基于GAM 模型和隨機(jī)森林車險(xiǎn)索賠次數(shù)預(yù)測

□文/孫 靜

（南京信息工程大學(xué) 江蘇·南京）

［提要］ 近年來，廣義可加模型（GAM）在非壽險(xiǎn)中得到廣泛的應(yīng)用，隨機(jī)森林作為極具代表性的一種集成學(xué)習(xí)方法在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域也取得很好的效果，為非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)提供了一種新的選擇。因此，本文針對一組具有零膨脹特征的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，建立零膨脹泊松分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布下的GAM 模型，并將其與隨機(jī)森林模型進(jìn)行比較分析。結(jié)果表明：預(yù)測效果最優(yōu)的是基于零膨脹泊松分布的GAM 模型。在此基礎(chǔ)上，對各解釋變量進(jìn)行分析，為車險(xiǎn)費(fèi)率的厘定提供一定的參考。

在對車險(xiǎn)的研究中，車險(xiǎn)費(fèi)率占據(jù)著舉足輕重的地位，因此保險(xiǎn)公司必須建立適合的定價(jià)模型來厘定更為合理的費(fèi)率。一般來說，車險(xiǎn)費(fèi)率模型主要分為索賠頻率模型和索賠強(qiáng)度模型，本文僅考慮索賠次數(shù)的預(yù)測模型。由于實(shí)際中的索賠次數(shù)通常具有零膨脹性質(zhì)，故Yip和 Yau（2005）引入零膨脹模型，并分別用 ZIP、ZINB、ZIGP、ZIDP 回歸模型擬合車險(xiǎn)索賠次數(shù)，結(jié)果表明零膨脹模型可以改善對數(shù)據(jù)的擬合效果。廣義線性模型（GLM）作為車險(xiǎn)費(fèi)率厘定中最常用的模型，卻不能有效地處理非線性問題，故Hastie 等（1986）提出廣義可加模型（GAM），可以將連續(xù)型解釋變量以平滑函數(shù)形式引入回歸模型，改善模型的預(yù)測精度。關(guān)于GAM 模型的應(yīng)用，Günther 等（2014）利用廣義可加模型預(yù)測客戶離開保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)概率，發(fā)現(xiàn)廣義可加模型能很好地識(shí)別解釋變量之間的非線性關(guān)系。張連增和申晴（2019）使用廣義可加模型對交強(qiáng)險(xiǎn)索賠頻率建模，并對索賠頻率影響因素進(jìn)行分析。

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)成為統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的熱門工具。在車險(xiǎn)費(fèi)率研究中，Guelman（2012）使用梯度提升樹對索賠頻率和索賠強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果顯示該模型的預(yù)測效果比GLM 模型的效果要好。孟生旺（2012）對索賠頻率的線性回歸模型、廣義線性模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、回歸樹進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果優(yōu)于各種廣義線性模型，而回歸樹僅優(yōu)于線性回歸模型。Lee 和Antonio（2015）對索賠頻率分別建立GLM 模型、GAM 模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和決策樹，通過比較發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果最佳。Wüthrich 和Buser（2017）對機(jī)器學(xué)習(xí)諸多算法的基本原理進(jìn)行簡要梳理，并分別介紹這些算法在非壽險(xiǎn)定價(jià)中的簡單應(yīng)用。Noll 等（2018）用GLM 模型、回歸樹、提升算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等對索賠頻率進(jìn)行建模分析，并比較幾個(gè)模型在建模中的表現(xiàn)。張連增和謝厚誼（2018）使用泊松回歸樹和bagging 方法對車險(xiǎn)索賠頻率進(jìn)行預(yù)測，研究結(jié)果表明回歸樹的效果不如廣義線性模型，而bagging 法可以提高回歸樹的預(yù)測能力。曾宇哲等（2019）用多種機(jī)器學(xué)習(xí)方法和GLM 模型對7 個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合，結(jié)果顯示在所有數(shù)據(jù)集上XGboost的預(yù)測效果均優(yōu)于GLM 模型。

本文選用隨機(jī)森林和基于零膨脹泊松分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布的GAM 模型對一組實(shí)際車險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)中的索賠次數(shù)進(jìn)行研究分析，并對不同模型的預(yù)測效果進(jìn)行比較，探究更為合理的預(yù)測方法，為車險(xiǎn)索賠頻率研究提供一定的參考。

一、預(yù)備知識(shí)

（一）車險(xiǎn)索賠次數(shù)分布。用隨機(jī)變量Y 表示保單的索賠次數(shù)，i=1，2，3…，若 Y 服從零膨脹分布，則根據(jù) Yip 和 Yau（2005），其概率函數(shù)表示如下：

式中，φ 為發(fā)生事故但未索賠的概率，0＜φ＜1，K 為隨機(jī)變量。

當(dāng)隨機(jī)變量K 為服從均值為μ 的泊松分布時(shí)，隨機(jī)變量Y 服從零膨脹泊松分布（ZIP），其概率函數(shù)可表示為：

當(dāng)隨機(jī)變量K 為服從參數(shù)為r 和μ 負(fù)二項(xiàng)分布時(shí)，隨機(jī)變量Y 服從零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布（ZINBI），其概率函數(shù)可表示為：

當(dāng)φ=0 時(shí)，零膨脹分布退化為泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布。

（二）GAM 模型。設(shè) YT=（Y1，Y2，…Yn）為響應(yīng)變量的 n 維向量，其服從指數(shù)族分布。據(jù)Hastie 等（1986）所述，GAM 模型的結(jié)構(gòu)表示如下：

其中，μ 為響應(yīng)變量 Y 的均值，g（·）為連接預(yù)測項(xiàng) η 和均值 μ 的連接函數(shù)；向量X 為具有線性影響的解釋變量，β 表示參數(shù)向量，則Xβ 為解釋變量的線性影響函數(shù)；xj（j=1，2，…J）是具有非線性影響的解釋變量，hj（·）是關(guān)于xj的非參數(shù)平滑函數(shù)。

（三）隨機(jī)森林。隨機(jī)森林是Breiman（2001）提出的一種以CART決策樹為基礎(chǔ)的集成學(xué)習(xí)模型。隨機(jī)森林模型的適應(yīng)性較強(qiáng)，不容易產(chǎn)生過擬合問題，它既可以用于分類也可以用于回歸。隨機(jī)森林的生成步驟如下：

1、用Bootstrap 方法從樣本容量為K 的訓(xùn)練集中有放回地隨機(jī)抽取等量的樣本，作為一棵決策樹的訓(xùn)練樣本。

2、決策樹由根節(jié)點(diǎn)開始自上而下遞歸分裂。在決策樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)需要分裂時(shí)，從樣本中的M 個(gè)特征（解釋變量）中隨機(jī)選取m 個(gè)特征（m＜M），再從m 個(gè)特征中挑選一個(gè)最優(yōu)特征對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂。

3、決策樹的形成過程中每個(gè)節(jié)點(diǎn)均按照步驟2 進(jìn)行分裂，直到節(jié)點(diǎn)無法繼續(xù)分裂時(shí)停止。隨機(jī)森林中的決策樹都隨意生長，不需要進(jìn)行剪枝。

4、按照上述3 個(gè)步驟生成N 棵回歸樹，從而構(gòu)成隨機(jī)森林。在回歸問題中，由森林中的每一棵決策樹分別輸出一個(gè)預(yù)測值，所有決策樹的預(yù)測值的平均值即為隨機(jī)森林的輸出值。

隨機(jī)森林的生成依賴于兩個(gè)極為重要的參數(shù)，即隨機(jī)選取的特征個(gè)數(shù)mtry 和隨機(jī)森林中決策樹的數(shù)量ntree，它們影響著隨機(jī)森林模型的分類能力。

（四）模型評(píng)價(jià)

1、在選擇GAM 模型時(shí)，本文采用AIC、BIC 準(zhǔn)則進(jìn)行比較。一般來說，AIC 和BIC 的值越小，模型的擬合效果越好。AIC 和BIC 的定義如下：

其中，lc是對數(shù)似然函數(shù)，k 是模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，n 是模型中的觀測值個(gè)數(shù)。

2、本文使用均方根誤差（RMSE）對隨機(jī)森林和GAM 模型進(jìn)行比較，其表達(dá)式如下：

其中，yi表示觀測值，表示模型預(yù)測值，n 是模型中的觀測值個(gè)數(shù)。RMSE 表示預(yù)測值與實(shí)際觀測值之間的平均偏差，其值越小，說明模型的預(yù)測效果越好。

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)描述與預(yù)處理。本文使用的是AutoClaim 數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集是從SAS Enterprise Miner 數(shù)據(jù)庫中檢索的一組汽車第三方責(zé)任保險(xiǎn)數(shù)據(jù)，其包含10，302 份保單和27 個(gè)變量。為了便于計(jì)算和減小模型預(yù)測誤差，本文進(jìn)行了變量篩選。首先，剔除無關(guān)變量ID（訂單編號(hào)）、BIRTH（出生日期）、OLDCLAIM（累計(jì)索賠金額）和 CLAIM_AMT（當(dāng)期索賠金額），然后采用向后逐步回歸對其余變量進(jìn)行降維。根據(jù)向后逐步回歸的結(jié)果，本文選取了12 個(gè)變量作為解釋變量，各解釋變量及其具體信息如表1 所示。（表1）

表1 解釋變量及說明一覽表

在處理缺失值和異常值后，得到的數(shù)據(jù)集包含7，647 個(gè)樣本。進(jìn)而，本文分別從索賠次數(shù)為 0、1、2、3、4、5 的保單中隨機(jī)抽取 80%的保單形成訓(xùn)練集，其余20%的保單數(shù)據(jù)形成測試集。對索賠次數(shù)作簡單統(tǒng)計(jì)，具體情況如表2 所示。（表2）

表2 索賠次數(shù)的頻率一覽表

表2 顯示，在訓(xùn)練集和測試集中，均有超過60%的數(shù)據(jù)索賠次數(shù)為0，說明該組數(shù)據(jù)具有零膨脹特征。訓(xùn)練集中有12.5%的保單發(fā)生1次索賠，26.4%的保單發(fā)生2 次以上索賠，索賠次數(shù)為5 的保單出現(xiàn)頻率最低，僅為0.02%；測試集中有11.2%的保單發(fā)生1 次索賠，25%的保單發(fā)生2 次以上索賠，索賠次數(shù)為5 的頻率僅為0.03%。

（二）GAM 模型擬合。本文在索賠次數(shù)服從泊松分布、負(fù)二項(xiàng)分布、零膨脹泊松分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布的條件下建立GAM 模型。計(jì)算不同模型的AIC 值和BIC 值，結(jié)果如表3 所示。（表3）

表3 不同分布下的模型擬合優(yōu)度一覽表

由表3 可知，零膨脹模型優(yōu)于普通的泊松回歸模型和負(fù)二項(xiàng)回歸模型，且通過比較AIC 值和BIC 值發(fā)現(xiàn)，ZIP 分布下建立的GAM 模型擬合效果最優(yōu)。本文對其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如表4 所示。（表4）

表4 參數(shù)估計(jì)一覽表

根據(jù)參數(shù)估計(jì)表，在Yi服從零膨脹泊松分布下，得到的GAM 模型如下所示：

log（μi）=0.040+0.141CLAIMFLAG（1）-0.105CARUSE（Private）+0.035HOMEKIDS +0.149MSTATUS +0.092MVRPTS +0.082REDCAR -1.227URBANICITY （Rural）+cs （TRAVTIME）+cs （BLUEBOOK）+cs（HOMEVAL）+cs（INCOME）+cs（AGE）

可以看出，幾乎所有解釋變量都對均值有顯著影響。上報(bào)索賠的投保人有較多的索賠次數(shù)；相對于商務(wù)車來說，私家車具有較少的索賠次數(shù)；對于已婚的投保人來說，未婚投保人的索賠次數(shù)更多；違規(guī)記錄和孩子數(shù)量的系數(shù)為正值，說明違規(guī)記錄和孩子數(shù)量越多的駕駛?cè)税l(fā)生索賠的次數(shù)越多；紅色車輛發(fā)生索賠的次數(shù)比其他顏色的車輛更多；而在鄉(xiāng)村行駛的車輛索賠次數(shù)比城市更少。表4 中的非參數(shù)變量系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)誤差僅指平滑器的線性部分，且這五個(gè)非參數(shù)變量無法簡單地用數(shù)學(xué)形式描述，畫出其對索賠次數(shù)的影響效應(yīng)圖，具體如圖1所示。圖（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分別表示駕駛?cè)四挲g、上班距離、住房價(jià)值、年收入和汽車價(jià)值對索賠次數(shù)的影響，圖中橫坐標(biāo)表示解釋變量的實(shí)測值，縱軸表示平滑函數(shù)值，陰影表示置信區(qū)間上下限，中間實(shí)線表示索賠次數(shù)的平滑擬合曲線。通過圖1 可以發(fā)現(xiàn)，駕駛?cè)四挲g和上班距離對索賠次數(shù)的影響較為平穩(wěn)；隨著住房價(jià)值的增加，索賠次數(shù)略有下降，隨后變得平穩(wěn)；年收入與索賠次數(shù)呈現(xiàn)非常強(qiáng)烈的非線性關(guān)系，索賠次數(shù)處于波動(dòng)狀態(tài)；車輛價(jià)值與索賠次數(shù)呈負(fù)相關(guān)，車輛價(jià)值越大，索賠次數(shù)越少。（圖1）

圖1 影響效應(yīng)圖

（三）隨機(jī)森林的構(gòu)建。隨機(jī)森林模型可以用R 語言中的random-Forest 包實(shí)現(xiàn)。在利用訓(xùn)練集建立隨機(jī)森林模型之前，需要使用十折交叉驗(yàn)證來尋找使模型均方根誤差（RMSE）最小的最優(yōu)參數(shù)mtry 和ntree，mtry 是指樹節(jié)點(diǎn)用于分裂的變量個(gè)數(shù)，ntree 是指隨機(jī)森林所包含的決策樹數(shù)目。

首先，根據(jù)RMSE 確定最佳mtry 值。本文解釋變量有12 個(gè)，故將mtry 參數(shù)設(shè)置為1～12 進(jìn)行建模，計(jì)算不同mtry 取值下的RMSE 值，RMSE 隨著mtry 的變化如圖2 所示。可以看出，隨著mtry 的值增大，RMSE 的值先減小后增大，在mtry 的值為2 時(shí)，RMSE 的值最小，因此本文選擇2 作為最優(yōu)mtry 值。（圖2）

圖2 mtry 與 RMSE 關(guān)系圖

其次，根據(jù)RMSE 確定最佳參數(shù)ntree。在mtry=2 的條件下，使ntree 分別等于 100，200，…，1000，依次計(jì)算 RMSE 的值，繪制 RMSE與ntree 的關(guān)系圖，如圖3 所示。（圖3）

圖3 ntree 與 RMSE 關(guān)系圖

從圖3 可以看出來，當(dāng)ntree 的取值為500 時(shí)，RMSE 的值最小。故本文選擇500 作為ntree 參數(shù)的取值。經(jīng)過交叉驗(yàn)證，索賠頻率預(yù)測模型的最優(yōu)參數(shù)為mtry=2，ntree=500。以此參數(shù)建立隨機(jī)森林模型，并用該模型對測試集進(jìn)行預(yù)測。

（四）模型比較。本文將ZIP 分布和ZINBI 分布假設(shè)下的GAM 模型以及隨機(jī)森林模型用于測試集中，并計(jì)算各自的RMSE。（表5）

表5 各模型RMSE 一覽表

如表5 所示，發(fā)現(xiàn)ZIP-GAM 模型的預(yù)測效果最優(yōu)，其次是ZINBIGAM 模型。相比之下，隨機(jī)森林的預(yù)測效果最差，這可能在于索賠次數(shù)數(shù)據(jù)不平衡，導(dǎo)致模型訓(xùn)練受到影響，進(jìn)而影響了模型的預(yù)測效果。

三、結(jié)論

本文對一組實(shí)際車險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)分別建立GAM 模型和隨機(jī)森林模型，并進(jìn)行了比較分析，結(jié)果表明基于零膨脹泊松分布假設(shè)下的GAM模型比隨機(jī)森林在費(fèi)率厘定中具有更大的優(yōu)勢。相比之下，GAM 模型不僅具有更好的預(yù)測能力，而且其對預(yù)測結(jié)果的可解釋性比隨機(jī)森林模型強(qiáng)，可以清晰地展示出每個(gè)解釋變量對索賠次數(shù)的影響程度。但隨機(jī)森林也有一定的優(yōu)越性，在其建模前不需對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

綜上，隨機(jī)森林和GAM 模型各有優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際生活中可以根據(jù)不同的條件選擇合適的方法。同樣的，這兩種模型也能應(yīng)用于索賠強(qiáng)度或保費(fèi)定價(jià)中，對保險(xiǎn)公司的費(fèi)率厘定和客戶選擇有一定的參考價(jià)值，以改進(jìn)費(fèi)率厘定結(jié)果的合理性。