“一般觀念”指引實現高質量教學

薛紅霞

摘 ?要：與舊教材相比，在人教A版新教材中“函數[y=Asin]的圖象”的定位有很大的變化. 通過對本節內容的深度研究，理解了人教A版新教材的編寫意圖. 通過試講，了解了學情. 兩者結合，具化為一個適合的教學設計，并上出了一節質量非常高的課. 其中，“取”“舍”的心路歷程、課堂上教師與學生潛意識層面思維的較量，都盡在其中.

關鍵詞：函數圖象;一般觀念;教學設計;教學實施;點評范式

人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統稱“教材”）中“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的立意和研究方法與之前的教材相比有很大的變化. 廣東省深圳市格致中學劉炳辰老師（以下統稱“執教教師”）執教的“5.6.2 函數[y=Asinωx+φ]的圖象”很好地闡釋了教材的編寫意圖，得到了章建躍主編的充分肯定，他說這節課“質量非常高”. 下面就將這節課備課、磨課和上課過程中的心得與大家分享.

一、認真學習、學習真經是教學的捷徑

第一次見到該課的教學設計時，筆者初步判斷執教教師綜合素質較高，隨后認真閱讀了教學設計并批注了修改建議發給執教教師. 在不到一天的時間里，執教教師就修改完發了回來. 按照以往的經驗，這么快的修改速度，基本上達不到修改要求. 當筆者認真看過修改稿之后，被執教教師的修改效果震撼. 除個別地方外，此次修改基本符合筆者的預期.

在第一稿的批注中，筆者提出要求“這節課上出來的水平至少要與教師教學用書光盤中的課例齊平”. 交流中，執教教師說她認真研究了教材、教師用書，以及教師用書中配套的本節課的課例.

在談到本節課的研究套路和方法時，筆者問執教教師：“‘一般觀念’知道嗎？”她激動地說：“知道，知道，認真學習了.”

在兩次討論中，確實能感受到執教教師認真研究了教材內容、教師教學用書和光盤中的課例，以及“一般觀念”. 在進行教學設計、研討、試講和再研討的過程中，她將學到的理論與實踐相融合，由此呈現“質量非常高”的課.

經常遇到有的教師使用現成的教學設計、課件、練習和資源等開展教學. 比較兩種行為，從教師成長及教學實效來看，執教教師的做法才是捷徑.

二、“一般觀念”指導，做出合情合理的教學設計

根據學情，執教教師將“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的內容劃分為三個課時：第1課時，建立函數模型;第2課時，研究參數[A，ω，φ]對函數[y=Asinωx+φ]的圖象的影響;第3課時，研究函數[y=Asinωx+φ]的圖象的變換規則，及函數模型的初步應用. 下面的分析針對第2課時.

將教學內容轉化為教學設計是教學的第一步. 在這個環節要做好以下幾件事.

1. 根據研究對象，確定教學內容的“取”“舍”

（1）關于情境：是否要用深圳的“灣區之光”（摩天輪）替換筒車模型？

這個問題是關于情境創設的. 教師樸素的想法是：“灣區之光”是學生身邊的風景，更容易引起學生的共鳴. 但是經過討論，這種想法被舍棄了. 原因之一是，“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”中的例2選自“天津之眼”，兩者重復. 更重要的是，筒車模型更加經典，反映了我國古代勞動人民的智慧，滲透了歷史文化和民族自信.

關于情境的創設，立意要高，要考慮文化的滲透和經典的傳承等. 只要學生能夠理解，是否貼近其生活并不是最重要的. 與學生生活有一定距離時，還能起到開闊學生視野的作用. 在設計教學情境時，要綜合考慮，特別重要的是要理解教材的設計意圖，用好教材中給出的素材.

（2）關于研究內容：本課時是否要研究函數[y=][Asinωx+φ]的性質？

在執教教師撰寫的第一稿教學設計中，圖象和性質的研究并重.

例如，執教教師設計了這樣的問題. 根據圖象的變化情況分析：[y=sinx+φ]還是一個奇函數嗎？當[φ]取何值時，[y=sinx+φ]為奇函數？當[φ]取何值時，[y=][sinx+φ]為偶函數？根據上述結論分析：[y=sinωx+φ]的周期還是[2π]嗎？如果不是，說出它的周期.

設計的依據是研究一類函數的基本套路，建立函數之后，要研究其圖象和性質. 這是正確的. 問題在于對“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”缺乏具體的分析.

回顧“5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質”：例[2]及其后的“探究與發現：函數[y=Asinωx+φ]及函數[y=][Acosωx+φ]的周期”已經研究了此類函數的周期性;例3和例5已經研究了此類函數的單調性. 也就是說，教材中已經純粹從代數的角度對此類函數的周期性和單調性進行了研究. 雖然奇偶性在前期沒有研究，但是也不需要放在本課時，原因是沖淡了本課時的研究思路，使得研究線索不清晰，重點不突出.

因此，按照研究的基本套路進行是選取研究內容的基本原則，但是要結合具體的研究對象靈活應用. 為此，要研究教材，還要樹立一個觀點：一節課的學習目標要明確，研究重點要突出，研究思路要清晰，只有適當的“舍”才能確保更大的“得”. 只要在本節課將圖象研究清楚了，掌握性質就是水到渠成之事. 此函數由參數[A，ω，φ]所確定，知道了參數的變化對函數圖象的影響，就能把握這個函數的性質.

（3）關于發現問題：是否要從函數[fx±a]與函數[fx]的圖象的關系引出？

在磨課的過程中，有教師提出：是否可以根據函數[fx±a]與函數[fx]的圖象之間的關系先得到函數[y=Asinωx+φ]的圖象的變化量，再用筒車模型予以解釋，目的是培養學生學會發現和提出問題. 這種想法的初衷是很好的，但是問題在于這樣做改變了研究的主線，突出了抽象結論，不能很好地體現“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的整體性，既不能突出函數是刻畫現實世界中的變化規律的模型，又不能充分發揮筒車模型的作用.

事實上，“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的節引言就指出了本節課的研究方法，緊扣節引言，可以自然地發現和提出問題：描述單位圓上的點的運動規律的正弦函數[y=sinx]的圖象我們已經研究過了，那么描述一般圓周運動的規律的函數[y=Asinωx+φ]的圖象與它有什么關系呢？這樣提出問題，更有深度，更自然，并且能把“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的內容的整體性和邏輯的連貫性深刻地體現出來. 這才是單元教學的根本所在.

（4）關于問題的全面性：是否要研究橫坐標相同時縱坐標的變化情況？

對參數[ω，φ]的研究都是針對橫坐標的. 在討論過程中，執教教師提出，學生面對這樣的探究問題時，可能不會直接想到要研究縱坐標不變時橫坐標的變化情況. 在教學過程中，是否應該引導學生進行更加深入的探究？即是否應該研究橫坐標相同時函數[y=sinx]與函數[y=sinx+φ]和函數[y=sinωx+φ]的圖象的關系，以進一步明確函數圖象變換與坐標變化之間的對應關系？萬一學生在課堂上提出來這個問題，是否應該研究？執教教師之所以這樣考慮，出發點之一是問題的全面性，之二是尊重學生的思維.

經過討論，我們形成的觀點是：首先，教師不提出這個問題;其次，即使學生提出了，課堂上也不進行研究. 目的是要通過適當的取舍保證課堂教學的重點和實際教學效果. 事實上，例2“摩天輪問題”中兩個座艙的高度差問題就是橫坐標相同時函數圖象的關系. 此時，只要做減法，利用三角恒等變換進行化簡即可得到一個新函數.

可見，不僅要學習理論，還要恰當地應用理論. 在這樣的討論中理解理論，恰當地用好理論，就是進步.

（5）關于不同媒體技術的融合：是否要用模擬筒車的動畫幫助學生理解盛水筒的運動關系？

執教教師技術應用水平很高，她編寫程序，設計了一個筒車模型，用以演示研究參數變化時筒車上盛水桶的運動. 在試講中，筆者觀察到學生容易理解各個參數對應的筒車模型中的物理意義，困難在于不能用準確的數學語言表達這個現象，即學生不能從幾何角度用符號語言表示點的關系，進而抽象出函數圖象的關系. 在磨課時，筆者向執教教師提出問題：“你有沒有覺得你的動畫筒車模型并沒有發揮什么作用？”執教教師的第一反應是：“是的，我準備下節課上好好用一下這個模型…….”這是常見的想法，展示技術使用水平，活躍課堂氣氛.

經過討論，去掉了這個模型，避免畫蛇添足的現象. 事實上，執教教師在課上展示的一個簡單的變式情境效果更佳：你和同學用同樣的速度跑400米，他站在你的前面，那么誰先到達終點？

是否需要融入技術，要看學情和內容. 本節課中使用的方法是，在學生徒手繪制函數圖象之后，即在具體感知的基礎上，用GeoGebra軟件繪制函數的精準圖象，用技術帶領學生從有限上升到無限，從局部走到全局，從粗糙走到精準. 這就是技術的作用，是輔助，而不是代替.

2. 比較新、舊教材，確定教學內容的“取”“舍”

（1）關于單元標題的變化：突出一類函數的地位.

舊教材中的單元標題是“函數[y=Asinωx+φ]的圖象”，而教材中的單元標題是“函數[y=Asinωx+φ]”. 從標題上看，舊教材中的內容似乎相當于“5.6.2 函數[y=][Asinωx+φ]的圖象”，但這樣的理解只是顧名思義.

教材中，函數[y=Asinωx+φ]的定位是與其他函數并列的一類函數，其研究套路與其他函數是一樣的：現實情境—函數模型—圖象與性質—函數應用. 因此“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”是一個典型的數學建?；顒?

執教教師執教的第2課時是在建立函數模型之后研究函數的圖象. 在這個研究過程中，要充分發揮函數[y=Asinωx+φ]的現實背景的作用，將圖象變換與筒車模型緊密聯系起來，讓學生具體理解函數圖象的變換. 事實上，很多教師對函數[y=Asinωx+φ]的圖象變換規則的理解是在使用教材之后頓悟的，之前只能抽象地給學生解釋. 因此，要按照教材的定位教學，緊扣教材，用參數的物理意義解釋函數圖象的變換. 在這節課上，執教教師深刻領悟教材的編寫意圖，按照“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”的定位，按照知識發生、發展的過程自然地開展教學，使得本課時與前一課時在思想上具有一致性，在思維上具有系統性，突出了完整的數學建模活動和學習內容的整體性.

（2）關于研究方法：注重單元線索的應用.

研究函數圖象關系的基本套路是：通過研究函數圖象上任意一點的特征把握圖象的特征. 這種研究套路，最初出現在教材第85頁的練習3，即依據奇函數、偶函數的定義，證明其圖象的對稱性. 繼而是教材第87頁的第13題. 之后是教材第116頁，研究指數函數[y=2x]與[y=（1/2）x]的圖象的關系;教材第132頁，研究對數函數[y=log2x]與[y=log12x]的圖象的關系;等等. 本節課中同樣是以一對盛水筒的運動為研究對象，得到兩個函數圖象上一對點的位置關系，進而得到兩個函數圖象的位置關系.

教材第117頁和第132頁的“探究”，將上述對具體函數的研究上升到一般，這種從特殊到一般的研究思路也是本單元不同內容共性的體現. 本節課也采用了該辦法.

與指數函數、對數函數中研究函數圖象關系的不同之處是，本節課所研究的函數[y=Asinωx+φ]中有三個參數，與此相關的是初中研究二次函數圖象的經驗，以及物理、化學學習中的經驗，因此在教學中要引導學生類比，用好控制變量法.

如果在之前的學習中教師注重了對研究套路的應用和揭示，本節課研究函數[y=sinx]與[y=Asinωx+φ]的圖象的關系，就是這些方法的鞏固. 這也是單元教學的追求，要注重單元線索的挖掘，并有計劃地培養學生自覺應用的意識和能力.

從本節課的教學來看，這三點執教教師都兼顧到了，但也有需要改進之處. 在本節課一開始就復習了研究二次函數圖象的辦法. 這是需要改進之處. 原因是出現得太早，顯得有些突兀. 如果將這個環節稍微往后放一放，放在提出問題如何由研究函數[y=sinx]的圖象變化得到函數[y=Asinωx+φ]的圖象之后，這個環節的必要性就體現出來了，也就自然了. 做得比較好的是，在具體研究每個參數變化對函數圖象的影響時，采用了由特殊到一般、由一對點的位置關系到函數圖象位置關系的方法.

三、真正服務于學生的教學方能實現高質量

教學內容—教學設計—學習任務（用學案或在PPT上呈現）—課堂教學，這是教學的“三步曲”. 每一步都很關鍵，第三步尤為關鍵. 這是從理論到實踐的跨越，是對教師綜合素質的挑戰. 執教教師在這節課上做到了以下幾點.

1. 設計開放性問題，為學生思維發展而教

三個參數[A，ω，φ]的研究順序怎樣確定？為此，執教教師設計了問題引導學生思考. 在試講時，教師給學生展示的機會，學生有各種各樣的想法，這樣做有助于培養學生的發散思維. 但是，在正式上課時，估計是一時緊張，教師自己直接確定了研究的順序，即[φ—ω—A]. 這是需要總結的經驗和吸取的教訓.

再次分析這兩次上課的情況. 在試講時學生給出了不同的想法，但是每種想法分別是不同學生想到的，并不是師生在理性分析前一種方法優劣的基礎上得到的，即學生的思辨性還有待提高. 因此，在教學中，教師要注重引導學生聆聽、質疑，把學生的思維引向深刻.

事實上，對三個參數的研究順序不局限于教材中給出的順序. 教材中的設計：一方面，是與學生已有的知識經驗相聯系;另一方面，是學生比較容易理解這種研究順序. 如果先研究參數[ω]再研究參數[φ]，難度就會提高，相當于人為設置了教學難點.

2. 設計結構化問題，為培養學生的定向探究能力而教

對于每個參數的研究，執教教師都設計了一組問題，包括一個主問題和若干個追問. 例如，對參數[φ]的研究，設計了如下的問題和追問.

問題：類比初中時研究二次函數的方法，我們遵循從特殊到一般的思想，先取特殊值[φ=π6]，再類比總結任意[φ]值對函數圖象的影響. 按照這樣的思路，函數[y=sinx+π6]與函數[y=sinx]所描述的動點[M]所做的勻速圓周運動分別是什么？主要區別是什么？結合筒車模型說明.

追問1：如下圖所示，任取單位圓上一點[P]. 若動點[M]（記為點[M1]）以[Q0]為起點運動，經過[x]s后到達點[P]，則動點[M1]轉過的角的弧度是多少？[y]與點[P]的關系是什么？

追問2：如上圖所示，若動點[M]（記為點[M2]）以[Q1]為起點運動，到達同一個點[P]時，其所用的時間是縮短了還是延長了？從物理角度如何進行計算？

追問3：根據上述實驗過程分析. 若點[x，y]在函數[y=sinx]的圖象上，那么哪個點一定會在函數[y=][sinx+π6]的圖象上？寫出點的坐標，并說出這兩個點的位置關系.

追問4：根據上一個問題的結果，你能說出函數[y=][sinx+π6]的圖象與函數[y=sinx]的圖象有怎樣的聯系嗎？說明原因.

追問5：選擇一個[φ]的其他取值進行實驗，函數圖象會有怎樣的變化？結合筒車模型解釋.

追問6：根據上述實驗結果，你能歸納出[φ]的取值對函數[y=sinx+φ]的圖象的影響的一般性結論嗎？

該問題是引導學生理解筒車上盛水筒的運動與對應函數的關系. 追問1和追問2從物理的角度按照行程問題具體分析兩個盛水筒的運動，并計算出各自到達同一位置需要的時間. 追問3將物理意義轉換成數學語言，并找到兩個點的位置關系. 追問4從一對點的位置關系推斷出兩個函數圖象之間的位置關系. 追問5和追問6從特殊到一般獲得結論.

研究參數[ω]和[A]時設計的問題與這一組問題結構類似. 這樣，只要會研究參數[φ]就可以類比研究參數[ω]和[A]. 在這樣結構化問題設計的基礎上，課堂教學就可以逐步放手. 教師帶領學生研究參數[φ];學生獨立思考確定研究參數[ω]的研究路徑，教師指導，之后小組合作完成;學生獨立完成研究參數[A].

在實際教學時，執教教師接下來設計的問題如下.

（1）你準備如何探究參數[ω ω>0]對函數[y=][Asinωx+φ]的圖象及性質的影響呢？試設計方案，猜想結果. 先獨立思考，再小組討論.

（2）能否自行設計方案對參數[A]進行研究，并總結出參數[A]對函數[y=Asinωx+φ]的圖象的影響？

這種結構化、系列化的問題設計層層遞進，逐步開放，讓學生有序地探究，有邏輯地思考，培養他們定向探究的能力. 這一點執教教師設計得好，在課堂上實施得也很好，“三步曲”中第三步的實踐是成功的.

3. 精準表述問題，為提升課堂效率而教

在試講時，追問3的表述是“并說出這兩個點的關系”，結果學生的回答各式各樣，看似活躍，實則暴露出設計中的不足：教師設計的問題表述不夠精準，所以不同學生理解的角度不同，造成了教學中時間的浪費. 之后進行修改，增加了兩個字“位置”，再上課時，學生的回答一步到位. 可見，不是學生理解的問題，而是問題的指向性不明確.

當參數[ω]和[A]變化時，坐標要伸長或者縮短，以誰為參照？這一點在很多課上都是含混不清的. 在試講中，學生都能說對結論，但是我們感覺學生并沒有真正理解往哪里壓縮或者怎樣伸長. 于是執教教師在教學設計中增加了一個追問“哪些點的坐標不變”，將學生意會的感覺轉變成了明確的事實.

因設問指向不明引發的課堂“活躍”，在教學中常見. 遇到這種情況時，教師不要陷入與學生的討論中，而是要敏銳思考，及時修正.

4. 調控節奏，注重生成，為學生的真實學習而教

這節課的教學目標之一是讓學生結合筒車模型具體理解參數變換對函數圖象的影響，而不僅僅抽象地記憶結論. 在課堂上，當改變參數的值（如令[φ=-π4]）時，相應的函數圖象怎樣變化？學生回答正確. 執教教師追問原因，學生又回到抽象的純代數的解釋. 對此，執教教師沒有急于講解，而是引導學生用筒車模型解釋. 學生這樣做的原因是，在前期學習中純粹代數的方法他們已經熟悉了. 而教師的主導作用就是引導學生用新的方法解決問題，掌握了新方法才能突破后續圖象變換的難點，并真正理解之前學習到的抽象結論. 從課堂教學過程上看得出這是一個艱辛的過程，學生在總結參數[ω]對函數圖象影響的一般結論時，依然要回到抽象結論，教師及時地將之拉回到筒車模型上. 在最后目標檢測的回答中學生能流暢地用筒車模型解釋變化量，說明學生確實理解了.

學生的數學基礎有差異，性格特點不同，總是有的學生思考得快，有的學生積極發言. 對此，執教教師的處理很合理，讓先舉手的學生稍微等待一下還沒有想好的學生，這樣做兼顧了大多數學生. 這種做法中一個潛在的值得肯定的亮點是：教學是為學生而教，不是讓學生附和教師的節奏. 當然，這樣的現象還可以改進，即如果教師將學習任務做成一個清單（或者學案）發給學生，那樣，不同思維層次的學生就可以不受限于其他學生的進度而自行推進，在需要時或者在教師組織時加入到集體討論和共同學習中即可.

四、尾聲：整體觀之下的評課范式

章建躍主編指出，筆者對這節課的點評不是簡單的說課堂上哪里做得好，哪里做得不好，而是提供了評課的一種范式. 這個范式可以概括如下.

1. 樹立正確的“點評觀念”：點評是交流

將一個理念轉變為一種行動是要經過反復實踐的，對教師而言其成長需要一個過程. 此外，對于同一教學內容，不同的教師、面對不同的學生，其具體實施辦法都是不同的.

教師教學用書中的課例“5.6 函數[y=Asinωx+φ]”是由山西省太原市第五中學的師生提供的，這是山西省第一梯隊的學校，所以通過課上、課下聯動的方式，在兩課時內完成了教學任務. 而執教教師根據她的學生的特點，劃分為三個課時進行教學. 在探索參數對函數圖象的影響方面，有的教師采取同時給出參數的三個具體值，讓學生用技術畫圖，并結合筒車模型進行解釋，而執教教師的設計則是只給參數的一個具體值，解決了這個問題之后，再變式.

不同的處理辦法不能簡單地以對錯評判，更重要的是看與學情適合與否. 因此，點評時更重要的是要通過交流讓聽課者理解為什么這樣做，并思考自己的教學應該怎樣做. 因此，點評是交流和分享，不是評判好與壞、對與錯.

2. 確定合理的“點評內容”：從背景到行為

如上三條就是按照本次活動中評課的內容撰寫的. 它們依次是：整體感知，教學設計，教學實踐.

整體感知，是對本次活動過程的一個概述，是有感而發，不是固定的內容. 例如，這次與執教教師磨課的過程中一個最大的感觸就是她前期認真學習，并且基本領悟到位;每次交流之后，新的想法都能落實. 據此感覺到學習的重要性，于是撰寫了本文的第一部分.

教學設計的形成是從理論到實際不斷轉變的過程，是“四個理解”的體現. 第一稿的教學設計是理想化的，并且還存在對教材理解不到位之處. 交流之后修改，形成第二稿. 這一稿依然是在探索如何能更好地落實教材的編寫意圖，并基于學情預設問題. 基于第二稿進行了試講，這是教學“三步曲”的第一次實踐，經過試講發現問題，及時調整. 例如，去掉筒車模型的動畫，改進問題的指向性，等等，于是形成第三稿. 這一稿既能落實教材的編寫意圖，又符合學情. 本文中的第二部分就是寫這個過程中的心得.

教學實踐，即對教學現場師生表現的分析. 這是教學“三步曲”的第二次實踐. 與試講相比，由于所處的環境、面對的學生又有變化，所以它不是試講的再現，而是新的挑戰. 這就是教學，永遠沒有重復. 在這次實踐中有得也有失，但是就執教教師這節課而言，得遠大于失，教師的駕馭能力比較強，我們看到了執教教師從試講到實戰的再次成長. 本文第三部分，就是寫這個階段的得失.

對教師教學行為的評價置于大背景之下進行，讓教師及其他參與者不僅能“知其然”還能“知其所以然”.

3. 采用啟思的“點評方式”：提問法

點評者所遇的情況也不盡相同：有時是像本次活動一樣全程跟進，有時是前期沒有與執教者的交流就直接進入評課，有時是網絡環境不便于互動交流，等等. 不管哪種情況，都可以采用提問的方式，也許不能面對面互動，但是可以讓執教者思考，讓聽課者思考，在思維層面形成一種互動. 通過這樣的方式，激活所有參與者的思維，激發教師的智慧，真正實現理解本質，有教無類.

4. 恰當表達“點評思想”：凝練標題

評課類似撰寫評論，要有自己的主張，因此要提煉出標題，表達自己的思想. 本文的標題就是此次評課時的主題，是在磨課過程中不斷思考、提煉得到的.

作為一名剛入職的年輕教師，執教教師這節課確實還存在需要改進之處. 例如，變式的豐富性，畫圖、語言的準確性，等等. 但是值得我們學習的更多.

對于筆者而言，從磨課到評課，再到寫出本文，也是“三步曲”. 給別人做指點容易，評說別人的課也容易，而今天再寫出來確實還是有挑戰性的. 教師和教研員在各自的“三步曲”中不斷探索，為切實提升課堂教學質量共同努力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.