例析規避勾股定理及其逆定理混用的策略

甘肅省平涼市崇信縣第二中學 位雅楠

1 引言

在初中數學課本中，有很多與“勾股定理”和“勾股定理逆定理”類似的定理，它們是互逆定理，條件和結論正好相反，學生在運用時極易出現混用錯誤.如何規避這種錯誤，是提高學生幾何定理解決問題的關鍵.

2 例析規避策略

例1如圖1所示，∠ADB=90°，AD=3，BD=4，AC=12，BC=13.求陰影部分的面積.

圖1

錯解：∵∠ADB=90°

∴△ABD是直角三角形，

由勾股定理，得

AD2+BD2=AB2.

∵AD=3，BD=4

∴32+42=AB2，

∵AB>0，

∴AB=5.

∴△ABD的面積為3×4÷2=6.

∵△ABC的底和高分別為AB和AC，

∴△ABC的面積為5×12÷2=30.

∴陰影部分的面積為30-6=24.

分析：在錯解當中，誤將△ABC是直角三角形當成已知條件.而本題條件中并未直接給出△ABC是直角三角形，也就不能將AB和AC看成△ABC的底、高.正確的做法應是在計算面積之前，先用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形，并指明直角或斜邊，然后再計算△ABC的面積.

正解：∵∠ADB=90°

∴△ABD是直角三角形，

由勾股定理，得AD2+BD2=AB2.

∵AD=3，BD=4，

∴32+42=AB2.

∵AB>0，

∴AB=5.

∴△ABD的面積為3×4÷2=6.

∵AB=5，AC=12，BC=13，

∴52+122=132，

即AB2+AC2=BC2.

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.

∴△ABC的面積為5×12÷2=30.

∴陰影部分的面積為30-6=24.

點評：勾股定理是由直角三角形得到a2+b2=c2，這時候直角三角形是已知的，且是由“形”到“數”的過程.而勾股定理逆定理是由a2+b2=c2得到直角三角形，這時候直角三角形是未知的，是需要證明的，且是由“數”到“形”的過程[1].由此觀之，這類問題其實是“數形結合思想”的充分體現，在解決之初就應明確是知“形”求“數”，還是知“數”求“形”.

例2如圖2所示，在四邊形ABCD中，∠DBC=90°，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四邊形ABCD的面積.

圖2

錯解：∵∠DBC=90°，

∴△BDC是直角三角形.

由勾股定理，得BD2+BC2=DC2.

∵BC=8，DC=17，

∴DB2=172-82.

∵DB>0，

∴DB=15.

∴△BDC的面積為15×8÷2=60.

∵△ABD的底和高分別為AB和AD，

∴△ABD的面積為9×12÷2=54

∴四邊形ABCD的面積為60+54=114.

分析：和例題1一樣，本題的解題過程也出現了沒有先判斷△ABD的形狀就貿然看成直角三角形求面積的錯誤.所以，本題的糾錯關鍵在于先利用勾股定理逆定理證明△ABD是直角三角形.

正解：∵∠DBC=90°，

∴△BDC是直角三角形.

由勾股定理，得BD2+BC2=DC2.

∵BC=8，DC=17，

∴DB2=172-82.

∵DB>0，

∴DB=15.

∴△BDC的面積為15×8÷2=60.

∵AB=9，AD=12，BD=15，

∴92+122=152，

即AB2+AD2=BD2.

∴△ABD是直角三角形，∠DAB=90°.

∴△ABD的面積為9×12÷2=54.

∴四邊形ABCD的面積為60+54=114.

點評：求一個圖形的面積，如果該圖形是由多個直角三角形組成，那么需先證明這些圖形為直角三角形，而不能將直觀感受的結果作為證明結果，這樣就犯了“我以為”的錯誤.“我以為”這種錯誤，是很多初中生容易犯的錯誤，主要表現在“未證先用”上.本題錯解就犯了這樣的錯誤.

例3如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，點E是AD的中點，求CE的長.

圖3

錯解：∵△ABC是直角三角形，AB=3，BC=4，

∴由勾股定理，可得AC=5.

∵△ACD是直角三角形，點E是AD的中點.

分析：本題求CE的長主要應用到了直角三角形斜邊中線定理，但該定理的使用前提是已知三角形為直角三角形.而本題錯解中，并未事先證明該三角形是直角三角形，便貿然將△ACD看成直角三角形進行計算，顯然不符合數學嚴密的邏輯性特點.

正解：∵△ABC是直角三角形，AB=3，BC=4，

∴由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，

即AC2=32+42.

∵AC>0，

∴AC=5.

∵52+122=132，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°.

∵點E是AD的中點，

∵AD=13，

點評：直角三角形在幾何題中出現的幾率非常大，而學生不能根據主觀感覺貿然判斷三角形的形狀，應根據題目所給條件先證明其正確性才能為后面解題所用.

3 結語

要想有效規避“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的混用，就要回歸到“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的本質，即是知“形”求“數”，還是知“數”求“形”[2].如果是知“形”求“數”，那么說明已知三角形為直角三角形，此時應該使用勾股定理；如果是知“數”求“形”，那么說明三角形的形狀還未知，此時應該使用勾股定理逆定理進行判斷.