環(huán)環(huán)設(shè)問把握本質(zhì) 步步探究提升素養(yǎng)
——“無刻度直尺網(wǎng)格作圖——垂直平分線”的課堂實(shí)錄與思考

湖北省武漢市吳家山第二中學(xué) 李幽蘭 尹姝暢

湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 萬建光

1 引言

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀.”幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.無刻度直尺網(wǎng)格作圖題，就是只能用無刻度的直尺在網(wǎng)格中取點(diǎn)、畫直線、射線或線段，畫出符合題目要求的圖形.隨著素質(zhì)教育的不斷深入以及試題改革的不斷發(fā)展，無刻度直尺作圖題逐漸受到命題人關(guān)注，在近幾年的中考試題中頻頻出現(xiàn).

2 內(nèi)容與地位

無刻度直尺網(wǎng)格作圖這類題目需要學(xué)生具備較強(qiáng)的幾何知識(shí)的思維能力和綜合運(yùn)用能力，既考查學(xué)生的幾何直觀、推理能力，又考查學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成[1].

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求，學(xué)生能用尺規(guī)作出一條線段的垂直平分線，過一點(diǎn)作已知直線的垂線.本節(jié)課是基于人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)前三章內(nèi)容的期中復(fù)習(xí)專題課，將三角形全等的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)有機(jī)融合，探究作線段垂直平分線的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖與作圖的能力.

3 教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

(1)掌握運(yùn)用無刻度直尺作已知線段垂直平分線的基本方法；

(2)解決線段垂直平分線的作圖問題，增強(qiáng)學(xué)生幾何直觀及操作的能力；

(3)滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生幾何綜合素養(yǎng).

本節(jié)課的重難點(diǎn)：掌握運(yùn)用無刻度直尺作已知線段垂直平分線的基本方法.

4 課堂實(shí)錄

4.1 導(dǎo)思求學(xué)

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)“無刻度直尺網(wǎng)格作圖——垂直平分線”，首先回顧一下線段垂直平分線的定義.

生1：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

師：回答正確.作線段的垂直平分線，必須抓住兩個(gè)要點(diǎn)：中點(diǎn)和垂直.“磨刀不誤砍柴工”，在學(xué)習(xí)如何作線段垂直平分線之前，我們先來弄清楚怎樣在網(wǎng)格中作出線段的中點(diǎn)和垂線.

基本作圖1：作線段的中點(diǎn).

在正方形網(wǎng)格中，有如圖所示(圖1、圖2)的線段AB，請(qǐng)用無刻度直尺作出線段AB的中點(diǎn)C.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示.

圖1

圖2

學(xué)生發(fā)現(xiàn)作法，教師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)格線的平行或垂直關(guān)系取格點(diǎn)構(gòu)造“8字形”三角形全等是網(wǎng)格中作線段中點(diǎn)的基本方法.構(gòu)造8字形的取點(diǎn)方式不唯一，作線段中點(diǎn)的方法也不唯一.

基本作圖2：過已知點(diǎn)作線段的垂線.

請(qǐng)?jiān)趫D3、圖4中用無刻度直尺分別過點(diǎn)B和點(diǎn)C作BD⊥AB，CE⊥AB.

圖3

圖4

師：如圖3,當(dāng)線段AB在格線上時(shí)，點(diǎn)B所在的豎格線上的點(diǎn)都滿足BD⊥AB，點(diǎn)C所在的豎格線上的點(diǎn)都滿足CE⊥AB.如圖4,當(dāng)線段AB不在格線上時(shí)，如何作垂線呢？在作圖前，我們先來思考一下，如圖5，如果將矩形AGBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形DMBC，則旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)角線AB和BD有什么位置關(guān)系？為什么？

圖5

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察思考，易說明AB⊥BD，直線BD即為過點(diǎn)B所求的垂線.

追問：那么如何過線段外格點(diǎn)C作CE⊥AB？

生2：可以將剛才得到的線段BD平移，平移后的線段還是與AB垂直，點(diǎn)B向下移2格是點(diǎn)C，所以點(diǎn)D向下移2格就是點(diǎn)E，連接CE，直線CE即為所求AB的垂線CE.

師：非常精彩！我們觀察到線段AB“橫2格，縱3格”，它的垂直線段BD和CE都是“橫3格，縱2格”，所以我們可以歸納得出：線段“橫a縱b”的垂直線段為線段“橫b縱a”.

設(shè)計(jì)意圖：通過兩個(gè)基本作圖，學(xué)生掌握網(wǎng)格中線段在格線上、線段不在格線上的中點(diǎn)作法和過一點(diǎn)作其垂線的基本方法，為下一環(huán)節(jié)作線段垂直平分線做好準(zhǔn)備.

4.2 共研釋疑

問題1請(qǐng)作出線段AB的垂直平分線CD.(見圖1)

生3：圖6可以直接取AB的中點(diǎn)C，點(diǎn)C所在的豎格線即為線段AB的垂直平分線.

圖6

師：回答非常棒！抓住垂直平分線定義中的兩個(gè)關(guān)鍵要素：中點(diǎn)和垂直.這就是我們?cè)诰W(wǎng)格中作線段垂直平分線的基本方法和基本思路.方法(1)：取中點(diǎn)作垂線.

追問：對(duì)于圖7，線段AB的長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度，它的垂直平分線怎么畫呢？中點(diǎn)怎么取？垂線怎么畫？

圖7

生4：(展示作圖)可以構(gòu)造8字形全等三角形來取中點(diǎn)，作垂線的話可以同樣方式再取一個(gè)滿足條件的點(diǎn).

師：活學(xué)活用不錯(cuò)哦！既然我們可以取出垂直平分線上(與線段兩端點(diǎn)距離相等)的1個(gè)點(diǎn)，那么我們也可以取出2個(gè)這樣的點(diǎn)，而且不限于在格線上，在方格內(nèi)可以通過連小正方形對(duì)角線的方式找到其中心(如圖8)，因此得到方法(2)：取2個(gè)到線段端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)再連線.

圖8

問題2當(dāng)線段AB不在格線上，如何作它的垂直平分線？

師：我們可以很容易畫出線段的中點(diǎn)和垂線，有什么方法使線段的垂線經(jīng)過中點(diǎn)呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，交流作法，然后展示(如圖9-1,9-2).

圖9-1

圖9-2

教師對(duì)學(xué)生的作法給予正面評(píng)價(jià)，指出需注意的問題，引導(dǎo)學(xué)生比較這幾種方法，總結(jié)出作線段垂直平分線的方法(3)：平移已知垂線經(jīng)過中點(diǎn).注意找到線段平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

問題3如果改變網(wǎng)格的行列數(shù)，又怎樣作線段AB的垂直平分線呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，交流討論，展示作法.引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前面總結(jié)的方法，作出線段AB的一條垂線EF，然后平移這條垂線經(jīng)過中點(diǎn)C，得到所要求的垂直平分線，如圖10-1;進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將△ACE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，確定點(diǎn)D的位置，連CD即可，如圖10-2.這就是方法(4)：旋轉(zhuǎn)三角形作垂線.

圖10-1

圖10-2

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1，2，3的作圖，學(xué)生掌握在網(wǎng)格中用無刻度直尺作線段垂直平分線的基本方法，即主要是平移和旋轉(zhuǎn)這兩大圖形變換的應(yīng)用.其中圖10-1和圖10-2可轉(zhuǎn)化為基本作圖，滲透化歸的思想方法.學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐和小組交流中感知無刻度直尺作圖的解題特點(diǎn)，經(jīng)歷知識(shí)和方法的生成過程，從而探究發(fā)現(xiàn)和總結(jié)方法.

4.3 拓展應(yīng)用

(2021武漢中考第20題)如圖11是由小正方形組成的5×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

圖11

在圖12中，先畫△BCD的高CG，再在邊AB上畫點(diǎn)H，使BH=DH.

圖12

師生活動(dòng)：學(xué)生交流作法，展示作法，如圖12.教師引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路，對(duì)學(xué)生的作法給予肯定評(píng)價(jià)，掌聲鼓勵(lì)，并做相關(guān)補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：這道題目是2021年武漢中考第20題第(2)問，雖然有一定難度，但通過本節(jié)課內(nèi)容的鋪墊和學(xué)習(xí)后，學(xué)生較易讀懂題目的意圖，明確解題思路，攻克中考題目，體會(huì)成功的喜悅，感受“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”.

4.4 總結(jié)歸納

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單談?wù)勀愕氖斋@.

師生活動(dòng)：學(xué)生分享收獲，學(xué)生之間互相補(bǔ)充，教師積極引導(dǎo)、評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：回顧這節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)和方法，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)的良好習(xí)慣.

5 教學(xué)啟示與思考

5.1 注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”

選擇恰當(dāng)?shù)膯栴}是學(xué)生有效參與課堂的關(guān)鍵.雖然學(xué)生熟悉線段垂直平分線，然而要在網(wǎng)格中用無刻度直尺作出線段垂直平分線還是存在較大難度.在設(shè)計(jì)這堂課時(shí)，教師由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生緊扣垂直平分線的定義，分線段在網(wǎng)格的格線上和不在格線上兩種情況探討，最后減少網(wǎng)格數(shù)逐步增加難度，總結(jié)平移和旋轉(zhuǎn)兩大基本方法.讓學(xué)生在環(huán)環(huán)遞進(jìn)的問題中體會(huì)圖形的聯(lián)系與變化，在動(dòng)手實(shí)踐過程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會(huì)、激發(fā)創(chuàng)造潛能.從低起點(diǎn)的問題先導(dǎo)、系統(tǒng)化地建構(gòu)聯(lián)系，到螺旋式上升的變式拓展，多維度的深度融合，契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的生成習(xí)得與延伸拓展.

5.2 注重知識(shí)的理解生成與應(yīng)用內(nèi)化

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).對(duì)于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且還要知道實(shí)施這些步驟的理由.為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，教師從考慮教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)出發(fā)，組織學(xué)生開展作圖操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考分析，運(yùn)用知識(shí)判斷不同情形的不同作法，總結(jié)概括方法，思考幾種方法之間的聯(lián)系，建立起學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)生成過程之間的聯(lián)系，讓學(xué)生真正理解知識(shí)，印象深刻.

5.3 注重教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法和總結(jié)方法

授人以魚不如授人以漁.傳授學(xué)生知識(shí)，不如傳授學(xué)生學(xué)習(xí)方法；傳授學(xué)生學(xué)習(xí)方法，不如引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)方法[2].本節(jié)課的目的并不局限于教學(xué)內(nèi)容，教師以知識(shí)為載體，教會(huì)學(xué)生思考和分析問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，養(yǎng)成總結(jié)的習(xí)慣.

6 結(jié)語

教師要善于將教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”結(jié)合起來，在環(huán)環(huán)設(shè)問和步步探究中發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提升學(xué)生的思維能力和幾何素養(yǎng)，重視學(xué)生知識(shí)的架構(gòu)和方法的生成，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.