求三角函數(shù)周期的三種途徑

王小梅

三角函數(shù)的性質(zhì)較多，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等.求三角函數(shù)的周期性問題常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，側(cè)重于考查函數(shù)周期的定義、三角函數(shù)的周期公式以及三角函數(shù)的圖象.對于不同的三角函數(shù)式，求周期的方法并不相同.下面，結(jié)合例題談一談求三角函數(shù)周期的三種途徑.

一、利用定義法

定義法是運(yùn)用函數(shù)周期的定義來解題的方法.對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 f（x + T）=f（x），那么函數(shù)fx叫做周期函數(shù)，其中 T 為函數(shù)fx的周期.一般情況下，函數(shù)的周期有多個，我們?nèi)∽钚〉恼龜?shù)作為函數(shù)的周期.在求三角函數(shù)的周期時，可直接將函數(shù)式進(jìn)行變形，通過恒等變換得到 f（x + T）=f（x），便可求得函數(shù)的周期.

例1.求函數(shù) y =3 sin（ x+ ）的周期.

解：

所以函數(shù) y =3 sin（ x+）的周期 T =3π.

對于較為簡單的三角函數(shù)，可以直接根據(jù)函數(shù)周期的定義來解題，該方法簡單便捷.在變形函數(shù)式的過程中，要明確變形的方向以及基本三角函數(shù)的周期性.

二、采用最小公倍數(shù)法

對于形如 f（x）=f1（x）+f2（x）的三角函數(shù)式，通常采用最小公倍數(shù)法.首先要分別求出兩個三角函數(shù) f1（x）和f2（x）的周期，然后再找出這兩個周期的最小公倍數(shù)，就能求得原函數(shù)的周期.

例2.已知函數(shù) f（x）= sin 3x + cos5x，求此函數(shù)的周期.

解：

所以函數(shù)f（x）= sin 3x+ cos5x 的周期為2π.

觀察目標(biāo)函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)式是 y = sin 3x、 y = cos5x 兩個函數(shù)的和，于是利用最小公倍數(shù)法求解. 分別求出兩個函數(shù) y = sin 3x、 y = cos5x 的周期，再尋找兩個周期的最小公倍數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)的周期……