僅發射分集的MIMO雷達的高精度DOA估計算法

陳建明，焦 爽，陳光輝

(1. 華北水利水電大學電力學院，河南 鄭州 450046；2. 重慶大學微電子與通信工程學院，重慶 400044)

1 引言

僅發射分集的多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output， MIMO)雷達采用多個天線發送波形并接收來自多個目標的反射信號[1]，在反隱身、反電子對抗與干擾等方面具有獨特的優勢。為了先敵發現和先敵出擊，保證自身生存能力，良好的到達方向 (Direction of Arrival，DOA) 估計性能成為MIMO雷達探測目標信息的重要一環[2]。DOA估計方法可以分為：傳統方法、子空間分解方法和壓縮感知方法[3]。其中子空間分解方法中的多重信號分類(Multiple Signal Classification， MUSIC) 算法因其具有較高的DOA估計精度而被廣泛的應用。

MUSIC算法將傳感器陣列接收信源的線性空間分解為信號和噪聲子空間，利用信號和噪聲子空間之間的正交關系，掃描維度較低的噪聲子空間，得到一個空間譜，其中空間譜譜峰所對應的角度即為信源的DOA。目前，MUSIC算法廣泛應用在無線通信、導航、天文檢測等眾多領域[4]，具有高精度、高分辨率的優點，但卻具有特征值分解計算量大，在低信噪比下DOA估計精度嚴重降低等缺點[6]。

文獻[7]指出，一維MUSIC算法花費在估計協方差矩陣的時間占總時間21%，特征值分解占總時間61%，一維譜峰搜索占總時間18%，由此可見，MUSIC算法中特征值分解的計算量較大，占用計算總時間最多。為解決該問題，1995年，Marcos等提出了傳播算子方法和正交傳播算子方法[8]。這類算法引入線性運算代替協方差矩陣的特征值分解，有效的降低了算法的計算復雜度。但如何在低信噪比下有效的提高DOA估計精度依舊是當前的研究重點。因此，本文基于線性運算以及空間譜函數在DOA處是斷點且趨近于較大值，而求導可以使斷點處的峰值更加明顯的物理性質提出一種改進的MUSIC算法。此方法不但有效的降低了計算復雜度，而且也有效的提高了在低SNR下DOA的估計精度。

2 僅發射分集雙基地MIMO雷達信道模型

如圖1所示的雙基地MIMO雷達信道模型中， 目標數為K，發射陣列和接收陣列的陣元間距、陣元個數、方向矩陣分別為dt、Mt、At(θ)和dr、Mr、Ar(θ)。其中At(θ)和Ar(θ)被定義為

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

其中，λc=c/fc為中心頻率為fc的窄帶信號的波長，c為信源傳播速度。

圖1 雙基地MIMO雷達信道模型

假設目標是由多個分布在一維區域的小散射體組成，并采用僅發射分集的MIMO雷達模型進行考慮，因此，目標具有K個獨立的各向同性散射體，每個散射體被建模為零均值、單位方差、獨立同分布的圓對稱復高斯隨機變量[9]。因此，目標的反射可以表示為對角陣，即

(5)

其中，第mth個發射元發射的信號時獨立散射體的響應向量為

(6)

(7)

Ht=[g1，g2，…，gm，…，gMt]∈CK×Mt

(8)

Hr=[k1，k2，…，ki，…，kK]∈CMr×K

(9)

則MIMO雷達信道統計矩陣為

H=HrλHt∈CMr×Mt

(10)

要使不同發射天線陣元發出的信號從不同方向照射到目標，則發射方向矩陣的列向量應滿足正交條件[10]，即

〈gm，gl〉=0，m≠l，m，l=1，…，Mt

(11)

由式(11)可知，任意兩個不等的gm均滿足正交關系，為了降低模型的復雜性，將其簡單的考慮為相鄰發射單元引入的響應向量之間的正交性[11]，即

〈gm，gm+1〉=0，m=1，…，Mt

(12)

假設目標散射體是平行于發射陣列和接收陣列的均勻陣列，則第mth個發射元發射時散射體的響應向量被表示為

(13)

(14)

N→∞，化簡得

(15)

其中，rt為發射陣列與目標的距離。假設接收陣列為dr=λc/2的均勻線性陣列且無法分辨目標散射體的回波信號，接收方向矩陣可以表示為

(16)

Hr=ar(θr)αT

(17)

式(17)為雙基地MIMO雷達接收陣元無角度擴展的極端情況[11]。由此可得出如圖2所示的僅發射分集雙基地MIMO雷達信道模型。其中接收信號向量可表示為

y(n)=Hrs(n)+v(n)

(18)

其中，s(n)為窄帶發射信號，v(n)為噪聲向量。

圖2 僅發射分集的MIMO雷達信道模型

3 改進的MUSIC算法原理

在加性高斯白噪聲下，僅發射分集的MIMO雷達接收陣列的空間協方差矩陣可以表示為

(19)

其中，矩陣P的第(m，l)個元素為

(20)

其中，Rss為發射信號s(n)的協方差矩陣，即

Rss=E{s(n)sH(n)}

(21)

假設發射器信號為正交信號，則Rss可表示為

(22)

假設目標衰落滿足獨立條件，即

(23)

(24)

易證

(25)

(26)

將式(26)帶入式(19)，可得接收陣列的協方差矩陣為

(27)

改進的MUSIC算法引入線性運算代替矩陣的特征值分解，降低計算量，得到空間譜。最后對空間譜函數求一階導數。具體原理如下：

由于信源統計獨立，可以定義一個傳播算子矩陣P把協方差矩陣Ryy線性分割為[12-14]

(28)

其中R1是K×Mr維，R2是(Mr-K)×Mr維，R1和R2滿足下式

R2=PHR1

(29)

考慮噪聲影響，一般求

ξ(P)=‖R2-PHR1‖F

(30)

的極小值，得到P的估計值，其中‖·‖F表示F-范數[12]。而可表示為

=(R1RH1)-1R1RH2

(31)

(32)

(33)

由此可得

Q0A=0

(34)

由式(34)定義新的空間譜

(35)

定義PMUSIC(θ)的一階導數d(θ)為

(36)

為方便計算，將步長Δθ取較小的值，用Φ(θ)代替d(θ)，則Φ(θ)為

(37)

假設θ0為譜峰函數的峰值點，也即是信源的DOA。則PMUSIC(θ0)趨近較大值，PMUSIC(θ0+Δθ)和PMUSIC(θ0-Δθ)遠小于PMUSIC(θ0)，因此Φ(θ0-Δθ)趨近于正較大值，Φ(θ0)趨近于負較大值。其中Φ(θ0-Δθ)與Φ(θ0)的具體表達式為

(38)

(39)

因此，可以根據Φ(θ)函數是否先正較大值突變，后負較大值突變判斷信源的DOA。同理，如果PMUSIC(θ)函數在極小值處也是突變函數，可以根據先負較大值，后正較大值突變來判斷極小值點。但由PMUSIC(θ)函數的物理含義(掃描向量a(θ)到噪聲子空間的歐幾里德距離的倒數)和式(34)可知，PMUSIC(θ)只會在信源的DOA上產生斷點。因此，可以根據Φ(θ)函數突變來判斷信源的DOA：Φ(θ) 函數若有先極大值后極小值的突變，則處于極大值與極小值之間的零點所對應的角度即為信源的DOA。

設θ1、θ2分別是兩個信源的DOA，理論分析改進的MUSIC算法是否提高了DOA的估計精度。定義MUSIC算法的估計精度為

(40)

改進的MUSIC算法的估計精度為

(41)

把式(37)帶入式(41)得

(42)

由式(42)可知，改進的MUSIC算法的估計精度近似于MUSIC算法估計精度的導數，且由空間譜函數的物理性質以及式(34)和式(37)可知，改進的MUSIC算減小了信源在DOA處的空間相關性，使斷點處的譜峰更加明顯，提高了DOA的估計精度。

4 改進的MUSIC算法

1)根據僅發射分集雙基地MIMO雷達信道模型和式(27)計算協方差矩陣Ryy；

2)根據式(28)將Ryy線性分割；

3)根據式(29)求傳播算子矩陣P，然后根據式(31)計算傳播算子矩陣P的近似值；

4)根據式(32)和式(33)求矩陣Q0；

5)根據式(35)定義空間譜函數PMUSIC(θ)；

6)根據式(37) 定義PMUSIC(θ)的近似一階導數Φ(θ)，其中Φ(θ)函數的突變處即為信源的DOA。

5 仿真分析

5.1 信源角度差仿真分析

陣元個數Mr=10；陣元間距dr=λc/2；采樣快拍數L=100；信噪比SNR=5dB，步長Δθ=0.01，噪聲為高斯白噪聲，目標信源是2個非相關的遠場窄帶信號，DOA分別是(20°，21°)、(30°，33°)和(40°，45°)，信源角度差分別為1°、3°、5°。分別用MUSIC算法和改進的MUSIC算法對其進行仿真，結果如圖3和圖4所示。

圖3 不同角度差下的MUSIC算法仿真結果圖

圖4 不同角度差下本文的算法仿真結果圖

由圖3可知，MUSIC算法在角度差等于1°和3°時完全失效，只能估計出一個目標信源的DOA，在角度差等于5°時，可以估計出兩個目標信源的DOA，但譜峰不明顯。由圖4知，相同的條件下，當角度差為1°時，改進的MUSIC算法也只能檢測出一個譜峰，但對于角度差為3°和5°時，可以有效的檢測出2個譜峰，且譜峰明顯。原因是當信源DOA相距較近時，信源的空間性較強，而改進的MUSIC算法在MUSIC算法的基礎上先進性線性運算，后對譜峰求一階導數，減小了信源在DOA處的相關性，提高了DOA的估計精度。所以，與MUSIC算法相比，改進的MUSIC算法可以有效的提高了僅發射分集MIMO雷達的DOA估計精度。

5.2 信噪比分析

定義DOA的估計均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)為：

(43)

其中，N為Monte Carlo實驗次數，K為目標信號源的個數，θi，j為第j次Monte Carlo實驗中βi，j的估計值。仿真了RMSE隨SNR變化的性能，SNR變化的范圍為-10dB到10dB，步進為2dB，采樣快拍數L=1024。仿真結果如圖5、圖6所示。

圖5 4種算法的RMSE隨SNR變化曲線圖

圖6 4種算法的RMSE隨SNR變化曲線圖

由圖5可知，隨著SNR的增加，算法的估計精度也增加，RMSE逐漸減小，最后趨近于0。在信源角度差等于10°時，相同條件下，改進的MUSIC算法的RMSE值小于圖中幾種典型的MUSIC改進算法，并在低信噪比時更加明顯。由圖6可知，與文獻[15]的MWFB-MUSIC算法、文獻[16]的IAFSA-MUSIC算法和文獻[17]的ITMUSIC算法相比，改進的MUSIC算法在低信噪比下RMSE值更低。因為在低信噪下，信號的空間相關性強；在高信噪比時，信號空間相關性弱，而本文算法引入線性運算代替特征值分解，并通過對空間譜函數求一階導數構造一個新的空間譜函數，有效的降低了DOA處的空間相關性，提高了僅發射分集MIMO雷達的DOA估計精度。

5.3 復雜度分析

MUSIC 算法的計算量主要包括構造Mr×Mr維的協方差矩陣，協方差矩陣特征值分解和一維譜峰搜索。而改進的MUSIC算法的計算量主要包括構造Mr×Mr維的協方差矩陣，協方差矩陣線性處理和一維譜峰搜索。具體的計算量如表1和表2所示。其中Mr為陣元數，K為目標信源個數，L為采樣快拍數，Δθ為角度掃描間隔。

表1 MUSIC算法的計算量分析表

表2 改進的MUSIC算法的計算量分析表

對比表1和表2知，K、L和Δθ一定，MUSIC算法的計算量大約是改進的MUSIC算法M倍。因為改進的MUSIC算法引入線性運算代替特征值分解，降低了計算量；Mr、K和Δθ一定，MUSIC算法和改進的MUSIC算法的計算量都隨L線性增加，但因為K

6 結論

本文基于線性運算、空間譜函數的物理性質，提出了一種改進的MUSIC算法。其可以有效的提高低SNR下僅發射分集的MIMO雷達DOA的估計精度。同時，該算法也可以有效的降低了計算量。