化歸思想在高中數學解題中的應用

江蘇省句容市實驗高級中學 郝榮春

化歸思想是指在主體原有知識、經驗、理解、思考的基礎上，將未知的、較為困難的問題轉化為已知的、簡單的、容易解決的問題，它是數學思想中的重要組成部分。在核心素養培養視角下，教師應注重滲透化歸思想，讓學生提升思維模式，掌握數學知識和解題技巧。

一、化歸思想的基本內涵與思想核心

在數學發展的歷史中，每一個公式或定理的發現與提出背后都有一種數學思想作為支撐。因此，在素質教育以及核心素養視角下培養新時代高中生的數學能力與解題能力，需要教師培養學生的數學思想，讓學生懂得數學的本質，并做到舉一反三，使問題迎刃而解。

化歸思想的核心就是轉化與歸納，借助一定的方法、手段將復雜、困難的問題簡單化，將不會的題目轉化成會的、已經學習過的知識，將信息量大的未知題目用自己掌握的知識體系分解，通過變換角度思考問題找到解題思路。

高中數學題目側重對知識運用能力與知識點掌握的考查，化歸思想可以幫助學生快速找到解題思路，將當下問題轉變成數學模型或簡單公式，在原有知識基礎上構建自己全新的知識體系，提升學習效率，因此化歸思想在高中數學解題過程中有很大作用。

二、化歸思想在高中數學中的實際應用

（一）提升邏輯思維

在函數以及不等式等模塊的學習中，教師應當培養學生的化歸思想與邏輯思維，如“要想……首先需要……然后……”的思路，從而帶動學生分析與解答數學題。

例如，在蘇教版《基本不等式》的學習過程中，學生經常遇到不等式與函數相結合的題目：

已知：a，b∈R，求證：｜a｜+｜b｜／1+｜a｜+｜b｜＜｜a+b｜／1+｜a+b｜

分析：這道題表面上看是不等式的求證問題，實際上是考查函數的單調性問題。因此，教師可以引導學生將題目轉化為函數在區間內的單調遞增或遞減問題來進行求證。

證明：設f（x）＝x／1+x，x∈［0，+∞）

x1，x2是x∈［0，+∞）上的任意兩個實數且0≤x1＜x2，則f（x1）-f（x2）＝x1／1+x1-x2／1+x2＝x1-x2／（1+x1）（1+x2）

∵0≤x1＜x2，∴f（x1）＜（x2）

∴f（x）＝x／1+x在x∈［0，+∞）上是增函數（大前提）

∵｜a｜+｜b｜≥｜a+b｜≥0，可知f（|a|+|b|）≥f（|a+b|）。

以上可以看出，掌握了數學化歸思想，就能讓未知的、看起來復雜又難以解答的問題轉化成已知的、熟悉的，并能通過運用基礎知識解答的問題，使題目變得簡單。

（二）運用數形結合

其實數形結合的理念在小學以及初中的數學學科中就有滲透：雞兔同籠、植樹問題、簡單函數等，都是數形結合的運用以及滲透。數形結合能幫助學生更好地掌握數學知識，形成系統的思想模塊，通過將抽象的問題具象化，通過動手與實踐能力的培養，讓學生掌握問題的解決辦法。

高中數學更加抽象化、復雜化，在解題過程中，學生會抓不住解題方向與思路。隨著對數學知識不斷深入的學習，學生的認知結構與思維方式會更加成熟，學會運用化歸思想，通過數形結合的方式來學習數學知識、總結解題思路，能用辯證的視角看待問題、解答問題。

例如，蘇教版《三角函數》涉及的符號、概念、公式都比較抽象，在學習過程中教師就可以引導學生利用數形結合的方式，快速找到解題思路，并將難以理解的抽象概念變成實際操作。

解答：依題知，點（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上。

因sinx2+cosx2＝1，所以題中所求值域就是橢圓上的點和點（4，-1）連線的斜率。設切線方程為y+1＝k（x-4），將其與橢圓聯立，得判別式為0，

即4x2+［k（x-4）-1］2＝16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15＝0［-（8k2+2k）］2-4×（4+k2）（16k2+8k-15）＝0 12k2+8k-15＝0

（2k+3）（6k-5）＝0

對這類問題，教師在課程安排中要引導學生進行聯想與思考，在學習新知識的過程中利用與復習以往知識，從而讓學生形成自己的解題思路與邏輯體系。

（三）簡化轉熟原則

教師在教學中應注重學生數學素養的培養，不要將學生的考試成績作為教學的唯一目的，要培養學生對數學的探索精神，注重化歸思想在數學學科內的應用。

例如，在蘇教版《等比數列》的教學過程中，很多教師會覺得等比數列的題目較為容易，即便學生不會推理演算，也可以通過列舉選出對的結果。但是這種教學思路與素質教育相違背。核心素養視角下要求高中數學教學“注重提高學生的數學思維能力”，通過“直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等形成思維過程”。

例如，是否存在一個等差數列｛an｝，使得對任何自然數n，等式a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）都成立，并證明你的結論。

分析：教師可以先引導學生進行簡單思考，通過對問題的認知與把握將其變得直觀化，利用特殊性與一般性、復雜化與簡約化的思想理念，將問題分解開，在矛盾中分析問題，再通過系統分析總結出一般結論。

解：將n＝1，2，3分別帶入等式可得：

a1＝6

a1+2a2＝24

a1+2a2+3a3＝60

解得a1＝6 a2＝9 a3＝12

故存在一個等差數列an＝3n+3，當n＝1，2，3時，等式成立。

接下來教師可以利用數學歸納法引導學生掌握解題思路，只要將原有的復雜問題轉化為簡單的問題：證明存在一個等差數列an＝3n+3，對大于3的自然數，a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）都成立。

解：假設n＝k時，等式成立，

即a1+2a2+3a3+…+kak＝k（k+1）（k+2）

當n＝k+1時，有a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1

＝k（k+1）（k+2）+（k+1）［3（k+1）+3］

＝（k+1）（k2+2k+3k+6）

＝（k+1）（k+2）（k+3）

＝（k+1）（（k+1）+1）［（k+1）+2］

因此當a＝k+1時也存在一個等差數列an＝3n+3

使a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）成立。

教師在講解題目的過程中，應注意把握學生的學習心理，讓學生簡化做題思路，通過化歸思想進行規律總結與認知，從而增進對知識點的掌握程度。

三、化歸思想對高中數學的積極影響

事物的普遍規律是發展變化，矛盾常常伴隨事物發展的整個過程，并不斷產生聯系。學生在學習高中數學的過程中也會不斷遇到已知與未知、熟悉與陌生、簡單與復雜的問題，而化歸思想就是將事物不斷進行轉化與歸納總結的過程。這種學習思路不僅讓高中數學學習變得簡單有條理，而且能讓學生掌握舉一反三的學習方法，有助于數學核心素養的培養。

四、結語

在高中數學的教學過程中，教師應當注重對學生整體素質的培養，化歸思想的普及以及理念滲透法對教師來講是一種易于使用的教學策略，對學生來講也是非常實用的學習手段與解題思路，因此在高中數學課堂教學中滲透化歸思想極為重要。