一元一次不等式組含參問題

重慶師范大學 易江南

1 不等式組有解、無解，求參數的范圍

由不等式①，解得y≥1+4k.

由不等式②，解得y≤6+5k.

因為原不等式組有解，所以y≥1+4k與y≤6+5k有公共解集，在數軸上表示如圖1所示.

圖1

由圖1可得1+4k≤6+5k，解得k≥-5.

因此，k的取值范圍為k≥-5.

點撥：本題解題的關鍵是“不等式組有解”.說明兩個不等式的解集有公共部分，也就是1+4k一定在6+5k的左邊，兩個不等式都有“=”，分析可得1+4k≤6+5k.

圖2

因此，a的取值范圍為a≤4.

2 已知不等式組的解集為xm)，求參數的取值范圍

由不等式⑤，得x≥2a-4.

因為原不等式組的解集是x>-2，在數軸上表示如圖3所示.

圖3

由圖可得2a-4≤-2，解得a≤1.

因此，a的取值范圍為a≤1.

點撥：本題關鍵在于“不等式組解集是x>-2”.據“同大取大、同小取小”原則，2a-4一定在-2的左邊，就有2a-4<-2.因為不等式⑤有“=”，不等式⑥沒有“=”，由此分析可得2a-4≤-2.

3 不等式組有整數解，求參數的取值范圍

由不等式⑦，得x≤2.

而x≤2中x的最大值是2，結合原不等式組有且只有三個整數解，可得結果2,1,0，其數軸表達如下圖4所示.

圖4

因此，a的取值范圍為-5

點撥：本題的關鍵是“有且僅有”.翻譯過來就是剛好3個整數解，從“2”開始往左邊數，這三個整數解分別是2,1,0.因為不等式⑧有“=”，所以0是可以取的，而-1就不能取.

由不等式⑨，得x≤a.

由不等式⑩，得x>-5.

因為原不等式組至少有6個整數解，在數軸上表示如圖5所示.

圖5

由圖可得a≥1.因此，a的取值范圍為a≥1.

點撥：本題解題的關鍵是“至少有6個整數解”，翻譯過來就是可以有6個、7個、8個……因為不等式沒有“=”，所以-5不算在內，從-4開始往右數，不等式⑨有“=”，數到1時，剛好6個整數解，1就是“臨界點”.

因為原不等式組的整數解個數不超過4個，在數軸上表示如圖6所示.

圖6

因此，m的取值范圍為1≤m<7.

點撥：本題解題的關鍵是“整數解個數不超過4個”，翻譯過來就是可以有1個、2個、3個、4個.不等式沒有“=”，所以-1不算在內，從0開始數是第一個，不等式有“=”，數到3時，剛好是第4個.綜合分析，此題的“臨界點”有兩個，分別是0和4，由此可得

4 總結

通過分析發現，不等式組的解的個數或者范圍不同，其解題方法也不同.問題之所以難，是因為沒有抓其要害.至關重要的一點是，抓住“題眼”，并翻譯“題眼”，要能理解“至多”“至少”“當且僅有”這樣的話語[1]，并借助數軸方式找出“臨界點”，結合法則便可以良好地掌握含參數問題.