淺談高中數學解析幾何的解題技巧和策略

【摘 要】解析幾何既是高中數學教學中的重要內容，也是數學高考的一大熱點。但由于該類題目涵蓋的知識點非常廣泛，計算過程比較復雜，許多學生在解題過程中頻頻出錯，很難形成有效的解題思路。為此，文章主要對如何更好地在高中數學教學中進一步提升學生的解析幾何能力進行了探討，從解題觀、解題技巧以及解題策略三個方面出發，提出了一些建設性的意見，希望有助于提升學生解決幾何問題的能力。

【關鍵詞】解析幾何;高中數學;解題策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）06-0118-02

通過對近些年的數學高考情況進行分析，筆者發現解析幾何相關問題在考試中頻頻出現，涉及知識面較為寬廣，綜合性內容較強，因此很多學生在解決此類問題時往往抓不到關鍵[1]。如何幫助學生有效提升解答解析幾何問題的能力，筆者結合自己的教學經驗，進行了以下探討。

1? ?高中數學解析幾何的解題觀

怎樣解決學生難以掌握解析幾何知識的問題呢？教師又該如何開展解析幾何教學呢？為此，筆者借鑒了波利亞的解題思想進行探討，以期為學生樹立正確的解題觀，為教師樹立正確的教學觀。波利亞在《怎樣解題》一書中將解題分成了四個步驟，分別是理解題目、擬定方案、執行方案與回顧反思，這四個步驟也稱“解題四重奏”[2]。

1.1? 理解題目階段

熟悉題目指的是學生需要理解題目的文字表達內容，最好能用自己的話復述題目的內容。此時教師需要檢查學生是否了解題目中的已知量、題目中包含的重要條件以及所求的問題。進而在熟悉題目的基礎上加深對題目內容的理解，并列出通過分析得到的條件。

1.2? 擬定方案階段

解決問題的關鍵是擬定一個解題方案，這個方案可以從以下幾個方面形成：①從以往獲得的知識和經驗中形成;②將原來的題目進行有效轉化，通過已知條件尋求隱藏條件;③通過引入輔助問題來獲得好的解題思路。

1.3? 執行方案階段

擬定了解題方案后，則需要結合題目內容進行解題，在解題過程中要保證計算正確。若發現解答的過程不符合預期，應及時調整解題方案，重新審視解題思路，避免最終結果出錯。在此過程中，教師要及時提醒學生，如“你是否能證明它是正確的？”“你的步驟是否有問題？”

1.4? 回顧反思階段

學生通過回顧反思可以進一步厘清自己的解題思路，審查自己的解題過程，具體做法如下：

①結合答案，對題目進行檢驗，保證解題結果的正確性;②通過另外一種解題方法來證明結果的正確性;③反思本題與類似題目之間的聯系，將經驗推廣到與其相似的題目中，實現舉一反三;④進一步探討錯因，彌補知識漏洞。

2? ?高中數學解析幾何的解題技巧

2.1? 數形結合法

數形結合法既包含了數字符號，又包含了數學圖形，是將數學關系和圖形關系互相轉化的一種重要數學思想。高中數學中許多習題的推導過程較復雜，利用數形結合法能降低學生學習高中數學的難度，快速破解高中解析幾何難題，極大地提升學生數學解題的效率。因此，數形結合法成了解析幾何中一種常用的方法，學生在解題應用中需要掌握好以下關系：①數形結合中的“數”是以幾何條件為背景建立的;②根據題目的數字內容，并且能夠結合題意解釋其對應的幾何意義;③明確函數表達式和函數圖象的關系;④明確實數和數軸上點的對應關系[3]。

2.2? 向量法

向量法也是高中數學幾何題目中經常使用的一種解題技巧，可以簡化題目的難度，能夠有效提升學生的幾何解題能力。向量法指的是利用向量來解題，用向量表示幾何體的空間位置。在一些題目中，可以采用向量的方式表示夾角、坐標等，如求異面直線距離或者異面角時，使用向量法能夠極大地降低解題的難度[4]。

2.3? 割補法

割補法指的是在解題過程中使用分割或者補充的方法，將解析幾何的題目簡化，從而降低解題的難度。具體的操作過程如下：使用割補法將原有的幾何圖形進行分割或者補充，得到比較規則的幾何體，再利用該幾何體的性質和定理進行解題[5]。

3? ?高中數學解析幾何的解題策略

3.1? 梳理題目條件

梳理題目中的條件內容，也就是要理解題目的語言。教師可在教學中訓練學生掌握分析題目已知條件和位置條件的方法。解析幾何大多數題目條件較多，涵蓋的知識內容較廣，難度較大，通常還伴有新概念和陌生情境的出現，對學生的閱讀理解、抽象概括、自主探究和推理能力都有很高的要求。教師需要引導學生將文字語言轉化成為圖形，或是將圖形轉化成為文字符號，使復雜問題簡單化，通過梳理題目條件幫助學生更好地理解題目要求。

3.2? 提取有效信息

好的解題思路主要源于過去的經驗和學過的知識。因此，教師在解題教學過程中有必要引導學生回顧以往相關知識點，通過聯想類似題目，從以前的解題思路中找尋突破口。如證明直線過定點的問題，可以采取以下幾種解題策略：一是找出定點，通過定點坐標得出直線的關系;二是將題目信息和問題進行聯系，從題目信息中找到突破口，從而得到直線與定點的關系。再如求圓錐曲線中的最值問題時也需要提取有效信息，建立目標函數，根據目標函數的圖象來求取最值。教師在教學時可以通過經典例題分析，讓學生掌握該類題型的解題方式，從而豐富學生的解題經驗。

3.3? 簡化運算過程

運算是解析幾何中最為關鍵的環節。在解答解析幾何題目時，大部分學生運算效率較低，運算過程容易出錯，長期如此會導致學生對解析幾何運算產生畏懼心理。為有效解決這一問題，教師應加強對幾何解題教學中計算方法的研究，包括計算節點分析、算法長度預測、算法的理解等。如在圓錐曲線的計算中字母較多、信息量大，許多學生在解題的過程中經常計算錯誤。但通過對考試題型進行分析，發現圓錐曲線的問題主要是在選擇題中出現，學生在解題的過程中可以采用估算的方式，通過預估線段的長度，代入公式進行求解，能夠幫助學生提升計算的效率。

3.4? 掌握多種解題技巧

掌握解題技巧是解題的關鍵。從實際教學中，筆者發現學生在解析幾何解題的過程中遇到的問題較多。有的學生反映解析幾何的計算過程很復雜，計算結果容易錯誤。大部分學生覺得解題方法太難，浪費了大量的解題時間。因此，教師在解析幾何解題教學中應該指導學生掌握多種解題技巧，提升學生解題的速度和正確性。如在高中幾何問題的解決過程中，學生可以構造輔助圖形，將解析幾何問題特殊化處理。學生首先要分析原始圖形的特點，然后結合題目的條件，將其轉化成特殊圖形，從而降低題目的難度。再結合特殊圖形的特征和規律，利用相關定理來求解。

總之，教師應該重視提升學生數學解析幾何的解題能力。通過上述解題觀、解題技巧和解題策略的闡述，筆者希望能為廣大高中數學教師提供參考。但在具體的教學中還需要各位教師不斷深入探索，總結教學經驗，采取針對性的教學措施，提升學生的解題能力。

【參考文獻】

[1]張宇輝.分析高中數學數形結合的解題技巧[J].中學生數理化（自主招生），2019（9）.

[2]張繼連.解析高中數學數形結合解題技巧[J].數學學習與研究：教研版，2019（2）.

[3]陳明朋.高中數學“數形結合”解題思想運用之探析[J].數理化學習（教研版），2015（7）.

[4]夏碧芳.解析構造法在高中數學解題中的運用[J].數理化解題研究，2020（1）.

[5]魏海.試分析高中數學教學中數形結合的運用探究[J].青少年日記：教育教學研究，2016（2）.

【作者簡介】

張小鳳（1975～），女，漢族，廣東曲江人，本科，中學一級教師。研究方向：高考。