帶前級DC/DC的無線充電系統建模與分析

付琳琳，逄海萍

(青島科技大學自動化與電子工程學院，山東 青島 266100)

1 引言

磁耦合諧振式無線電能傳輸(magnetic-coupled resonant wireless power transmission，MCR-WPT)，具有傳輸距離遠、效率高以及功率大等優點[1]-[2]，在無線充電領域有良好的應用前景。在無線充電過程中，需要根據電池荷電狀態控制從電網側流向電池的功率，目前功率控制的方式主要有原邊逆變器的移相控制、變頻控制以及前級附加DC/DC控制等。

移相控制可以方便地通過調節逆變器的移相角實現蓄電池的恒壓或恒流充電[3]-[4]，但逆變輸出電流會隨移相角的變化發生不同程度的畸變，并且不能實現逆變器在整個充電過程中的零電壓開關(zero voltage switch， ZVS)。變頻控制通過調節逆變器的工作頻率來調節充電電壓或電流[5]-[6]，可以實現逆變器的ZVS，但工作頻率偏離諧振頻率，會使系統的傳輸效率降低。前級附加DC/DC控制是在逆變器之前添加DC/DC變換器，通過調節DC/DC變換器的占空比來獲得穩定的充電電壓或電流，控制精度較高，且能夠實現逆變器在整個充電過程中的ZVS。相比于前兩種方式，后者在整個功率調整范圍內的效率是最高的[7]-[8]。

準確數學模型是進行系統分析和系統設計的基礎，而對于帶前級DC/DC的MCR無線充電系統，由于系統含有DC/DC變換器、高頻逆變器以及高頻整流器等多種非線性開關電路并且MCR電路工作在諧振狀態，具有高階次、變結構、非線性等特點，使其準確數學模型的建立變得復雜和困難。

本文首先對帶前級DC/DC的MCR無線充電系統的結構及特點進行分析，然后用狀態空間平均法(state space average，SSA)和廣義狀態空間平均法(generalized state space average，GSSA)分別對不同的非線性單元進行建模，并最終獲得系統的數學模型。通過Matlab軟件對系統模型進行驗證，并對系統的穩定性及控制特性進行分析。

2 系統結構與動態建模

2.1 系統結構及特點

帶前級DC/DC的MCR無線充電系統如圖1所示。系統由DC/DC單元、MCR-WPT單元、電池負載三部分組成。其中電池負載用可變電阻負載來代替。

圖1 帶前級DC/DC的MCR無線充電系統圖

設vin是工頻交流通過整流得到的不可控直流電源，DC/DC單元在此采用Buck結構，通過調節開關管S的占空比改變高頻逆變器直流母線電壓vg，從而實現終端負載的電壓和電流控制。在Buck輸出端接有電容C以減小Buck開關過程對逆變器的影響，同時為逆變器提供穩定的輸入電壓。

MCR-WPT單元中，四個MOSFET管S1～S2構成高頻逆變器，開關S1、S4與S2、S3交替導通和關斷，逆變器輸出正負交替的矩形波，當原邊發射回路處于諧振狀態時開關管可以實現ZVS通斷。Lp、Cp與Ls、Cs分別構成原、副邊串聯補償磁耦合諧振網絡，M為發射線圈和接收線圈之間的互感系數，RLp與RLs分別這兩個線圈的內阻。假設原、副邊的電感電容參數一致，兩側電路以相同頻率諧振，經磁場耦合完成能量傳遞。D1～D4構成高頻整流電路，接收線圈獲得的交流電經過整流及電容Cf濾波后向負載RL供電。

系統中含有Buck開關變換器和MCR-WPT串聯諧振開關變換器，很難直接對其統一建模。Buck與其后級的諧振開關變換器之間接有電容C，該電容除了具有濾波穩壓的作用外，還可以實現前后兩類變換器之間的解耦，因此可以將兩級單元分開建模。

前級Buck單元只含直流變量，電感電容的自然頻率遠低于其開關頻率，使用SSA法建立其小信號模型[9]。MCR-WPT單元中的諧振網絡會產生交流變量，SSA法不再適用。GSSA是利用有限階的傅里葉級數之和將周期系統的狀態變量近似線性化，能準確描述狀態變量的暫態和穩態行為[10]-[11]，因此本文采用GSSA法對MCR-WPT單元建模。

2.2 DC/DC單元的建模

設Buck變換器中開關管S的開關周期為Ts，開關頻率fs=1/Ts，S導通的占空比為d(t)，將MCR-WPT單元與電阻負載RL看作一個等效電阻R，并將R作為Buck變換器負載。Buck變換器的開關周期平均模型是非線性模型[12]，設變換器在某一穩態工作點處各變量d(t)、vin(t)、iL(t)、vC(t)及vg(t)的穩態值分別為D、Vin、IL、VC及Vg，根據狀態空間平均法得到它的小信號模型

(1)

由(1)可求得Buck變換器輸出電壓-輸入電壓傳遞函數Gvgvin(s)和輸出電壓-占空比傳遞函數Gvgd(s)分別為

(2)

(3)

2.3 MCR-WPT單元的建模

假設MCR-WPT單元的開關均為理想開關，逆變器的開關周期為Td，開關頻率fd=1/Td，且與發射回路和接收回路的固有諧振頻率fc相同。將MCR-WPT單元簡化為圖2所示的等效電路。

圖2 MCR-WPT單元的等效電路圖

圖2中iLp為逆變器輸出電流，iLs為整流橋輸入電流。對于系統中非線性原邊逆變環節和副邊整流環節，分別采用開關函數p(t)和s(t)表示它們的能量變換關系。在Simulink中對系統仿真可知逆變器輸出電壓p(t)vg與整流橋輸入電壓s(t)vcf的相位相差1/4個周期，即函數p(t)和s(t)的相位差為90°，則p(t)和s(t)的表達式分別為

(4)

(5)

選取原邊電容電壓vcp，原邊電感電流iLp，副邊電容電壓vcs，副邊電感電流iLs，輸出電壓vcf作為狀態變量，根據KCL、KVL得到時域微分方程

(6)

其中，△=M2-LpLs。

方程組(6)是非線性的，對其求解非常困難，在此采用GSSA方法將原始信號用共軛低階諧波分量來近似，并利用傅里葉級數相關性質對非線性環節進行近似線性化[13]。

周期為T的連續變量x(t)傅里葉級數的指數展開形式為

(7)

其中，ω=2π/T為x(t)基波角頻率，〈x〉k為k次傅里葉系數，且

(8)

根據式(8)求得開關函數p(t)和s(t)的k階傅里葉系數分別為

(9)

(10)

由式(11)可以得到變量x(t)的時域表達式。

狀態變量vcf為直流變量，采用零次諧波分量〈vcf〉0來代表其特性；狀態變量vcp、iLp、vcs、iLs為交流變量，零次諧波分量近似為零，且奇次諧波分量共軛對稱，在諧振狀態下，具有良好的正弦特性，因此，只考慮它們的1階傅里葉級數〈vCP〉1、〈iLP〉1、〈vcs〉1、〈iLs〉1即可。

(12)

其中，

E2=[0]

可以看出，式(12)是一個9階的線性方程，且方程的系數與單元參數相關，一般情況下，當元件選定后，原、副邊的電感電容值在運行過程中變化很小，但線圈間距離或者負載值的變化會導致方程系數的改變。

由(11)可推導出MCR-WPT單元的輸入電壓到輸出電壓的傳遞函數：

(13)

2.4 系統的數學模型

前級Buck單元的輸出即為后級MCR-WPT單元的輸入，即u2(t)=y1(t)，將兩級單元模型串聯到一起，整個系統模型框圖可由圖3表示：

圖3 系統模型框圖

(14)

Gvod(s)=Gvovg(s)Gvgd(s)

(15)

3 模型的仿真驗證與分析

3.1 仿真參數

利用Matlab軟件對系統數學模型進行仿真驗證，具體參數為： 輸入電壓vin=40V，Buck電感L=1.5mH，Buck電容C=65nF，Buck等效負載R=7.5Ω，Buck開關頻率fs=100kHz，諧振頻率fc=85kHz，原、副邊諧振電感Lp=Ls=116.86μH，其內阻RLp=RLs=0.5Ω，諧振互感M=18μH，原、副邊諧振電容Cp=Cs=30nF，濾波電容Cf=10μF，系統負載RL=20Ω。

3.2 模型的仿真驗證

為驗證所建系統數學模型的準確性，在Simulink下搭建系統的拓撲模型，如圖4所示，并與由所建數學模型得到的變量時域運動軌跡進行對比。在數學模型(14)中，Buck單元的電感電流、輸出電壓以及負載輸出電壓為直流變量， MCR-WPT單元原、副邊的諧振電壓與電流為交流變量，且交流變量的運動行為相同，在模型驗證只取原邊電容電壓進行分析。

圖4 基于系統拓撲模型的仿真圖

圖5 控制信號及擾動作用下的直流變量波形對比圖

從圖5中可以看出，在階躍信號作用下的動態過渡過程中，兩種模型的響應存在相位與幅值上的微小差異，而在輸入電壓小信號擾動作用下兩種模型的直流變量波形幾乎完全一致。初始階躍響應過程的差異一方面是由于在DC/DC單元建模時將其后級負載看作一個固定的等效電阻，然而實際上它是非線性負載；另一方面是由于DC/DC變換器的數學模型是小信號模型，且對MCR-WPT單元建模時將直流變量與交流變量分別用傅里葉級數的零階分量和一階分量進行了近似處理。

設系統各變量的初始條件為零，對模型(14)求解，根據式(11)得到狀態變量的時域運行軌跡，同時基于Simulink拓撲模型進行仿真，得到兩種模型下原邊電容電壓vcp的時域運動軌跡對比圖，如圖6所示。

從圖6中可以看出，兩種模型下原邊電容電壓vcp的時域運動軌跡幾乎重合，在初始動態過渡過程中存在相位和幅值上的微小差異。在0.025秒時給輸入電壓加入擾動，vcp經過短暫的振蕩過渡后進入穩態，并且在擾動過渡過程中及進入穩態后，兩種模型下的電壓波形都是吻合的。

圖6 原邊電容電壓vcp時域運動軌跡對比圖

由以上分析可以得出，對于帶前級Buck控制的MCR無線充電系統所建立的數學模型與實際系統模型具有較高的吻合度。

3.3 系統穩定性的分析

基于已建立的數學模型對系統進行穩定性分析，將3.1節中的參數值代入式(15)繪制系統Bode圖如圖7所示。

圖7 系統Bode圖

原始系統為0型系統，其直流增益及低頻增益約35.7dB 的水平線，系統以斜率-20dB/dec 穿越 0dB 線，相位交越頻率為2.25kHz，增益裕量為16.4dB，剪切頻率為778Hz，相位裕量位30.3°，系統是穩定的。

3. 4 控制特性分析

本系統通過對前級DC/DC變換器占空比的調節實現來終端負載功率的控制，下面根據所建立的數學模型對占空比-功率控制特性進行分析。

系統輸出電壓為直流變量，其幅值可以用〈vcf〉0表示，則系統的輸出功率為

(16)

x=-A-1Bu

(17)

解得電感L的穩態電流為

(18)

穩態輸出電壓為

(19)

其中，a是一個與系統參數相關的值，則系統的穩態輸出功率為

(20)

系統處于穩態時，輸入電流Iin與電感L的電流

Iin=DIL

(21)

則系統的效率為

(22)

根據表1提供的數據，可以得到a=0.0232，由式(20)和式(22)得到不同占空比下輸出功率、傳輸效率的特性曲線如圖8所示。

圖8 輸出功率和傳輸效率與占空比的關系曲線

從圖8可以看出，通過調節DC/DC單元的占空比，能夠很好地實現對輸出功率的控制，并且在功率調整的同時系統的傳輸效率保持不變。

4 結論

本文采用SSA法和GSSA法對帶前級DC/DC控制的MCR無線充電系統建立了其線性化數學模型，并基于Matlab軟件對數學模型進行了驗證，結果表明，所建模型與實際系統模型具有較高的吻合度。基于此模型，分析了系統穩定性及控制特性，分析結果表明，系統是穩定的，并且在不改變系統傳輸效率的前提下，前級DC/DC單元可以很好地實現對輸出功率的控制。本文所建立的數學模型，可為系統的性能分析和控制器的設計提供可靠的依據。