帳篷映射耦合孔徑梅林變換的光學圖像加密

李俊梅，梁意文

(1. 荊楚理工學院計算機工程學院，湖北 荊門 448000；2. 武漢大學計算機學院，湖北，武漢， 430000)

1 引言

光學信息處理方法主要通過對數據和圖像信息進行變換來達到用戶想要的效果，其核心部分是利用透鏡來實現傅里葉變換過程[1-2]。和其它的信息處理方法比較可知，光學信息處理表現出了更為突出的性能，能夠呈現更大的容量、更高的并行度、更快的實現速度等，因此，被廣泛應用到了圖像處理和信息安全等領域[3]。光學圖像加密技術[4]是一種將光學方法運用到加密算法中的新型技術，它在圖像加密領域表現出了更高的安全性和更優越的信息處理能力，使加密圖像不容易受到攻擊。因此，越來越多的相關研究被投入到了光學圖像加密領域[5-6]。陳曉東等人[7]提出利用多混沌結合分數傅里葉變換的加密方法，首先借助分數階Chen混沌系統來實現像素值的擾亂，然后利用細胞神經網絡混沌系統來進一步調制相位模板，從而完成了圖像的加密。結果顯示了該算法具有較好的抗攻擊性能。但超混沌的復雜性能會影響加密效率，導致加密耗時較多；并且分數傅里葉具有線性特性，限制了算法的安全性。Faragallah等人[8]提出了基于菲涅耳域來實現雙圖像的加密方法，通過二維的混沌Arnold變換對初始圖像做相應的預處理，并利用二維Logistic對正弦相位掩模進行調整。結果表明了該算法安全性能較好，但其密鑰空間較小，使其抗攻擊能力不足。Chen等人[9]借助小波變換和菲涅耳變換，設計了基于壓縮感知和特征融合的多圖像加密方法，先采用小波變換對多個圖像加以處理，將高頻和低頻信息進行融合，構造高、低頻融合圖像，然后在菲涅耳域中對相位信息分別進行了截斷和保留處理。結果驗證了該算法能夠有效降低存儲容量，但該方法存在抗剪切攻擊性能較差的問題，降低了密文的安全性。

針對當前光學圖像加密算法存在的不足，本文設計了基于Tent映射和孔徑分數梅林變換(Fractional Mellin Transform，FrMT)的光學圖像加密方法。利用在透鏡前面放置一個硬邊光闌，構建了一個孔徑分數梅林變換光學模型，該變換能夠有效地避免傅里葉變換的線性屬性。為增強了密鑰的隨機性，借助Tent映射產生一個輔助相位，并將其融入到迭代加密的相位信息中來提高算法的穩健性。再采用Tent映射對迭代加密后的幅度信息進行異或操作，輸出密文。最后，通過實驗測試了本算法的安全性和有效性。

2 基于孔徑分數傅里葉變換的光學實現

2.1 分數傅里葉變換

分數傅里葉變換能夠很好的描述圖像在空間域和頻域中的局部特性，在光學信號處理和加密領域應用非常地廣泛。函數f(t)的分數傅里葉變換[10](Fractional Fourier Transform，FrFT)表達式為

(1)

其中，Kα(t，u)為積分內核函數，其可表示為

(2)

式中，Fα是函數f(t)的α階FrFT表示，α為FrFT的階數，且0<|α|<2，旋轉角度φ=απ/2。

2.2 孔徑分數傅里葉的光學系統

(3)

式中，E(x，y，z)為出射面的復振幅，E(x0，y0，0)為入射面的復振幅，k表示波數，且k=2π/λ，λ表示波長，s表示為積分曲面，A、B、C、D為入射面和出射面的變換矩陣的矩陣單元，z為傳輸距離。

圖1 孔徑FrMT變換光學實現

根據提出的孔徑FrFT光學系統，可利用柯林斯衍射積分將其分解成兩個ABCD光學系統。即從入射面P1到硬邊光闌P2的衍射積分方程為

(4)

(5)

從透鏡面P2到出射面P3之間的衍射積分方程表示為

2(x1x2+y1y2)}dx1dy1

(6)

(7)

假設硬邊光闌是個圓形孔徑，它可以表示為如下函數形式

(8)

則，式(7)還可以表示為

(9)

因此，根據式(4)-(9)，可以通過改變距離d和透鏡的焦距fs來實現孔徑α階FrFT變換。

3 基于孔徑分數梅林變換的光學圖像加密

3.1 分數梅林變換

分數梅林變換[12](Fractional Mellin Transform，FrMT)可以將初始信息進行對數坐標變換，以此來實現非線性處理，并且FrMT和FrFT之間還存在著非常密切的聯系。FrMT的定義可表示為

(10)

式中，f(x，y)為二維函數，E為恒定常數，p為FrMT階數，φ1=p1π/2，且φ2=p2π/2。

由式(10)可知，FrMT其實就是先對二維函數f(x，y)作對數-極坐標變換，然后再進行FrFT變換，即為：M(p1，p2)(u，v)=F(p1，p2)(f(ρ，θ))。對于對數-極坐標變換的定義可表示為

(11)

當p=0時，執行圖像的對數-極坐標變換；而當p=1時，執行圖像的梅林變換。因此，根據FrMT和FrFT之間的變換關系，可以有效地實現輸入圖像的分數梅林變換。

3.2 基于孔徑分數梅林變換的加密實現

令f(x，y)為大小256×256的初始圖像，圖像的中心記為圓心，然后將初始圖像進行分割，得到數量為N的環域子圖像，并將這些子圖像記作為fi(x，y)，其中i=1，2，…，N。因此，f1(x，y)是半徑為r1的圓形子圖像，而fi(x，y)(其中，i>1)是以ri為內徑而ri+1為外徑的環形子圖像。以不同階數的分數梅林變換對這N個環域子圖像進行幅度編碼和相位編碼。調制過程中，借助計算機來實現迭代加密，其光學系統實現過程如圖2所示。

圖2 孔徑FrMT變換的光電混合實現

首先，對待加密圖像的環域子圖像進行對數-極坐標變換，將所得的變換結果讀入空間光調制器SLM1，隨后通過透鏡Lens1來實現環域子圖像的孔徑分數傅里葉變換，利用圖像傳感器CCD1對輸出結果進行接收，并將其輸入到計算機中。其次，利用光調制器SLM2對變換結果進行幅度編碼，利用SLM3來實現相位編碼。最后，通過透鏡Lens2將頻域轉化為空域，利用CCD2進行記錄并傳輸到計算機中。加密過程中采用了重復迭代的方法進行加密(見圖3)。

圖3 加密過程的迭代方法

圖像的具體迭代加密過程如下：

1)將待加密圖像f(x，y)分解成N個環狀子圖像fi(x，y)其中，i=1，2，…，N。接著，對fi(x，y)進行pi階的孔徑FrMT變換，獲得復值圖像gi(u，v)。

2)對gi(u，v)進行幅度提取，然后將幅度信息轉變成分布為[0，2π]相位信息，變換形式如下：

Ai(u，v)=|gi(u，v)|

(12)

(13)

Φi(u，v)=Arg[gi(u，v)]

(14)

式中，|·|為圖像的幅度提取，Arg[·]為圖像的相位提取。

(15)

(16)

式中，Bi(u，v)為得到的幅度，φi(u，v)為得到的相位，Fq(·)為q階FrFT。ψi(u，v)是加密系統中的密鑰。

4)對φi(u，v)進行加密處理，引入密鑰θi(u，v)。令θi(u，v)=φi(u，v)-ψi(u，v)，將Φi(u，v)和θi(u，v)共同編碼成相位信息。接著，結合Bi(u，v)進行分數傅里葉變換獲得Ci(u，v)

Ci(u，v)exp[iξi(u，v)

=Fq(Bi(u，v)exp[i[θi(u，v)+Φi(u，v)]])

(17)

5)執行重復迭代，用Ci(u，v)替代Ci-1(u，v)，ξi(u，v)替代ξi-1(u，v)，進行下一次迭代，直到N-1次時停止，最后得到了密文C(u，v)=CN(u，v)exp[iξN(u，v)]。另外，密文圖像的解密是上述方法的逆向過程。

圖3 加密過程的迭代方法

4 所提光學圖像加密算法

為了提高孔徑梅林變換的加密安全性，將Tent映射[13]融入到圖像的迭代加密過程中，以增強密文的安全性和密鑰的隨機性。本文算法的加解密過程如圖4所示。

圖4 本文算法的加密和解密過程

具體過程如下：

1)對初始圖像f(x，y)進行對數-極坐標變換，接著將變換結果圖像分解成數量為N的環域子圖像fi(x′，y′)，其中i=1，2，…N，1≤x′≤nr，1≤y′≤nw，這些圖像的內外半徑分別為ri-1、ri。

2)引入一個圓形孔徑(半徑大小為a)的硬邊光闌，構建孔徑分數梅林變換模型，然后對這些子圖像采用不同的階數進行變換

Fi(u，v)=Ta{fi(x′，y′)}，i=1，2，…，N

(18)

式中，Ta{·}表示孔徑分數傅里葉變換。變換過程中，孔徑半徑a，分數傅里葉的階數pi，外環半徑ri和波長λ均可作為本加密過程中的密鑰。

3)根據重復迭代方法，利用光調制器分別對變換結果進行幅度編碼和相位編碼。隨后，聯合編碼結果進行分數傅里葉變換，獲得中間結果C′(u，v)：

C′(u，v)=CNexp[iξN(u，v)]

(19)

式中，CN(u，v)為N次迭代后得到的幅度，ξN(u，v)為N次迭代后得到的相位。迭代編碼過程中，相位信息θi(u，v)和ψi(u，v)均可作為加密密鑰。

4)引入Tent映射來產生一個輔助隨機函數g(x，y)(其中，1≤x≤255，1≤y≤255)，將g(x，y)重復執行上述1)-3)步驟，得到w(u，v)。提取w(u，v)中的相位信息，并將其融入到θi(u，v)和ψi(u，v)中來增強密鑰的隨機性。

τ(u，v)=Arg[w(u，v)]

(20)

(21)

(22)

式中，Arg[·]為相位提取操作。

5)提取C′(u，v)中的幅度信息和相位信息，并使用Tent映射對提取的幅度信息執行異或操作，最終獲得密文圖像C。

CA(u，v)=|C′(u，v)|

(23)

P(u，v)=Arg[C′(u，v)]

(24)

C=CA(u，v)⊕CTent

(25)

式中，| |幅度提取操作。⊕為異或操作，CTent為Tent映射產生的大小為nr×nw的隨機矩陣。本算法的解密過程為其逆流程，并且提取的相位P(u，v)將被用于對密文圖像的解密。

5 實驗結果與分析

為了驗證本光學圖像加密方法的有效性與安全性，Windows 7操作系統和MATLAB 2017a下進行了相關的性能測試，計算機處理器CPU主頻為3.60 GHz，內存RAM 4GB。仿真過程中，選取了加密安全性較好的算法作為實驗的對照組：文獻[13]與文獻[14]。文獻[13]利用相干疊加和模均等矢量分解的方法，利用混沌序列和Fourier 變換混亂的相干性疊加完成加密。文獻[14]采用了一種在傅里葉域中進行向量計算的高效光學加密方法，將變換后的合成矢量導入到雙隨機相位系統中實現加密。

本文測試的圖像大小為256×256。經反復測試，選取的參數為：環域子圖像個數N=6；子圖像外半徑分別為：r1=35，r2=75，r3=110，r4=135，r5=160，r6=185；nr=500，nw=500；孔徑FrMT參數：波長λ=632.8mm，焦距fs=4mm，孔徑半徑a=3.5，FrMT和FrFT的階次p、q均為0.5。

5.1 光學圖像加密效果

利用本算法、文獻[13]及文獻[14]對明文圖像進行了實驗測試，加密效果見圖5。由密文測試結果可知，所選用的三種加密方法均取得了較好的明文隱藏效果，很難從密文圖像中找出明文的信息，明文信息被有效地覆蓋。為進一步評估三種算法所得密文圖像的混亂程度，本文利用信息熵值[15]進行量化評估。表1為不同光學加密算法的信息熵值測試結果。由結果可知，本文的密文熵值約為7.9993，文獻[13]的密文熵值約為7.9960，文獻[14]的密文熵值約為7.9945。因此，相比于其它兩種算法，本文算法的熵值更高，更接近于理論值8，說明了本文算法獲得的密文圖像信息更為混亂，其安全性能要相對更好。其主要原因為本算法在分數梅林變換的非線性混亂的同時，融入了Tent映射對密鑰信息和變換結果信息施加了進一步的置亂操作，使得密文信息的混亂程度增強。而文獻[13]和[14]只單純對相位掩摸進行混亂，其混亂效果相對欠佳。

圖5 三種光學加密算法的密文效果

表1 信息熵值的測試結果

5.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性強的加密算法在密鑰發生微小的改變時，很難解密出圖像的初始信息，滿足所謂的“雪崩效應”[17]，因此，好的密鑰敏感性的加密算法能夠提高密文的安全性。本文在保持其它密鑰不變的情況下，對混沌變量μ=3.51的敏感性進行了測試。將u產生偏差△t=10-15，得到新密鑰u=3.51×10-15，然后將其用于解密。解密的效果見圖6，由圖可知，在μ產生偏差時，非授權用戶不能解密出圖像信息。可見，即使密鑰發生非常小的變化時，黑客也不能正確地完成解密過程，說明了本算法符合“雪崩效應”，具備較強的密鑰敏感性能。

圖6 本文算法的密鑰敏感性測試

5.3 相鄰像素間的相關性分析

由于圖像的相鄰像素間存在著非常強的相關性， 這就導致了攻擊者能夠借助數據統計對密文實施非法攻擊，從而分析出圖像的真實內容信息[16]。因此，有效的加密算法能夠消減這種對密文不利的相關性， 使得相關性系數盡可能地接近于零，這樣才能保證不容易受到攻擊[16]。相關性系數Rxy的計算為

(26)

式中，N為選取的相鄰像素總數。

本文分別從明文和密文圖像中選擇了300對像素點來對三種算法進行測試，測試結果見圖7和表2。從圖7可知，所提算法的密文圖像在水平方向上的像素分布更為均勻，而明文圖像的相鄰像素間的Rxy值較高，其分布近似于對角線分布；從表2中的數據可知，本文算法密文在三個方向的Rxy值要略小于其它兩種算法，相關性系數要更接近于0。因此，通過對比數據分析，可以充分說明本文算法具有更好的抗統計攻擊性能。原因是本文加密算法在對數-極坐標的變換下，充分混亂了像素的位置，使相鄰像素間的相關性大幅度減小，而分數傅里葉變換不具備這一特性。

圖7 密文的相關性測試(水平方向上)

表2 不同算法的相鄰像素間相關性效果

5.4 抗攻擊分析

5.4.1 剪切攻擊測試

本文通過對密文圖像進行剪切1/4來測試本文算法的抗剪切攻擊性能。剪切測試結果如圖8所示。圖8中的(a)、(c)、(e)均為剪切1/4的三種密文圖像，圖8(b)、(d)、(f)分別為做剪切處理后再實施解密的測試效果。可以觀測到，經剪切攻擊后，本加密算法得到的圖像信息幾乎沒有丟失，同樣可以解密出相似度較高的圖像。而文獻[13]和文獻[14]這兩算法解密效果相對要差很多，雖然解密出了明文，但是獲得的圖像信息存在嚴重的丟失現象，未能將明文信息完全解密出來。因此，說明了本文算法具有較好的抗剪切攻擊性能。

圖8 剪切測試結果

5.4.2 噪聲攻擊測試

噪聲干擾在很大程度上會影響圖像的解密效果[17]。為測試本文算法在抵抗噪聲攻擊方面的穩健性，將其在不同高斯噪聲強度條件下進行驗證。圖像的噪聲干擾表達式如下

C′=C+KG

(27)

式中，C為初始圖像，C′為噪聲干擾圖像；K為噪聲強度系數；G為使用的高斯噪聲。

圖10為三種不同算法的抗噪聲攻擊性能對比測試，從結果中可以看出，三種算法進行解密獲得的MSE值與K成正比關系，即MSE值隨著K的增大而增大，而且均表現出優良的抗噪聲攻擊性能。當k=1時，三種算法的MSE分別為981，875，647，因此本算法的MSE值相比于其它兩種算法要更低。這表明了本文加密技術的抵抗噪聲攻擊能力更強。

圖9 抗噪聲攻擊性能對比測試

5.4.3 已知明文攻擊測試

破譯者可以對部分明文或相應的密文實施攻擊來獲取加密信息，以此達到明文攻擊的目的[18]。對此，本文假設破譯者獲得了本文的初始圖像信息和密文信息，并采用相位恢復的手段實施攻擊。攻擊結果如圖10所示。圖(a)為破譯者劫取的明文圖像，圖(b)為破譯者獲取的密文圖像，圖(c)為經本加密算法加密后的Baboon密文圖像，圖(d)為破譯者利用相位恢復算法對圖(c)實施攻擊后的輸出結果。由圖(d)可知，雖然破譯者獲得了明文信息和密文信息，但是卻無法解密出密文圖像(c)，說明了本加密算法具有非常好的抗明文攻擊性能。

圖10 明文攻擊結果

綜上可知，本文算加密法具有非常好的抗攻擊性能，能夠抵御各種不良因素的攻擊。原因是因為空徑FrMT變換擁有較好的非線性特性，孔徑大小的正確調節決定了輸入圖像的頻率截斷，并且通過重復迭代加密，使幅度信息和相位信息產生了嚴密的關聯。通過融入隨機相位，使密鑰具備更強的隨機性，這就導致非法攻擊者很難利用不正當手段盜竊明文信息，相比與傅里葉變換的線性關系，本算法的抗攻擊性能更強。

6 結論

為解決當前的光學圖像加密方法容易遭受各類攻擊的潛在安全問題。本文設計了基于Tent映射和孔徑分數梅林變換的光學圖像加密算法。通過孔徑分數梅林變換對初始圖像實施對數-極坐標變換，利用重復迭代對幅度信息和相位信息進行編碼，增強了圖像的非線性特性和密鑰的隨機性。同時，采用Tent映射進行混亂操作，進一步增強了圖像的混亂程度。實驗結果顯示，本文算法具備更好的魯棒性和穩定性，能夠有效地抵抗各類非法攻擊。