基于PBL教學模式下高中函數教學的設計與思考

摘 要：2017版普通高中數學課程標準（以下簡稱新課標）中明確了以學生發展為本，立德樹人，提升素養的基本理念，并且也將函數作為高中數學四大主線之一，體現了函數的重要性。因此本文基于“以學生為中心，問題為課堂導向”的PBL教學模式，以指數函數及其性質為例進行教學設計與思考，為進一步貫徹落實新課標的基本理論，提高教學效率提供一些參考。

關鍵詞：PBL 教學模式 高中數學 指數函數 教學設計

函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決世界問題中發揮重要作用，并且函數也是貫穿高中數學課程的主線[1]。因此函數對于學生來說是重中之重的，學生學習函數不僅需要能夠學習到函數知識，而且需要學生能夠利用函數的知識和思想解決實際問題中存在的問題，提升學生數學核心素養和培養學生的發現問題、提出問題、解決問題的能力，從而達到全面綜合發展。但是傳統教學模式下高中函數教學課堂中主要以教師的講授為主的模式，如此不僅不能充分考慮到學生的能力的全面綜合發展，也無法滿足未來社會對于人才綜合需求，并且還存在不能夠關注到班級的每一位學生的問題。因此需要根據新課程標準的以學生發展為本，立德樹人，提升素養的基本理念指導下，在傳統教學模式的基礎上結合PBL教學模式，以問題為導向，以學生為中心進行教學，培養學生在實際中發現問題、提出問題、解決問題的綜合能力，促進個體的全面綜合發展。

1 PBL教學模式及相關理論

1.1 PBL教學模式定義

PBL（problem-based-learning）教學模式，即基于問題的學習模式，最早源于醫學教育，最初是為了解決醫學生在學習中理論知識掌握牢固，但是在實踐中卻存在能力不足的現象。該模式以學生為中心，利用問題為導向，在實施教學中利用信息技術等方法呈現或創造現實生活中問題情景，讓學生通過小組合作等一系列活動解決實際問題，掌握問題背后的科學知識。這不僅讓學生對知識進行掌握，同時還拓寬知識的廣度和深度，培養學生綜合能力，也提高課堂效率。重要的是通過小組合作交流等方式進行問題解決，不僅培養學生小組交流等能力，還可以通過合理的評價方式從而達到關注到課堂中每一位學生的教學目的。

1.2 PBL教學模式設計步驟

PBL教學模式在具體實施當中側重于問題導向，采用“先問題，后內容”的教學過程，將問題作為學生學習的起點和教師教學的核心，通過問題創設情境，激發學生好奇心與學習興趣，也為學生下一步學習提供了明確方向[2]。因此PBL教學模式的設計步驟大致如下：一、教師根據教學內容，提出問題，創設科學合適的問題情景，此問題需要讓學生一些挑戰性，但是又不至于超出學生能力范圍;二、在實施過程中，結合具體情景選擇合適的教學工具呈現和分析問題，利用形象直觀的方式幫助學生理解問題的實質;三、大多采用小組合作交流的探究方式，根據學生的知識水平和解決問題的能力平均分為6到8人一組。教師需要引導學生進行實踐和網絡等方法獲取資料，進行課前的預習環節;四、小組進行討論，教師進行引導，確保每個成員都能夠積極參與討論和探索，組內成員能夠做到資料信息等互補和更正，確保探究的科學性;五、匯報成果，小組進行展示，提供解決方案，教師進行補充和引導;六、總結與反思，教師對各小組的成果進行評價并且補充和總結，強調在學習中的重難點，提高課堂效率和完善學生的知識結構。并且需要制定小組成員的最終的總評得分，得分構成的主體應該以學生自評和小組成員進行評價，從此環節可以注意到每一位學生是否在探究問題的過程中做到了積極參與和探究，避免存在小組中只是部分學生的展示平臺。

2 PBL教學模式下指數函數及其性質教學設計

2.1 教材分析

指數函數及其性質選自人教A版必修一第二章第二節，從內容上學生學習過一次函數等基本初等函數并且上一章節學習了集合定義下的函數概念與性質，因此對于新的函數模型的探究過程比較熟悉。即從實際問題情景探究到建立指數函數模型和概念，最后畫出圖象并根據圖象研究性質并應用，并且指數函數，對數函數，冪函數三者密切聯系，對于三者的研究過程都是貫穿著類比思想，具有從具體到一般的抽象過程，因此只有經歷指數函數及其性質的學習，學生才會真正掌握到研究一類函數的方法，積累經驗，學會從圖象和代數運算的角度下認識具體函數和性質，不但為學生后續對對數函數等自主研究做鋪墊，而且能實現數學核心素養的教育價值[3]。

2.2 學情分析

本節課是在學習了集合定義的函數概念與性質基礎上，學生對于函數的研究方法有一定的了解，可以按照“概念—表示—性質—應用”的主線進行研究。學生學習此內容時處于高一，學生心理逐步趨于相對穩定和成熟;從思維上看，學生已經處于經驗型向理論型過渡階段，學生已具有抽象思維能力及獨立思考的意識，這都為本節課的順利開展提供能力基礎。

2.3 教學目標

根據新課標、教材分析、學情分析以及相關文獻[4]，本文制定了以下教學目標：

（1）通過問題情景，經歷數學建模過程，由實例抽象出指數函數概念，發展數學抽象、數學建模核心素養。

（2）會用描點法畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性和特殊點，應用性質解決實際問題。

（3）結合指數函數圖象性質研究，體會研究函數的一般方法，提升直觀想象素養。

（4）能夠通過學習，感受數學的生活化和實踐化，體會到生活處處是數學，生活處處是問題，從而達到培養發現問題、提出問題、解決問題的能力。

2.4 教學重難點

重點：指數函數的表示以及圖象與性質。

難點：對底數的分類，以及根據圖象和解析式歸納指數函數的性質并應用。

2.5 教學過程

2.5.1 提出問題

師：同學們知道一張普通A4紙最多可以對折多少次嗎？可以拿出一張普通的A4紙，進行對折試一試。

生：可以對折20次、15次等回答，然后動手實驗（發現班級最多的對折也只在7到8次左右）。

師：其實理論上一張普通A4紙是可以無限次對折，但是世界紀錄也只在13次，根據一些計算如果對折42次，厚度都有可能達到地月距離，那么這是什么原因呢？我們今天一起來探索一下。

師：還是一張設定面積為1的普通A4紙，進行重復對折x次后，設總層數為y1，其中一層的面積為y2，將y1，y2表示為關于x的函數，小組可以討論完成。

設計意圖：首先有一個有趣的科學小問題讓學生動手實踐，引發認知沖突，接著在此基礎上提出指數函數的問題情景，拋出問題，引起學生探索欲望以及學習興趣。

2.5.2 分析問題

PBL教學模式以問題為核心，在教學過程中讓學生帶著問題進行討論，小組成員之間共同探討，找出解決問題的關鍵，以小組為單位，將遇到問題和困難記錄下來，討論解決或向教師提出。教師的任務是巡視和個別指導，遇到共性問題則全班進行指導，學生通過分組討論，歸納，形成最佳問題答案[5]。在分析問題的過程中可以根據實際的教學環境和條件選擇信息技術或者其他形象直觀的方式進行引導分析，讓學生能夠通過問題的分析過程體會到問題背后的實質，從而在解決問題的環節中事半功倍。

2.5.3 解決問題

師：對于提出問題的環節中折紙問題通過討論，引出函數表達式：y1=2x，y2=（）x，x∈N，通過提問兩者之間有什么共同特征？對學生進行對比上節課的指數冪的知識引導研究，提示用α代替表達式中的2，。

生：學生經過替換，感受到這兩個問題的指數冪的共性，得出指數函數表達式為y=ax。

師：接著對于表達式再次提問，對于底數的取值有什么要求呢？引導學生討論底數的取值和定義域。

經過學生小組討論知，如果a<0時，x取負數或分數時，函數值沒有意義，而a=1時，函數是直線y=1在折紙問題只能有整數所以x∈N，但是函數的研究中x∈R最終得出指數函數的定義：y=ax，（a>0且a≠1），x∈R。

設計意圖：一方面讓學生動手實踐探究指數函數的定義，讓學生從發現問題產生認知沖突自己主動探究解決問題，發展了學生的主動性，培養學生解決問題的能力;二是通過小組合作也是培養他們團隊合作的能力，對于學生的學習興趣也是一種培養。

圖象是研究函數最直觀的工具，學生在之前的學習中對于畫出函數圖象的步驟已經有初步的知識結構，教師首先對學生進行畫函數圖象的步驟的復習，依次是列表、描點、連線，然后還是上述折紙的函數表達式：y1=2x，y2=（）x進行列表、描點、連線的方法畫圖，在學生畫出函數圖象之后引導學生在此基礎上繼續作y3=3x，y4=（）x的圖象，以便概括函數性質做準備，學生也可通過信息技術如作圖計算器、幾何畫板或者GeoGebra等軟件自主操作，通過改變a的值來獲得多個函數圖象。

師：使用多媒體呈現函數圖象，提問從畫出的圖象中，發現y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x圖象之間的關系？能否利用y=2x畫出y=（）x圖象、用y=3x畫出y=（）x圖象？

生：觀察圖象，表述自己的觀點，即y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x圖象之間是關于y軸是對稱的關系，畫出一個利用對稱的關系則可以畫出另一半。

師生共同交流總結，利用對稱性畫指數函數圖象的方法。

設計意圖：通過學生自主探究和總結，使學生掌握兩個函數圖象之間的對稱關系以及其解析式的特點，利用對稱性畫圖。

師：繼續提問學生，經過上一章節函數的性質的學習，能否利用指數函數的圖象歸納出指數函數的性質嗎？教師引導學生觀察多媒體呈現的圖象或是自己畫出的各種底數的函數圖象，概括指數函數的性質，并完成下表1。

生：各個小組通過觀察不同底數的指數函數圖象，對于表格所需要的內容，完成指數函數的性質的探究，形成對指數函數性質的認識，小組派代表進行講解，每個小組講解一個性質，其他小組需要進行補充和糾正。

師：在學生們總結出性質的基礎上，強調指數函數性質中的重點，以及結合函數圖象進行對函數性質的記憶。

設計意圖：設計環環相扣的問題，讓學生在小組合作的基礎上，逐步探究并掌握指數函數的基本性質。整個環節讓學生自主在問題的基礎上探究，逐步完善對指數函數的認識，不僅對學生的能力的培養，也是對其數形結合等思維的培養。

2.5.4 應用問題

在對指數函數及其性質的知識結構完善之后，還需引導學生回歸到問題本身，解決實際問題。

師：回歸到問題上，為什么一張普通的A4紙對折，大家只能對折7到8次呢？理論上對折42次，是否能達到地月距離呢？我們該如何利用指數函數的知識進行科學計算？現在假設一張普通A4紙厚度約為0.1mm，請同學們進行計算。

生：利用本節指數函數的知識，借助計算器等手段，不難算出y=2x當x=42時，242=439804.65km，遠大于地月距離的38km.因此這個有趣的科普小知識是真實的。

師：在多媒體上呈現1.01365，0.99365;1.02365，0.98365兩組值，讓學生進行比較值的大小，體會感悟。

生：經過計算可以得出，1.01365≈37.8，0.99365≈0.037;1.02365≈1377，0.98365≈0.0006，體會出只是底數相差一點，但是指數函數值卻相差很大。

師：概括到人生上也一樣，每天只要進步一點，長久下來也會有大的進步，相反每天退步一點點，長久下來也會退步很多，提醒學生積跬步以致千里，積怠惰以致深淵。

設計意圖：從問題回歸問題，形成PBL教學模式下以學生為主，以問題為核心的特點，培養學生利用數學知識解決實際生活中的問題，并結合知識，講述在數字中的人生道理，也是一種數學文化與課程思政的體現，培養學生全面發展。

2.5.5 評價總結

在評價總結部分，采用學生與教師共同評價的方式，基于個人得分=自評評價（30%）+互相評價（20%）+小組評價（20%）+教師評價（30%）的評價權重準則，主要體現學生對于自我的認識以及小組成員和小組整體對于本次探究的貢獻程度和表現情況，綜合教師負責對于學生進行展示表述等表現的一個評價，對學生來說更為合理和公正，一來體現學生的能力，二來有這樣的評價標準也是不斷地促進學生積極參與小組和課堂探究，以免存在只有個別同學積極參與課堂的現象。

3 總結與反思

3.1 總結

PBL教學模式總的來說就是以學生為中心，將問題作為課堂中心，設計問題情景，教師圍繞著問題設計安排課程，使學生能夠融入到問題情境中，鼓勵學生能夠主動學習相關知識，然后解決問題，同時激發學生思考和提問，引導學生深入的理解問題的一種教學模式。函數是高中數學中十分重要的知識，并且是四條主線之一，可以說是貫穿整個高中數學的學習，對以后的大學學習都是重要的基礎。因此只使用傳統教學模式進行教學，以教師講授為主，學生往往不能深入的理解和學習，甚至會產生枯燥的情緒。這也與新課標的以學生發展為本，立德樹人，提升素養的基本理念是相違背的。所以，在傳統教學模式的基礎上結合PBL教學模式進行教學，不僅可以使學生學習具有更強的主動性和探索性，而且讓學生的學習根據有問題性和參與性，培養學生的學習興趣、思考和解決問題的能力，使得學生能夠全面發展。

3.2 反思

誠然沒有問題也就沒有數學，問題也是一直推進數學發展的重要源泉，但是在PBL教學模式下進行數學教學還是有很多需要再進一步思考的地方。如教師的問題的設置要考慮科學性和實際性，不能憑空設置與科學和認知不符合的問題情景;對于教學過程中的監管力度需要加大，保證每一位學生都能積極參與進來，否則課堂只是部分學生的個人展示;最后小組的分配以及組內的交流工作需要有整體的規劃，確保每個小組的水平能力相當，溝通暢快，這樣才能達到培養學生探究和溝通等能力。因此，PBL教學模式的選擇使用也不是適合所有課程內容和環境，教師需要根據各種條件和因素妥善安排和選擇，才能達到理想的教學效果。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 屈靖.PBL模式下的高中數學微課教學實踐研究[J].數學學習與研究，2021（26）：22-23.

[3] 曾澤群，謝曉霞.重過程突四基提素養——指數函數的圖象和性質教學設計與思考[J].中學數學，2021（09）：24-27.

[4] 李振濤，王淑玲.“指數函數”單元教學設計[J].中小學數學（高中版），2020（12）：14-18.

[5] 梁海花.“以問題為導向”教學法在中職數學教學中的應用——以指數函數教學為例[A].中國職協2014年度優秀科研成果獲獎論文集（上冊）[C].：中國職工教育和職業培訓協會秘書處，2014：6.

作者簡介：

王寅：（1998—），男，漢族，江蘇省淮安市人，現為寧夏師范學院數學與計算機科學學院碩士生。研究方向：數學教育。