指向思維進階的數學問題鏈設計與實施

江慶君 唐恒鈞

摘 ?要：數學思維是數學學科核心素養的重要組成部分. 如何促進學生的數學思維發展是培養學生數學學科核心素養的重要問題. 數學思維的進階表現出逐漸深化的過程，指向數學思維進階的教學設計則需要有稚化思維. 作為實現思維進階的一個重要途徑，問題鏈教學需要通過稚化思維加以設計，并通過深化邏輯鏈加以呈現.

關鍵詞：思維進階;問題鏈教學;深化;稚化

數學思維的培養一直以來都是數學教學的重要任務，在當前發展學生數學學科核心素養的課程改革背景下顯得更為重要. 有研究認為，數學思維是數學學科核心素養的重要組成部分，而且處于數學學科核心素養體系中的較高層次. 數學問題鏈倡導通過主干問題驅動學生深入思考、建構知識，在解決問題的過程中積累數學活動經驗并體驗數學思考中的基本思維方法，因此可以作為促進學生思維發展的重要抓手. 那么，如何設計并實施指向學生思維進階的數學問題鏈呢？本文將在討論以思維進階為目標的教與學雙重邏輯的基礎上，闡述問題鏈的設計與實施方法，以期為相應的教學提供參考.

一、數學思維進階及其教學的基本認識

1. 深化：數學思維進階的顯著特點

學生數學思維的進階有賴于學生深入地參與數學活動. 學生需要在數學問題提出與解決的過程中體驗數學思維并逐步發展數學思維. 當然，數學思維的發展往往不是一蹴而就的，需要經歷較長的過程. 例如，學生對函數的認識總是需要經歷從具體函數的學習到某一類函數的研究再到對研究與思考函數的一般框架與方法的認識這樣一個發展過程. 也正因為如此，學生數學思維進階體現出從具體到抽象、從簡單到綜合等不斷深化的特點.

首先，需要讓學生在經歷從具體到抽象的過程中深化抽象思維. 舉例而言，如果直接讓學生研究“點到直線的距離”這個一般問題，學生可能會感到無從下手，但是如果先讓學生從研究點到坐標軸（或平行于坐標軸的直線）的距離這樣具體、特殊的問題入手，就能為學生研究一般位置關系的點到直線的距離問題提供知識與思路方法上的雙重基礎，而且還能讓學生感受到數學思考的一般方法. 也就是說，當面對一般問題時，可以先考慮具體的特殊問題，并在解決特殊問題的過程中獲得解決一般問題的思路及方法.

其次，需要讓學生在經歷從簡單到綜合的過程中深化綜合思維. 學生在學習過程中所面臨的數學問題往往呈現了不斷綜合的變化過程，這也符合學生思維發展的基本邏輯. 學生處理綜合性的數學問題總是以處理簡單問題為基礎. 換言之，如果學生不具備處理簡單問題的思維能力，也無法處理由這些簡單問題構成的綜合問題. 因此，數學思維進階的學習需要為學生提供從簡單問題逐漸轉向綜合問題的學習活動.

2. 稚化：數學思維進階教學設計需遵循的邏輯

既然學生數學思維進階需要經歷逐漸深化的過程，那么教學設計要如何為學生的思維進階提供這樣的學習路徑呢？具體而言，教師應該如何找到促進學生數學思維進階的關鍵點，并設計相應的活動呢？

雖然當前的數學教學中強調課堂生成，課堂預設與生成之間的關系如何處理也曾一度成為討論的熱點，但是就總體而言，學校中的數學教學還是以預設為主. 這也就是說，每一節課都應該有需要達成的核心目標，課堂教學是在這一核心目標的指引下得以展開的.

那么，立足學生數學思維進階這一目標而言，教學設計中的一項重要任務就是確定思維進階目標與學生的數學思維“原點”，并尋找兩者之間的連接路徑及關鍵點. 逆向的稚化思維是這種教學設計所要遵循的邏輯，即從目標出發確立教學的終點，進而通過問題的不斷還原，使綜合性問題分解為簡單問題、抽象問題，進而轉化為具體問題，并在還原的過程中不斷與學生在這一問題上的思維“原點”進行比對與評估，進而確立適切學生思維“原點”的教學起點.

以“點到直線的距離”這一問題為例，其核心目標是：在知識層面獲得點到直線的距離公式，在方法層面學會利用解析法研究幾何問題，即將幾何性質進行代數化、坐標化處理. 在問題的稚化還原過程中，首先，將文字問題轉化為符號化表述，即研究點[Px0，y0]到直線[y=kx+b]（或[x=a]）的距離;其次，將一般化的點或直線還原為具體的點或直線;最后，還原到坐標平面上的特殊點或平行于坐標軸的特殊直線. 問題稚化還原到何種程度，要以學情為依據. 例如，如果學生數學基礎較好，就可以還原到具體點或具體直線;如果學生數學基礎較弱，就需要還原到特殊點或特殊直線.

二、從稚化到深化：數學問題鏈設計與實施的方法

基于上述分析，在設計指向思維進階的數學問題鏈時，需要采用從稚化到深化的轉變過程. 換言之，數學問題鏈的設計需要借助稚化思維，由目標問題出發逆向探尋支撐起目標問題的思維階梯;再利用深化邏輯，順向組織思維階梯并問題化，形成能為學生思維進階提供脈絡化探索路徑的數學問題鏈.

下面將以高考中常出現的絕對值函數為例，更具體地闡述上述觀點.

1. 用稚化思維逆向尋找思維階梯

絕對值函數是高考的熱點內容，但是對于學生而言有一定的難度. 出現困難的原因：一是學生對絕對值概念的理解不到位，無法靈活應用概念進行解題;二是學生缺乏直觀想象素養，無法將絕對值函數轉化為有價值的函數圖象信息解決問題;三是學生對較復雜的絕對值函數缺乏分解能力，導致面對問題時無從下手.

例如，2016年高考數學天津卷文科第20題的第（3）小題就是一道含參數的絕對值函數最值問題，屬于較難題. 學生面對該題時常會采用分類討論的方法去絕對值符號，但是分類的復雜性和分類后的求最值讓學生最終陷入了困境.

目標問題：設函數[fx=x-13-ax-b]，[x∈R]，其中[a，b∈R]. 設[a>0]，函數[gx=fx]，求證：[gx]在區間[-1，1]上的最大值不小于[14].

教學中，可以將這樣重要的但學生又存在困難的問題作為問題鏈教學的目標問題. 具體設計中還可以進一步搜尋相似的問題. 例如，2016年浙江省高中數學學考題第18題（選擇題的壓軸題）就是與目標問題相近的含參數的絕對值函數最值問題. 據此設置問題：已知函數[fx=][2x-ax-b]，對于任意的正實數[a]和實數[b]，總存在[x0∈1，2]，使得[fx0≥m]，求[m]的取值范圍.

與目標問題相比，盡管具體函數不同，但絕對值內均可以分解為“一個不含參數的函數”和“一個含參數的一次函數”的差值. 于是，絕對值函數的幾何意義都可以轉化為：對于閉區間內的任意[x]，兩個函數值間的距離. 進而，問題就轉變為：這個距離在函數定義域上的最大值隨參數的變化而變化，求其最小值. 上述解題思路即所謂“鉛錘距離”的方法.

如果直接將該方法教給學生，雖然學生以后能應用這種方法解題，但是學生對如何想到該方法缺乏體驗，也限制了學生思維能力的發展. 如果讓學生直接探索上述兩個問題，對學生的思維又提出了很大的挑戰. 因此，需要以上述問題為目標問題，逆向尋找思維階梯. 具體地，可以從簡化函數和減少參數個數兩個角度進行稚化，即將目標問題中的第一個函數由三次函數和分式函數簡化為二次函數和一次函數.

2. 用深化邏輯鏈架構數學問題鏈

按上述思路將起點問題確立為正比例函數與常數（參數）的差值，降低對學生起點思維的要求，以便為所有學生參與思考問題提供機會.

問題1：函數[fx=x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當[b]變化時，求[gb]的最小值.

針對問題1，學生在課堂上提出了三種典型的思路.

生1：利用分類討論來做，分[b>0]，[b<0]，[b=0]三種情況，然后根據分段函數求最小值.

生2：利用絕對值的性質來做，[gb=f1，f-1max=][b-1， b+1max≥1].

生3：利用距離的定義來做，在數軸上標出[x]和[b].

在問題1的基礎上，進一步延伸出問題2，試圖讓學生的思路由“數軸上兩個數間的距離”深化為“平面直角坐標系中兩個函數值間的距離”.

問題2：函數[fx=3x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當[b]變化時，求[gb]的最小值.

師：剛才生3將絕對值看作數軸上兩個數的距離，如果我們根據他的思路繼續來解題會怎么樣呢？

生4：絕對值內可以看作是兩個函數值的差，即[y1=3x，y2=b]，如圖1所示.

師：這個絕對值被稱為兩個函數的“鉛錘距離”.

問題2將學生的思維從一維數軸上兩點間的距離拓展到二維平面直角坐標系上兩個函數值的差，問題的本質和方法建構的角度均是一致的，這為學生提供了思維進一步拓展的脈絡. 教師需要在問題2結束后組織討論該方法的核心，即通過構造兩個函數將絕對值看成這兩個函數值的差. 這樣的討論有助于學生產生新的疑問，即問題2中適用的方法是否適用于其他類似的問題. 從而給學生提供機會自己構建問題進行求解，如將構造的一次函數變成二次函數. 教師也可以沿著這種思路構建以下問題.

問題3：函數[fx=x2-2x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當[b]變化時，求[gb]的最小值.

該問題構造了函數[y1=x2-2x]和函數[y2=b]. 學生經過畫圖均能解決問題3，如圖2所示. 在此基礎上，又延伸出問題4.

問題4：函數[fx=x2-ax-b，x∈-1，1，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

在課堂上，問題4會出現兩種構造方法：一種是[y1=x2]，[y2=ax+b];另一種是[y1=x2-ax]，[y2=b]. 并且學生很快能發現第二種構造方法會導致兩個函數都有參數，很難再利用之前的“鉛錘距離”方法求解. 利用第一種方法畫出圖3即可求解. 這一問題讓學生直觀地體會到要將參數控制在其中一個函數中的重要性.

前述問題鏈將問題集中在一個對稱區間的定義域上，并由一次函數與參數差值的絕對值最值問題類比推廣到二次函數與一次函數差值的絕對值最值問題. 在問題的提出上體現了類比這一重要的思維方法;在解決問題的方法上則體現了數學模型的思想. 沿著這條思路，學生至少能從兩個角度做出進一步推廣：在非對稱區間的定義域上，上述方法是否依然可行？對于其他函數組合，上述方法是否依然可行？在上述思路的驅動下，便會產生以下具體問題.

問題5：函數[fx=x2-ax-b，x∈0，1，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

問題6：函數[fx=x-ax-b，x∈0，4，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

問題7：已知函數[fx=2x-ax-b]，對于任意的正實數[a]和實數[b]，總存在[x0∈1，2]，[fx0≥m]，求[m]的取值范圍.

問題5是對定義域類型的拓展，為問題6的研究提供了基礎. 問題7在形式上與問題5相近，但是在問題表述上需要進行進一步轉換. 上述問題的研究為目標問題的探索提供思路，使更多學生能夠思考并解決該問題.

三、結語

陶西平指出，教育必須改變單純重視知識和技能傳授的做法，要高度重視學生的社會責任感和能力的培養，而思維能力就是各項能力的基礎. 思維進階的課堂就是要激發學生探究的興趣和熱情，使學生自覺成為學習的主體;不要把思維進階變成純方法的機械訓練，使學生處于被動地位. 問題是驅動學生數學思考、激發學生數學探索興趣與熱情的重要載體. 問題鏈因其強調為學生提供思維脈絡而成為促進學生思維進階的重要途徑. 但是在數學教學設計與實施中如何架構與應用問題鏈，使之能有效促進學生的思維進階，這就需要在問題鏈設計中從目標問題出發，借助稚化思維，逆向探尋導向目標問題的問題序列，在問題鏈的實施過程中則需要借助深化邏輯鏈，為學生提供逐步深入的問題脈絡.

參考文獻：

[1]呂世虎，吳振英. 數學學科核心素養的內涵及其體系構建[J]. 課程·教材·教法，2017，37（9）：12-17.

[2]唐恒鈞，張維忠，陳碧芬. 基于深度理解的問題鏈教學[J]. 教育發展研究，2020，40（4）：53-57.

[3]唐恒鈞. 重視學科思維培養[J]. 湖北教育（教育教學），2021（5）：1.

[4]陶西平. 思維進階課堂[J]. 中小學管理，2019（7）：59.