信息整合重組 “因”“果”關(guān)聯(lián)突破
——以幾何壓軸題的突破為例

福建省福州延安中學(xué) 陳 炤

1 思維方法綜述

幾何綜合題在中考數(shù)學(xué)試卷中常作為壓軸題出現(xiàn)，重點(diǎn)考查學(xué)生對平面幾何知識(shí)、方法、技巧的掌握，以及對邏輯思維能力的考查.數(shù)學(xué)解析的思維一般有兩種：一是根據(jù)幾何問題的外部特征，與現(xiàn)有模式進(jìn)行匹配；二是分析問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，應(yīng)用方法、技巧，反復(fù)推理問題條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián).另外，還可以將兩種思維緊密配合，探求所需.

而對于難度較大的幾何壓軸題，建議采用思維二的推理方式.教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生對題目中的信息進(jìn)行整合，然后根據(jù)信息進(jìn)行“推”.順推為“進(jìn)”，逆推為“退”，“進(jìn)”“退”結(jié)合，有序推理，探尋條件與結(jié)論之間的連接點(diǎn)，以此為起點(diǎn)構(gòu)建思路.解題時(shí)，可將問題條件視為“因”，結(jié)論視為“果”.由“因”推“果”則為“順推”，由“果”溯“因”則為“逆推”.求解幾何壓軸題時(shí)，可采用“順推”與“逆推”相結(jié)合的方式，充分整合信息，挖掘隱含條件，逐步建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

2 問題實(shí)例探究

2.1 問題呈現(xiàn)

問題如圖1所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，點(diǎn)D位于AC邊上，DE⊥AB于點(diǎn)E，BD的中點(diǎn)為M，延長CM，與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)F.

圖1

(1)求證：CM=EM；

(2)如果∠BAC=50°，試求∠EMF的大小；

(3)如圖2，如果△DAE≌△CEM，CM的中點(diǎn)為N，試證明AN∥EM.

圖2

2.2 簡析前兩問

第(1)(2)問屬于傳統(tǒng)的證明與求角度問題，利用對應(yīng)條件可直接求解.

(2)已知∠BAC=50°，∠ACB=90°，則∠ABC=90°-50°=40°.由CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，所以∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM.

同理可證得∠DME=2∠EBM.所以∠CME=2∠CBA=80°，可推得∠EMF=180°-80°=100°.

2.3 深究核心問

第(3)問是壓軸題的核心之問，該問給定了全等三角形及中點(diǎn)關(guān)系，要求證明兩線平行.可先對題目中的信息進(jìn)行整合，然后根據(jù)“因”“果”推導(dǎo)進(jìn)行邏輯推理，對條件進(jìn)行解構(gòu)重組.

2.3.1 由“因”推“果”——解構(gòu)重組

條件1：∠DEB=∠ACB=90°.條件2：點(diǎn)M為線段BD的中點(diǎn).

上述兩條件可視為關(guān)于四邊形CDEB的內(nèi)部關(guān)系分析，DB可視為四邊形的一條對角線，該對角線的兩個(gè)對角為∠DEB和∠ACB.結(jié)合圓的“直徑對直角”定理，可判斷B，C，D，E四點(diǎn)共圓，結(jié)合點(diǎn)M為DB的中點(diǎn)，可確定四點(diǎn)位于以點(diǎn)M為圓心，DB為直徑的圓上.

條件3：△DAE≌△CEM.

該條件是關(guān)于兩個(gè)三角形全等，根據(jù)三角形全等性質(zhì)，可推知三邊對應(yīng)相等，即AE=EM，DE=CM，AD=CE.

基于上述條件的結(jié)構(gòu)，可形成相應(yīng)的邊、角結(jié)論，主要有以下內(nèi)容.

與邊相關(guān)：AC=BC，MB=MC=ME=MD=2CN=2NM.

與角相關(guān)：∠DAE=∠ADE=∠CEM=45°，∠DEM=∠EDM=∠EMD=60°，∠MEB=∠MBE=∠FMB=∠DCE=30°，∠CBD=∠CED=15°，∠ADM=∠AEC=105°，∠AEM=∠DMF=∠BMC=150°.

2.3.2 由“果”溯“因”——思路探索

所證目標(biāo)為兩條直線平行：AN∥EM.因此，需要思考證明兩直線平行的方法.結(jié)合教材內(nèi)容可知，有如下幾種思路：

思路1：兩條直線平行的三大常用定理，包括同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；

思路2：構(gòu)建兩條直線之間的第三條直線，利用定理“平行于同一直線的兩條直線平行”；

思路3：由相似特性推導(dǎo)平行，構(gòu)造“A字型”相似模型，則模型中存在兩條直線平行；

思路4：構(gòu)造特殊圖形，主要構(gòu)造含有對邊平行的圖形，如平行四邊形、矩形等.

3 核心之問整合多解

上述對核心之問進(jìn)行了信息、結(jié)構(gòu)整合，生成了與角度、邊長相關(guān)的次生條件，后續(xù)就可以直接探尋條件與結(jié)論之間的聯(lián)接方式.不同的聯(lián)接方式可產(chǎn)生不同的解題思路和方法，下面細(xì)致探究.

3.1 直接用平行線的判定定理

兩條直線平行有三個(gè)判定定理，下面主要利用“同位角相等，兩直線平行”探究.可選取∠NAF和∠MEF為同位角.已推知∠MEF=30°，則只需證明∠NAF=30°即可.可采用解直角三角形的方式，具體如下.

圖3

3.2 利用平行的傳遞性質(zhì)

若所涉兩條直線同時(shí)平行于同一直線，則兩直線平行，在本題中，可在AN和EM之外構(gòu)造第三條直線，利用平行關(guān)系的傳遞性證明兩線平行.

如圖4所示，過點(diǎn)C作ME的平行線CP，設(shè)CP與BA的延長線的交點(diǎn)為P，則∠CPE=∠MEF=30°.在△ECP和△DAB中，因?yàn)椤螩PE=∠ABD=30°，∠CEP=∠ADB=105°，CE=AD，可證△ECP≌△DAB.由全等性質(zhì)可得PE=BD=2AE，即點(diǎn)A為PE的中點(diǎn).則AN就為梯形MCPE的中位線，進(jìn)而可推知AN∥CP∥ME，得證.

圖4

對于上述證明思路，還可以引入倍長EA，然后證明三角形全等或構(gòu)造母子型相似模型求解，此處不再過多贅述.

3.3 構(gòu)造“A字型”相似模型

該問突破的核心是證明兩線平行，也可利用具有平行特性的幾何模型，如“A字型”相似模型中含有一組平行邊，可將所涉兩條直線放置在該模型中，或以兩條為基礎(chǔ)直接構(gòu)造模型.由上述解構(gòu)重組可知復(fù)合圖形中含有眾多的線段關(guān)系，故可由相等關(guān)系證明模型中的三角形相似，再由相似模型推出兩直線平行.

3.4 構(gòu)造含有平行特性的特殊圖形

初中幾何中含有眾多具有平行特性的特殊圖形，如平行四邊形、矩形、菱形、梯形等，若能證明含有所涉線段的圖形為該種特殊圖形，則可直接完成兩條直線平行的證明.

方法1：依托AN和EM構(gòu)造平行四邊形證明.

過點(diǎn)N作AB的平行線，與EM的延長線的交點(diǎn)設(shè)為P，如圖5所示.

圖5

則可推知∠P=∠MEF=30°，PN=2MN=CM=AE.又知PN∥AE，PN=AE，所以四邊形AEPN為平行四邊形，由其性質(zhì)可得AN∥EM.

方法2：依托AN和EM構(gòu)造矩形證明.

過點(diǎn)A作EM的垂線，設(shè)垂足為ME延長線上的點(diǎn)P，如圖6所示.

圖6

4 解法探究的思考

上述對一道幾何壓軸題進(jìn)行了解法探究，特別對其核心之問開展了解構(gòu)重組，生成了多種解題思路.以問題中條件與結(jié)論的關(guān)聯(lián)為引線，對題目信息進(jìn)行整合，然后結(jié)構(gòu)重組.邏輯思維條理清晰，具有極高的參考價(jià)值，下面對解法進(jìn)行深度思考.

4.1 讀題審題，解構(gòu)信息

幾何壓軸題解析的首要步驟是審題，即讀懂條件，也是“解構(gòu)重組”的前提.讀題過程不是簡單的信息與圖形的對應(yīng)，而應(yīng)透過信息本身，挖掘背后的隱含條件，如中點(diǎn)背后的幾何關(guān)系，90°角生成的直角三角形，以及三邊關(guān)系等.教學(xué)中，需引導(dǎo)學(xué)生把握題干中的核心信息，逐條剖析提取條件，并探索關(guān)聯(lián)條件.必要時(shí)，可結(jié)合信息條件進(jìn)行考點(diǎn)定位，關(guān)聯(lián)教材定理，確保推理有據(jù)[1].

4.2 探索關(guān)聯(lián)，重組條件

幾何問題的突破過程可視為條件與結(jié)論的關(guān)聯(lián)探索，在完成信息解構(gòu)后，需要重組條件，重組結(jié)構(gòu)，如上述依托直角三角形生成了四點(diǎn)共圓，依托全等三角形推理邊角關(guān)系，生成了一系列的角度、邊長條件.對條件的重組實(shí)則是整合信息，關(guān)聯(lián)生成.教學(xué)中，建議采用圖形提取、數(shù)形結(jié)合的方式，分解圖形，由局部探細(xì)節(jié)，將相關(guān)條件聚焦在具體的圖形中，重新整合幾何特性，并根據(jù)幾何要素探索結(jié)論[2].

4.3 知識(shí)聯(lián)想，生成思路

幾何問題的思路探究提倡綜合使用“因”“果”推導(dǎo)，由“因”推“果”信息整合，由“果”溯“因”逐步探尋思路.即分為兩步進(jìn)行：第一步，處理、整合條件；第二步，根據(jù)信息聯(lián)想條件與結(jié)論構(gòu)建關(guān)聯(lián)的方法.如上述基于角度、邊長條件，探索兩線平行的證明思路，生成了定理推導(dǎo)、平行傳遞、模型特性、特殊圖形等策略.教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生充分關(guān)注條件與結(jié)論的連接點(diǎn)，圍繞接點(diǎn)展開聯(lián)想，必要時(shí)，開展知識(shí)點(diǎn)的專題探究，以“點(diǎn)”成“線”，由“線”結(jié)“網(wǎng)”，構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

5 寫在最后

依靠直覺分析往往難以突破幾何壓軸題，思維過程混亂、無序，容易陷入誤區(qū).信息整合，結(jié)構(gòu)重組，“因”“果”推導(dǎo)，則可以快速定位知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，構(gòu)建解題思路，實(shí)現(xiàn)問題的高效解答.復(fù)習(xí)備考建議深入探究典型問題的解題策略，依托實(shí)際問題強(qiáng)化解法，鍛煉思維.