“多法并用”，解答平面向量最值問題

羅雪峰

最值問題在平面向量中比較常見，這類問題的綜合性一般較強(qiáng)，且難度系數(shù)較大，對同學(xué)們的運(yùn)算能力和綜合分析能力的要求較高.筆者從不同角度對一道平面向量最值問題的解法進(jìn)行了探討，下面談一談個(gè)人的一些見解.

題目：設(shè)e1，? e2為單位向量，其夾角為 60°.若

方法一：利用函數(shù)的性質(zhì)

在求解平面向量最值問題時(shí)，我們經(jīng)常要用到函數(shù)的性質(zhì).需首先根據(jù)題意，運(yùn)用平面向量知識，如模的公式、數(shù)量積公式、數(shù)乘運(yùn)算等求得目標(biāo)式，再根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)模型，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、最值等來解題.

解法一：因?yàn)?=x e1+y e2，

我們先運(yùn)用平面向量的模的公式求得的模的平方，再將其看作函數(shù)式，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，通過配方將二次函數(shù)式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得 t 的最值.

解法二：以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以e2的方向?yàn)?x 軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則

通過建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得 t 的表達(dá)式后，將其看作二次函數(shù)式，就能利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

方法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在求解平面向量最值問題時(shí)，也可根據(jù)題意引入有關(guān)角度的參數(shù)，或通過三角代換，將問題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)最值問題，利用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性、最值來解題.

解：設(shè)單位向量e3 與向量e2垂直， e1與 e3之間所成的夾角為θ，

我們構(gòu)造出與向量 e2垂直的單位向量 e3，引入?yún)?shù)θ，運(yùn)用平面向量的數(shù)乘運(yùn)算法則……