一類Sobolev方程的各向異性非協調有限元分析

郭 城，王海紅

（1.鄭州師范學院 數學與統計學院，河南 鄭州 450044；2.河南財經政法大學 數學與信息科學學院，河南 鄭州 450002）

Sobolev方程是一類用處廣泛的偏微分方程，在流體穿過裂縫巖石的滲透問題、土壤中濕氣的遷移問題和不同介質的熱傳導問題等方面有著廣泛的應用。在求解上述問題的有限元方法中，常用的有Galerkin有 限 元 方 法［1］、混 合 有 限 元 方 法［2］、H1-Galerkin混合有限元方法［3］和連續時空有限元方法［4］等，但以上研究用到的都是協調有限元方法，或要求網格剖分滿足正則性假設［5］。在解決窄邊區域上的偏微分方程問題時，為了減少計算量，常常采用各向異性剖分，這樣可通過較少的自由度得到同樣的估計結果。與協調元相比，對于自由度定義在單元的邊上和單元自身上的非協調元來說，每個未知量只涉及兩個單元，因此在信息傳遞上是廉價的，做并行計算也是比較容易的。石東洋等［6］利用積分恒等式和插值后處理技術對各向異性網格上Sobolev方程的解做了Carey元的高精度分析，但沒有通過數值算例進行驗證。在本文中，我們在各向異性網格上研究了非協調Carey有限元［7–8］的收斂性，在半離散格式下證明了離散問題的解的存在唯一性，給出了零模和能量模意義下的最優誤差估計，通過數值算例驗證了結論的正確性。

對于方程（1），我們做如下假設： ??R2是有界凸區域，a ( x, y )和 b(x,y)是具有二階連續導數的函數； 0 < a1< a( x, y ) < a2,|b( x, y) |< a2,且 a1和 a2為正常數。

1 半離散格式下的誤差估計

為了得到誤差估計結果，引入經典的與時間有……