一道高考題的教學(xué)反思

在新課程背景下，如何加強(qiáng)有效性教學(xué)，適度避開教學(xué)盲區(qū)，減輕師生負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)成績，是廣大教育工作者急切關(guān)心的話題，筆者以2007年浙江高考數(shù)學(xué)（理）20題為例，初淺談?wù)剬Ω呖碱}教學(xué)的實施與體會。

一、案例

如圖，直線y=kx+b與橢圓■+y2=1交于A、B兩點，記△AOB的面積為S。

（1）求在k=0，0

（2）當(dāng)|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程。

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

（1）解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（x1，b），點B的坐標(biāo)為（x2，b），由■+y2=1，解得x1.2=±2■，所以S=■b|x1-x2|=2b■≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=■時，S取到最大值1。

（2）解：由■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kbx+b2-1=0，

得：△=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，由|AB|=■|x1-x2|=2，

得■=2。

設(shè)O到AB的距離為d，則d=■，又■，所以b2=k2+1，代入上式，整理，得k4-k2+■=0，解得k2=■，b2=■，經(jīng)檢驗，△>0，符合題意。

故直線AB的方程是：y=■x+■或y=■x-■或y=-■x+■或y=-■x-■。

教師再提示解題重在用方程觀點研究幾何，用設(shè)而不求整體代換方法分析問題和解決問題，培養(yǎng)較強(qiáng)的運算能力和不懈的毅力；再布置相關(guān)練習(xí)，一節(jié)課也就結(jié)束了。

這樣的教學(xué)僅在于搞清題意，解決了題目，為解題而解題；對學(xué)生更深層次的學(xué)習(xí)、理解、探究還未到位，與新課標(biāo)的要求還有距離。因此，筆者繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生向問題的原型探索。

二、本題在日常教學(xué)中的原型

原型1：圓x2+y2=1上兩點A、B，圓心為O，求AOB面積S的最大值。

學(xué)生：當(dāng)OA⊥OB時，Smax=■|OA||OB|=■

原型2：橢圓■+y2=1上A、B兩點，記△AOB的面積為S，求S最大值。

學(xué)生1：當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)點A（x1，y1），點B（x1，-y1），|AB|=2|y1|，記O到AB的距離為d，d=|x1|，S=|x1||y1|=2■■≤■+y12=1，當(dāng)且僅當(dāng)|x1|=■，|y1|=■時取“=”；

當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB：y=kx+b，

聯(lián)立■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kx+b2-1=0，

得：△=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，

由|AB|=■|x1-x2|=■

設(shè)O到AB的距離為d，則d■，S=■■=2■≤1（當(dāng)僅當(dāng)4k2+1=2b2時，式子取“=”）∴Smax=1。

學(xué)生2：設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），■，■的夾角為θ，則：

|OA|=■，|OB|=|■，

sinθ=■

=■

S=■|OA||OBsinθ=|cos（α+β）|≤1（當(dāng)α=-β時式子可取“=”），

∴Smax=1。

學(xué)生3：圓x2+y2=1到橢圓■+y2=1變換矩陣為■ 00 1，變換行列式的絕對值為■，而圓x2+y2=1上兩點A、B，圓心為O，AOB面積S的最大值為■，所以橢圓■+y2=1上A、B兩點，△AOB的面積為S的最大值為1。

三、高考題與教材原型的鏈接

當(dāng)明確原型結(jié)論后，回頭再看看2007年這道考題，由S=1，不難發(fā)現(xiàn)：△AOB的面積S正是取得最大值時，因此：4k2+1=2b2，結(jié)合：|AB|=1，即■，易得：k2=■，b2=■，從而順利解決問題。

再鏈接：

問題（1）：橢圓■+y2=1上兩頂點A、B兩點，M為橢圓上動點，記△AMB的面積為S，求S最大值。

解析：思路很明顯，應(yīng)分情況討論。

A）A，B為同軸上兩頂點時：|AB|=4時，Smax=2；|AB|=2時，Smax=2。

B）A，B為長、短軸上各取一個頂點時，不妨設(shè)A（0，-1），B（2，0），|AB|=■，由數(shù)形結(jié)合思想可知：只需將直線AB平移至與橢圓相切時，結(jié)論將產(chǎn)生。

設(shè)橢圓切線：y=■x+b，代入橢圓方程，可得：■x2+bx+b2-1=0，由△=0，可得：b=±■，由圖可知，當(dāng)b=■時，該切線與直線AB距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為■（■+■），

此時，Smax=■+1；綜上所述：S最大值為■+1。

問題（2）：橢圓■+y2=1上兩焦點為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上動點，記△MF1F2的面積為S，求S最大值。

解析：由橢圓圖像易知：M（0，±1）時，Smax=■。

問題（3）：橢圓■+y2=1上兩焦點為F1，F(xiàn)2，直線AB過焦點F1且交此橢圓于A，B兩點，記△ABF2的面積為S，求S最大值。

解析：不妨設(shè)AB：x=ny+■點A（x1，y1），點B（x2，y2）， S=■|y1-y2|=■·■，

聯(lián)立■+y2=1x=ny+■，得（n2+4）y2+2■ny-1=0，得：y1+y2=■y1y2=■ .

可得：S=■■=■·■

=■≤2

當(dāng)且僅當(dāng)n=±2■時，式子取“=”，所以：S最大值為2。

問題（4）：橢圓■+y2=1上A、B、C兩點，記△ABC的面積為S，求S最大值。

解析：令x=2x'y=y'，則x'2+y'2=1有，而圓的內(nèi)接三角形為等邊三角形時面積為最大，S'max=■，由線性變換，可知Smax=■×2=■。

問題（5）：橢圓■+■=1（a>0，b>0）上A、B、C兩點，記△ABC的面積為S，求S最大值。

解析：令x=ax'y=by'，則有x'2+y'2=1，而圓的內(nèi)接三角形為等邊三角形時面積為最大，S'max，=■由線性變換，可知Smax=■ab。

問題（6）：橢圓■+■=1（a>0，b>0）（內(nèi)接四邊形面積為S，求S的最大值。

解析：令x=ax'y=by'，則有x'2+y'2=1，而圓的內(nèi)接四邊形為正方形時面積為最大，S'max=■，由線性變換，可知Samx■。

問題（7）：橢圓■+■=1（a>0，b>0）（內(nèi)接n邊形面積為S，求S的最大值。

解析：令x=ax'y=by'，則有x'2+y'2=1，而圓的內(nèi)接n邊形為正n方形時面積為最大，S'max=■sin■，由線性變換，可知Smax=■sin■。

四、教學(xué)反思

1.教師要重視課本

高考數(shù)學(xué)“年年歲歲題不同，歲歲年年題相似”，高考命題是“源于課本，高于課本”，課本是試題的根。在教學(xué)中，教師要重視課本，充分挖掘好課本的例習(xí)題的功能，加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解。

2.注重數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)

本題的本質(zhì)確實是用方程觀點研究幾何，注重解析思想、數(shù)形轉(zhuǎn)換，同時加強(qiáng)問題內(nèi)在的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生重視方法的同時，努力提高數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識和理解。

3.注重問題的通解通法的教學(xué)

高考的命題趨勢在本質(zhì)上是考查學(xué)生對知識的理解和數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度及靈活應(yīng)用知識的能力。在問題教學(xué)中拓展學(xué)生思維的同時，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)、學(xué)會反思、學(xué)會感悟，促進(jìn)學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.提倡學(xué)生自主與合作相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式

學(xué)習(xí)方式的變革是當(dāng)前新課程改革的核心。很多問題的發(fā)現(xiàn)與解決都是在學(xué)生獨立思考、自主探究、合作學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的，學(xué)生要從中發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)自主和創(chuàng)新意識，不斷從個例中尋求共性，從特殊到一般，進(jìn)行類比、對比遷移思維，概括規(guī)律，建立數(shù)學(xué)有效模型，正確解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這樣提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步鞏固和理解知識，從而提高學(xué)習(xí)效率，最終實現(xiàn)高效的學(xué)習(xí)，這正是新課程理的念所在。