合理引入待定系數(shù)，快速求得數(shù)列的通項(xiàng)公式

由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題通常較為復(fù)雜.要想順利求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，需將遞推式進(jìn)行合理的變形，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等差、等比、常數(shù)列或易于求解的數(shù)列通項(xiàng)公式問題.待定系數(shù)法是解答此類問題的有效方法之一.運(yùn)用待定系數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需根據(jù)遞推式的結(jié)構(gòu)特征引入恰當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)，設(shè)出與遞推式結(jié)構(gòu)類似的式子，然后將其變形，通過對比系數(shù)建立關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，求得待定系數(shù)的值，便能將遞推式轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而構(gòu)造出等差、等比、常數(shù)列，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，即可順利求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1.已知數(shù)列an中，a1= 1， an+1 =3an +5 ?2n +4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：

由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法.可先根據(jù)遞推式確定an 的系數(shù) A，然后引入待定系數(shù)x、 y，設(shè)遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y =Aan +x ?qn +y，再將該式變形，使系數(shù)對應(yīng)相等，構(gòu)建關(guān)于x、 y 的方程組，通過解方程組求得x、 y 的值，就可構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.對于本題，我們可引入待定系數(shù)α、β，構(gòu)造出等比數(shù)列an +5×2n +2.

例2.已知數(shù)列an滿足 a1= 8， an+1 =3an +3n+1 +2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：

因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=n +2?3n - 1.

對于形如 an+1 =Aan +B ?An +1 + C 的遞推式，可運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在確定 A 的值后，需引入待定系數(shù) x，設(shè)? =? +mm為常數(shù)，將其整理為與遞推式的結(jié)構(gòu)一致的式子，比較其系數(shù)即可建立關(guān)于x 的方程，求得x 的值，就能構(gòu)造出新就能順利求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3.在數(shù)列an中， a1= 8， an+1 =2an +4× 3n+1 +2n +1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：令 an +1 +α ?3n +1 +βn +1+γ =2（an + α?3n +βn +γ），整理得： an +1 =2an - α?3n +βn +γ -β，

則α =-4，β= 2，γ= 3，

所以an +1 -4× 3n +1 +2n +1+3 =2（an -4× 3n +2n+3），

則數(shù)列an -4×3n +2n +3為首項(xiàng)為1，公比為2 的等比數(shù)列，因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an =4× 3n + 2n -1 -2n -3 .

運(yùn)用待定系數(shù)法由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往需引入系數(shù) x、 y、γ ，并設(shè)遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y n +1+γ =Aan +x ?qn +yn +γ，然后根據(jù)遞推式建立關(guān)于系數(shù) x、 y、γ 的方程組，求得x、 y、γ 的值，構(gòu)造出等比數(shù)列an +x ?qn +yn +γ，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

除了上述三種類型的遞推式，對于形如 an +2=? Aan+1 +Ban 、an+1 =Aan +B ?An +1 + Cn +D 的遞推式，也可采用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在引入待定系數(shù)時(shí)，要先仔細(xì)觀察遞推式的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)出能構(gòu)造出常規(guī)數(shù)列的式子，同時(shí)要引入盡量少的待定系數(shù)，這樣能減少運(yùn)算量.

（作者單位：甘肅省隴南市成縣第一中學(xué)）