關(guān)注數(shù)學(xué)理解，促運(yùn)算能力提升
——以《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》教學(xué)為例

○陳新濤

編者按：運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)該抓住知識本質(zhì)，以圖明理，借助數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生將所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)化，形成知識體系，深化數(shù)學(xué)理解。

運(yùn)算能力是學(xué)生必備能力之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是日常生活必需的基本技能。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“運(yùn)算能力”作為十大核心概念提出，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”也被數(shù)學(xué)教育界的專家們認(rèn)為是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面。

在小學(xué)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，分?jǐn)?shù)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算意義更是抽象難以理解。在分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算中，若想提高分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算能力，首先就要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確強(qiáng)調(diào)應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解運(yùn)算的原理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算結(jié)果，可見計(jì)算教學(xué)中的“理解算理”尤為重要。

然而，通過大量的課堂觀察可知，“分?jǐn)?shù)乘法的意義理解”在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中嚴(yán)重缺失，嚴(yán)重影響學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。具體缺失表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

（1）淺層次性。即理解比較膚淺，不夠深入。比如只通過例題進(jìn)行淺層次的學(xué)習(xí)遷移，而缺少對分?jǐn)?shù)乘法意義的深入理解。

（2）單一性。學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法的理解方式單一，認(rèn)為只要會計(jì)算就算掌握了，這也是為什么遇到稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問題就無從下手的原因。

（3）呆板性。學(xué)生對知識的理解缺乏靈動性，只會解決比較呆板的問題，對分?jǐn)?shù)乘法的認(rèn)知屬于片狀的零散理解。

“分?jǐn)?shù)乘法的意義理解”的重要性及其在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中的缺失狀態(tài)，要求教師在日常教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、理解水平幫助學(xué)生獲得運(yùn)算意義的理解，根據(jù)課標(biāo)要求和教材精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方式，以此喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)及生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在輕松愉悅中主動建構(gòu)自己對于分?jǐn)?shù)乘法意義的理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的提升。

一、以圖明理，初步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要以直觀形象為主，對于一些較難理解的數(shù)學(xué)問題，教師可以借助直觀模型、動手操作或者畫圖等便于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。

教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課，筆者有意識地借助“圖”豐富“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的原型，從而幫助學(xué)生初步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。為此設(shè)計(jì)了如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：

任務(wù)1：解決問題

張師傅準(zhǔn)備在一塊長方形空地上種各種蔬菜。他打算拿這塊空地的種西紅柿，后來覺得西紅柿種得太多了，想從中拿出種黃瓜，黃瓜占這塊空地的幾分之幾？

這是一道常規(guī)的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的問題，學(xué)生根據(jù)乘法意義不難列出乘法算式，列出的乘法算式表示的就是的是多少。事實(shí)上，乘法的意義除了表示求幾個(gè)相同加數(shù)的和，還可以求表示一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的問題。顯然選擇這個(gè)情境能夠讓學(xué)生感受到求的是多少相當(dāng)于求的倍的問題，只是通常情況下我們習(xí)慣把“倍”去掉，但依然符合乘法的意義，學(xué)生有了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)后，自然會遷移到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)中來。

這里選擇給學(xué)生提供一個(gè)長方形圖，其目的是為了給學(xué)生搭建一個(gè)學(xué)習(xí)的扶梯，尤其是給需要幫助的學(xué)生提供一個(gè)腳手架，促使他們能夠獨(dú)立解決問題。學(xué)生可以在已有的長方形圖上進(jìn)行分析，在畫圖的過程中再次明晰分?jǐn)?shù)乘法的含義，感受分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算意義。同時(shí)，長方形圖還能啟發(fā)學(xué)生遇到問題時(shí)可以借助“圖”來幫助分析和理解問題，這不僅是對問題解決能力的提升，更是對學(xué)習(xí)方法和策略的點(diǎn)撥和提煉。

教材中所提供的情境以及各種各樣的學(xué)具都能夠較好地促進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算意義的理解。此外，教師還要幫助學(xué)生積累豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。比如，在加、減、乘、除四則運(yùn)算的教學(xué)過程中，加法可以作為合并、增加、繼續(xù)數(shù)等模型；減法可以作為剩余、減少、往回?cái)?shù)等模型；乘法可以作為相同加數(shù)的和、面積計(jì)算、倍數(shù)等模型；除法可以作為平均分、比率等模型。教師可以幫助學(xué)生積累豐富的原型，以“圖”明理，建構(gòu)對四則運(yùn)算的理解。

二、幾何直觀，實(shí)現(xiàn)“理”“法”共進(jìn)

幾何直觀，是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對研究對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。借助幾何直觀說理，可以為課堂提供豐富直觀的資源。教學(xué)中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，緊扣知識本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生主動溝通算理和算法。只有明晰了算理，才能融會貫通、靈活運(yùn)用算法。

六年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)加減法、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教師要充分相信學(xué)生，給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓他們自主研究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理和算法。

教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課，筆者設(shè)計(jì)了如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：

任務(wù)2：看圖寫算式并嘗試寫出結(jié)果。

這個(gè)任務(wù)看上去只是簡單的看圖寫算式，實(shí)際上是為了促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)模型的主動建構(gòu)。學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法的認(rèn)知呈現(xiàn)呆板性，缺乏靈活性，主要原因在于沒有實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)理解。因此在學(xué)生看圖列出分?jǐn)?shù)乘法算式后，教師要引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表達(dá)對乘法算式的理解，看圖對乘法運(yùn)算意義的本質(zhì)進(jìn)行解釋和描述。有了幾何直觀的支撐，學(xué)生不僅能說出運(yùn)算的結(jié)果，而且還能清楚地知道結(jié)果是怎樣得出來的。

需要說明的是，這里設(shè)計(jì)的線段圖不是抽象剝離出具體的情境，而是純數(shù)學(xué)意義上對分?jǐn)?shù)乘法的一種表征。學(xué)生列出算式后會在頭腦中留下這幅線段圖的樣子，進(jìn)而對這道乘法算式有了深刻的理解，在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上循“理”入“法”。

在組織匯報(bào)環(huán)節(jié)，教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的研究回答兩個(gè)問題：為什么用分母乘分母相乘的積作分母？為什么用分子與分子相乘的積作分子？學(xué)生自然會借線段圖來說理，在說理的過程中，學(xué)生會將線段圖進(jìn)行擴(kuò)充，找到積的分母的原型，最終理解為什么要用3×5算出15作為積的分母。這是很多教師容易忽視的地方，也恰恰是幫助學(xué)生真正理解算理的重要環(huán)節(jié)。

曹培英先生曾指出：算法和算理是構(gòu)成運(yùn)算教學(xué)的雙翼。運(yùn)算能力的培養(yǎng)是以理解算理為基礎(chǔ)，而不是僅僅掌握算法進(jìn)行正確地計(jì)算。運(yùn)算能力的發(fā)展需要在理解的基礎(chǔ)上巧思活用，而不是依靠機(jī)械的重復(fù)訓(xùn)練達(dá)到一定的熟練程度。因此在計(jì)算教學(xué)中，應(yīng)該將二者有機(jī)結(jié)合，在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算法、掌握算法。借助幾何直觀幫助學(xué)生直觀理解算理從而發(fā)現(xiàn)算法，目的就是將“算理”和“算法”進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)“理”“法”共進(jìn)。

三、數(shù)形結(jié)合，理解運(yùn)算的意義

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解應(yīng)該是對直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)的加工，當(dāng)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí)一定經(jīng)歷了概念抽象，或者相關(guān)定義、法則概括及其他新知構(gòu)建的過程，這個(gè)構(gòu)建過程就是學(xué)生對于原有經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)加工的整合。因此，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解及理解程度，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。數(shù)形結(jié)合可以通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方法，將復(fù)雜問題簡單化，將抽象問題具體化。

在《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：

任務(wù)3：畫圖并探索出結(jié)果。

這樣的設(shè)計(jì)看上去只是簡單的一道計(jì)算題，但要求畫圖探索出結(jié)果，就明確讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想理解運(yùn)算的意義，從而探索出運(yùn)算結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了充分的探究過程，用不同的表征方式展開個(gè)性化的研究，當(dāng)他們體會到數(shù)形結(jié)合對理解分?jǐn)?shù)乘法的意義和價(jià)值后，在解決問題時(shí)就會多一條思路，不會局限在某種固定的思維中，而是靈活選擇學(xué)過的知識解決問題，逐漸學(xué)會觸類旁通、融會貫通。

從學(xué)生呈現(xiàn)出的豐富多樣的作品中可以看出，不同層次的學(xué)生均有了不同水平的表達(dá)，這正好凸顯了學(xué)生個(gè)性化的理解。從學(xué)生作品中能關(guān)注到每一名學(xué)生的學(xué)習(xí)動態(tài)，是對“因材施教”的呼應(yīng)，也是對“學(xué)科育人”的響應(yīng)和落實(shí)。

四、整體架構(gòu)，形成知識體系

美國教育家布魯納曾說：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)。因此，教師在備課時(shí)，要主動幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，不僅有前后知識的關(guān)聯(lián)，還有新舊知識之間的溝通。

就本節(jié)課而言，教師不僅要幫助學(xué)生打通新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，還要幫助學(xué)生認(rèn)識各種不同的運(yùn)算之間存在的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識不同形式的運(yùn)算之間的相同之處，以便學(xué)生掌握“算理”和“算法”，從整體上理解分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的意義。

在《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了這樣一道題：

這是一道簡單的問題，背后卻隱藏著教師設(shè)計(jì)的智慧。選擇需要基于理解，而說理更是需要深度理解的支撐。在學(xué)生解決完問題后，教師并沒有到此結(jié)束，而是順勢追問：仔細(xì)觀察這兩幅圖有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？這個(gè)問題再次引導(dǎo)學(xué)生將目光聚焦到兩幅圖中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、對比和分析的學(xué)習(xí)過程，感受到雖然這兩幅圖兩次涂色的過程不同，但是最后涂色的結(jié)果都是一樣的，從而讓學(xué)生感受到的動態(tài)形成過程，既可以表示的是多少，也可以表示是多少。這是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)中另一個(gè)難以理解的點(diǎn)，借助圖可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解，最關(guān)鍵的是在一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)中讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)乘法的完整意義。

我們都知道，學(xué)生的學(xué)習(xí)倘若一直是固定的模式，會對知識整體結(jié)構(gòu)造成定式甚至?xí)碡?fù)面的影響。上面的教學(xué)設(shè)計(jì)，將“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”置于“乘法”的知識框架之中，引導(dǎo)學(xué)生借助圖尋找乘法計(jì)算的共性，幫助學(xué)生初步體會無論是的還是，都可以用乘法算式來表達(dá)，同樣的道理，算式也是如此，它們都表示求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境下理解分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算的本質(zhì)，將分?jǐn)?shù)乘法這部分知識結(jié)構(gòu)化，從而真正促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”的深度發(fā)生。

總之，核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，不僅僅是為了提高學(xué)生的運(yùn)算速度和正確率，更重要的是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法，將數(shù)學(xué)運(yùn)算的知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化。唯有這樣才能逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，它的發(fā)展不是一朝一夕、一蹴而就的，需要教師把握知識本質(zhì)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)任務(wù)，關(guān)注數(shù)學(xué)理解，從而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提升。

資料存盤

1.《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出：

理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義，掌握必要的運(yùn)算技能；能進(jìn)行簡單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）；能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性；經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性。

2.我國古代的分?jǐn)?shù)乘法。

在《九章算術(shù)》的第一卷“方田章”中，有關(guān)于約分、通分、分?jǐn)?shù)加減法、分?jǐn)?shù)乘除法、分?jǐn)?shù)的大小比較、求分?jǐn)?shù)的平均數(shù)等分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則的記載。“方田”是講田畝面積的計(jì)算，其中關(guān)于分?jǐn)?shù)的乘法法則稱為“乘分術(shù)”，是這樣描述的：“乘分術(shù)曰：母相乘為法，子相乘為實(shí)，實(shí)如法而一。”這里的“實(shí)”是指分子，“法”是指分母，“實(shí)如法而一”就是用法去除實(shí)，進(jìn)行除法運(yùn)算。而且，《九章算術(shù)》還注意到了運(yùn)算結(jié)果，如“不滿法者，以法命之”，就是說，分子小于分母時(shí)便以分?jǐn)?shù)形式保留。