基于教材原題的一題一課探究
——以“圓周角”專題課教學(xué)為例

武漢市恒大城學(xué)校 王華峰

武漢市東西湖初級中學(xué) 封 磊

1 一題一課，忠于教材

1.1 “一題一課”的重要意義

教師在義務(wù)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要尤其注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成[1].數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，僅僅讓學(xué)生執(zhí)行題海戰(zhàn)術(shù)遠遠不夠，題型稍微變化對于學(xué)生而言又是一個嶄新未接觸過的“領(lǐng)域”，從而會出現(xiàn)即使做過也沒有思路的現(xiàn)象.作為義務(wù)階段教師，可通過“一題一課”的方式來幫助學(xué)生整理并歸納知識點，通過適量的類比性練習(xí)讓學(xué)生學(xué)會解決同類型問題.與此同時，“一題一課”的練習(xí)更是為了鍛煉學(xué)生舉一反三的能力，提升學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的能力.

下面以人教版九年級上學(xué)期“圓周角”專題課教學(xué)為例進行說明.

1.2 “一題一課”立足于教材

“一題一課”并非一道題講一節(jié)課，而是立足于教材本身，以教材母題為載體，通過適當(dāng)改變題目條件，圍繞本節(jié)習(xí)題課“平分圓周角”的知識點，發(fā)揮整理與歸納的重大作用.九年級學(xué)生基本具備獨立思考的能力，所以教師更應(yīng)該立足于教材，通過“一題一課”這種形式讓學(xué)生最大程度落實與掌握教材中的單一知識點.

2 試題之源，源于教材

(人教版九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)教材第90頁第14題)如圖1，A,P,B,C是圓O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀？并證明你的結(jié)論.

圖1

師：同學(xué)們，我們知道頂點在圓上，且兩條邊都與圓相交的角為圓周角.請同學(xué)們回顧圓心角、圓周角、弦三者之間的關(guān)系？

生：同圓或等圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半；同圓或等圓中，相等的弦所對的劣弧相等.

師：是的.請同學(xué)們先獨立解決課本中的題，思考解題過程中運用了圓的哪些相關(guān)性質(zhì)？

生：△ABC為等邊三角形.運用了在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等；還運用了圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

師：回答得很好.由題目所給的條件∠APC=∠CPB=60°，細心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，線段PC為圓周角∠APB的角平分線.那么老師將本題追加一個課堂活動：分小組一起探討線段PA,PB,PC三者之間的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計意義：讓學(xué)生對所學(xué)的性質(zhì)進行簡單的梳理，并在解題過程中及時鞏固所學(xué)過的知識點.在教材練習(xí)題基礎(chǔ)上，增設(shè)課堂活動，鼓勵學(xué)生獨立或以小組合作的形式探討，加深對本題的理解，同時鍛煉發(fā)散性思維.

3 題型之變，變于教材

3.1 學(xué)生尋解題之路，教師展學(xué)習(xí)之法

在分組談?wù)摰倪^程中，其中幾個小組的學(xué)生分別運用不同的方法解決了線段PA,PB,PC數(shù)量關(guān)系問題，但也有個別小組沒有思路.此時，教師應(yīng)該讓學(xué)生暢談自己的想法，展現(xiàn)小組合作的成果.待學(xué)生展示完畢，教師再引導(dǎo)學(xué)生作出歸納并總結(jié).

生：如圖2，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至△AQB，因為△ABC為等邊三角形，所以點C旋轉(zhuǎn)后與點B重合,△AQP為等邊三角形，于是PA=PQ.因為PC=QB,QB=QP+PB，所以PC=PA+PB.

圖2

師生反饋評價：回答問題的學(xué)生思路方向是正確的，但解題過程中忽視了某個知識點的細節(jié)，從而解法存在問題.在運用旋轉(zhuǎn)思想解題的時候，如何保證三點共線呢？在整個思路中，△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°時，因為△ABC為等邊三角形，所以點C恰好與點B重合.又因為∠PAQ=60°，PA=QA，所以△PQA為等邊三角形，從而∠QPA=60°，所以∠QPB=∠QPA+∠APB=180°，那么點Q，P，B三點共線.

旋轉(zhuǎn)思想在幾何題的計算與證明中大有用處，為了鍛煉學(xué)生的思維能力并鞏固所學(xué)的知識點，嘗試探討是否有其他解法.在探討的過程當(dāng)中時刻關(guān)注學(xué)生存在的問題，并引導(dǎo)學(xué)生獨立解決.如圖3，在弦PC上取一點G，使PG=PB，連接BA,BG.因為∠GPB=60°，所以△PBG為等邊三角形，故PB=GB.因為∠PBA+∠ABG=60°,∠GBC+∠ABG=60°，便可以得到∠PBA=∠GBC.又因為∠BGC=180°-∠PGB=180°-60°=120°，∠BPA=120°,所以∠BGC=∠BPA，從而得到△BPA≌△BGC.進一步得到PA=GC，PC=PG+GC=PB+PA.

圖3

點評：本題探討了在圓中平分120°圓周角的角平分線所具有的一些性質(zhì).兩種不同的思路與方法詮釋了解題的過程.在運用旋轉(zhuǎn)思想解題時，需要證明點的共線.用第二種方法截取線段長相等來考慮時，就必須觀察圖中有哪些三角形是全等的.

3.2 原題重現(xiàn)，并非偶然

例1(2021-2022學(xué)年武漢市元月調(diào)考第20題)如圖4，A,P,B,C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°.(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)求證：PA+PB=PC.

圖4

分析：本題第(1)(2)兩問不難看出就是人教版九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)教材中的第90頁第14題，并且在上述討論中提供了兩種不同的解法.教師還可以循循善誘，反問學(xué)生既然我們可以在弦PC上取一點G，使PG=PB，那么，我們是否也同樣可以在弦PC上取一點M，使PM=PA呢？解法和上述的方法異曲同工.

3.3 深化鞏固，環(huán)環(huán)緊扣教材

元月調(diào)考試題源于教材，這可能是一個命題趨勢，所以在平時的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中更應(yīng)該注重教材的使用.在課堂教學(xué)與課后練習(xí)中，幫助學(xué)生適量地刷題，不能盲目地執(zhí)行題海戰(zhàn)術(shù).引導(dǎo)學(xué)生共同探討課本中的題型可以做何種變式，讓學(xué)生自己嘗試在教材母體基礎(chǔ)上改編，最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主體思維，讓學(xué)生在做題的同時領(lǐng)悟題型的變化.

師：目前討論的是平分120°的圓周角所具有的一些性質(zhì)，請同學(xué)們共同探討，還可以平分多少度的圓周角呢？

生：90°，60°.

師：請同學(xué)們分為兩個小組，分別探討平分90°圓周角和平分60°圓周角的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.

變式1如圖5，若把上述條件∠APB=120°改為∠APB=90°，其余條件不變，試判斷△ABC的形狀？線段PA,PB,PC三者的數(shù)量關(guān)系？

圖5

解析：△ABC為等腰直角三角形.如圖6，將△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBN.

圖6

∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，

∴點A旋轉(zhuǎn)后與點B重合.

∵四邊形PACB為圓O內(nèi)接四邊形，

∴∠PAC+∠PBC=180°.

∵∠PAC=∠NBC，

∴∠NBC+∠PBC=180°，

∴P,B,N三點共線.

又∵△PCN為等腰直角三角形，

∵PN=PB+BN=PB+PA，

圖7

3.4 中考真題再現(xiàn)

變式2(武漢中考)如圖8，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為6，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

圖8

分析：觀察圓周角∠ACB=90°時,CD為∠ACB的角平分線，可運用上述方法來求解.

圖9

圖10

3.5 真題引申，發(fā)散性解題

變式3在變式2的基礎(chǔ)上對試題進行相應(yīng)的變化，能否求解出變式2中圓內(nèi)接四邊形CADB的面積？

4 教學(xué)思考

本課題以人教版九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)教材原題作為模板，以一題一課[2]的形式逐漸展開，研究并探討了武漢市元月調(diào)考真題到武漢市中考真題.整節(jié)專題課的設(shè)計，在問題呈現(xiàn)上從封閉式轉(zhuǎn)為開放式旨在促使學(xué)生對特殊圓周角角平分線性質(zhì)的掌握.在師生互動和學(xué)生分組討論的過程中，學(xué)生有能力自己解決的問題交給學(xué)生展示，能力范圍外的，教師因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)題目的切入點.同時，精簡課程的內(nèi)容，避免大范圍的題海戰(zhàn)術(shù)，有助于學(xué)生掌握題目的內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的本質(zhì)，忠于教材.本節(jié)課更加注重圓周角問題中的幾何模型，教師在日常教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造基本模型，讓學(xué)生在原有的認知上持續(xù)鍛煉概括與總結(jié)能力，對知識體系的形成有很大的幫助.