基于平衡態公理的一類最短路徑問題探究

鄧清

摘 ?要：平衡態公理，又稱最小勢能原理，是物理彈性力學中的一個基本原理. 該原理指出，在一個獨立體系中，如果該體系處于勢能最低狀態，則必然處于平衡狀態. 研究旨在從物理學的視角出發，以平衡態公理為物理模型，重新思考和探究幾何中一類最短路徑問題，以使該類最短路徑問題的結論更加明晰且自然.

關鍵詞：平衡態公理;最短路徑;物理視角

一、問題提出

數學是一門工具性較強的學科，它是物理、化學、計算機等學科的基礎. 我們常常看到把數學思想嫁接到其他學科后結出豐碩的果實. 但反過來呢？其實，有些數學問題單純用數學理論方法不容易解答，但由于物理學與生活實際更加貼近，若能借鑒物理學中的一些思想方法，可以使我們接受起來更加容易且自然，有時甚至能簡化推理過程.

平衡態公理，又稱最小勢能原理，是物理彈性力學中的一個重要原理. 該原理指出，一個獨立體系最終總是趨于一個能量盡可能低的穩定狀態. 在一個獨立體系中，如果該體系處于能量最低狀態，則必然處于穩定平衡狀態;若體系處于穩定平衡狀態，則是能量最低狀態.

如圖1，一個小球在曲面上運動，當小球靜止于最低點A時，小球的勢能最小，就會處于穩定平衡狀態.

根據這一原理，可以得到這樣的結論：當一個質點受到幾個始終分別指向某個定點的力時，若物體處于穩定平衡狀態——質點所受合力為0，則該體系處于勢能最小狀態. 進一步可以推出這樣的結論：質點處于穩定平衡狀態時，該質點到幾個定點的單程距離或多程距離之和最小.

下面的研究先對該定理進行證明，然后運用定理來探究數學中的一類最短路徑問題，并從幾何角度進行驗證，以增強研究的嚴密性.

五、結束語

研究中以平衡態公理為物理模型，推導出系統處于平衡狀態時，質點到各定點單程或多程距離之和最短的結論. 并以該結論為指引，探究一類幾何最短路徑問題的動點位置，再用數學方法進行證明. 由探究歷程不難看出，從物理情境出發，借助“平衡態公理——最短路徑問題”的模型思想，比從數學本身入手更容易確定動點的位置，更能促進學生發現問題和解決問題.

讓學生在數學學習中經歷“數學化”的過程，是弗賴登塔爾教育思想的靈魂. 數學是現實與觀念、經驗與理性、直覺與邏輯的統一體. 從某個角度而言，數學是一門工具性較強的學科，然而，數學知識的學習和數學思想的積累卻又來源于情境，情境包括了生活情境和科學情境. 我們在教學過程或學習過程中，應注重發掘有利于思考和發現數學問題的各種情境素材，特別是與數學關聯較大的物理問題情境，以便幫助學生發現和分析數學問題，培養他們的數學化能力，發展數學學科核心素養.

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