度約束進行風險控制的基本原理。因此，本文引入了投資組合收益率的偏度為非負的約束，即：

2.投資比例約束。投資組合中所有資產的投資比例之和應等于1，即：

投資組合中每一項資產的投資比例通常不小于0，即：

（五）模型的建立

綜合式（4）—（7），可以建立偏度約束下單位收益風險最小的投資組合優化模型，即：

其中：x表示投資比例，是模型最終所要求出的變量。

式（9）得到的模型與式（8）中的模型有相同的最優解，式（9）為一般的數學規劃模型，可通過現有的數學軟件就能求出最優解。

由此可見，對模型進行離散化和線性化處理后，不需要假定收益率是否服從正態分布就能求解，既降低了模型的求解難度，又提高了模型的實用性。同時，在求解CVaR的同時順便得到VaR，而VaR在風險管理實踐中使用較為普遍，模型的實用價值得到進一步提升。

三、實證研究

（一）數據收集與統計分析

本文從我國滬深股市抽取10只不同行業的股票進行投資，時間跨度為2020年1月1日至2020年6月30日，以每周三的股票收盤價為基礎，采用對數方法計算股票周收益率r，其公式如下：

其中，P和P分別表示第i只股票在第t周和第t-1周周三的收盤價。

通過計算，得到了每只股票25個周收益率數據，有關描述性統計結果如表2所示。

表2 10只股票收益率的描述性統計

由表2可知，10只股票收益率的偏度和峰度均不為0，意味著這10只股票收益率均不服從正態分布，并且有8只股票收益率的偏度小于0，其收益率概率分布的“左尾”較長，出現低收益率的概率較大，投資風險也較高。其中，航天科技（股票代碼000901）周收益率的偏度為-2.14，峰度高達6.09，其分布明顯帶有“尖峰厚尾”，且“左尾”較長，出現低收益率的概率較高。

（二）模型求解與分析

將m=25，n=10等數據代入式（9）中，置信度θ分別取90%、95%、99%，利用數學軟件MATLAB進行求解，求解結果如表3所示。

表3 模型求解結果

從表3可以看出，在三種不同的置信度下，始終選擇黃山旅游、蘇寧易購、順鑫農業這三只股票進行組合投資，投資的股票種類并沒有變化，只是投資的比例有所調整。當置信度θ設定為90%時，上述三只股票的投資比例分別為12.36%、28.52%、59.12%，投資者為獲得1.61%的周期望收益率，所承擔的風險值VaR、CVaR和單位收益風險分別為8.96%、9.28%和5.78。也就是說，有90%的概率可以斷定：未來一周內，上述三只股票組合因市場正常波動所導致的損失不超過8.96%，因市場正常波動所導致的極端損失不超過9.28%，為獲得1%的收益所承擔的極端損失不超過5.78%。

當置信度θ設定為99%時，上述三只股票的投資比例分別為7.19%、19.76%和73.05%，投資者為獲得2.02%的周期望收益率，所承擔的風險值VaR、CVaR和單位收益風險分別為11.97%、12.13%和6.01。也就是說，有99%的概率可以斷定：未來一周內，上述三只股票組合因市場正常波動所導致的損失不超過11.97%，因市場正常波動所導致的極端損失不超過12.13%，為獲得1%的收益所承擔的極端損失不超過6.01%。

從表3可知，當置信度θ從90%增加到99%時，VaR值從8.96%上升到11.97%，CVaR值從9.28%上升到12.13%，也就是說，VaR值和CVaR值都伴隨著置信度θ的增加而上升，這意味著模型對投資組合風險的測度越來越充分，模型求解結果的可信度也越來越強。

同時，從表3中不難發現，在三種置信度下，CVaR值比VaR值都高，這反映出CVaR對投資組合極端風險的刻畫要比VaR更加充分，也進一步證實風險測度方法CVaR比VaR更完善。此外，當投資者期望收益率增加時，投資者承擔的風險值VaR、CVaR和單位收益風險也不斷上升，也印證了“高收益高風險”的投資規律。

四、結論

本文以CVaR與期望收益率的比值來度量單位收益風險，通過引入投資組合收益率的偏度大于等于零約束來降低投資損失發生的概率，構建出偏度約束下單位風險最小的投資組合優化模型，并利用我國滬深兩市股票數據對模型進行了實證檢驗。

與傳統的投資組合模型相比，此模型的主要特色體現在：（1）不需要投資者事先設定收益率就能求解，既滿足了部分投資者對收益率沒有特定要求但期望賺取每一元錢所承擔風險最小的需求，又對投資組合的收益與風險加以綜合考慮，可以避免投資者對收益率設定得過高或過低所導致的單位收益風險偏高，減少了投資者對收益率的事先盲目估計行為，提高了投資的效率和合理性。（2）通過引入偏度大于等于零的約束，減少了重大投資損失發生的幾率，同時保留了高收益率發生的概率，降低了投資風險。（3）對模型作離散化和線性化處理，不需假定收益率是否服從正態分布就能求解，既簡化了模型的計算，又拓寬了模型的適用范圍。