以導(dǎo)數(shù)為“工具”解答函數(shù)問題

常麗

導(dǎo)數(shù)是解答函數(shù)問題的重要工具，尤其在解答一些含有高次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式的復(fù)雜函數(shù)問題時(shí)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可使問題順利獲解.下面重點(diǎn)談一談如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解答兩類函數(shù)問題.

一、求函數(shù)的最值

在求函數(shù)的最值時(shí)，我們經(jīng)常要用到導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系：若f′x>0，x ∈a，b，則函數(shù) f x在a，b上單調(diào)遞增;若f′x<0，x ∈a，b，則函數(shù) f x在a，b上單調(diào)遞減，以及極值的定義.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)最值的步驟如下：第一步，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到f′x;第二步，令f′x=0，解得 x 的值 x0;第三步，討論 x0的左右兩側(cè)的f′x的符號(hào)，確定函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.若函數(shù) f x在 x0兩側(cè)的單調(diào)性為“左增右減”，則 x0為函數(shù) f x的極大值點(diǎn)，若函數(shù) f x在 x0兩側(cè)的單調(diào)性為“左減右增”，則 x0為函數(shù) f x的極小值點(diǎn).再將極值與函數(shù)定義域上的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，即可求得函數(shù)的最值.

例1.

解：

本題采用常規(guī)的方法求解較為困難，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值的定義可使問題順利獲解.在求極值時(shí)，用表格的形式呈現(xiàn)自變量、導(dǎo)函數(shù)、極值之間的變化情況，有助于快速找到極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn).

二、證明函數(shù)不等式

證明函數(shù)不等式問題在函數(shù)問題中比較常見.在???&nbsp;? 解題時(shí)，可從函數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造出新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ f ”，得到新不等式，通過解不等式來證明不等式成立.或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為最值問題，若證明 f（x）>g（x）（x ∈D），則令 F（x）=f（x）-g（x）， x ∈D，只需證明 F（x）min >0（x ∈D）;若證明 f（x）<g（x）（x ∈D），則令 F（x）=f（x）-g（x）， x ∈D ，只需證明 F（x）min <0（x ∈D）.

例2.設(shè)函數(shù) f（x）=ax2-a -lnx，其中 a ∈ R .（1）討

論 f（x）的單調(diào)性;（2）證明當(dāng) a∈ ?（é），+∞?（?）時(shí)，f（x）> -e1-x 在（1，+∞）上恒成立.

證明：

我們將不等式變形，構(gòu)造出函數(shù) g（x）、 h（x），將問題轉(zhuǎn)化為求 h（x）=f（x）-g（x）的最值問題.利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù) h（x）、f（x）、 g（x）的單調(diào)性，求得 h（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值，進(jìn)而證明不等式成立.

總之，在解答函數(shù)問題受阻時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問題與導(dǎo)數(shù)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，如將函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系關(guān)聯(lián)、將最值與極值關(guān)聯(lián)，這樣便能借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)輕松地破解難題.

（作者單位：安徽省阜陽市紅旗中學(xué)）