由一道雙變量最值問題引發的思考

於子涵

雙變量最值問題經常出現在函數、不等式、解析幾何等問題中，此類問題一般給出的條件較少，且較為簡單，要求得目標式的最值，需從目標式入手，對其進行合理的變形、轉化，才能順利求得最值.筆者對一道雙變量最值問題的解法進行了探究，歸納了三種解答雙變量最值問題的思路，以供參考.

例題：已知x，y ≥0，x +y =1，求 x2+y2的最值.

仔細分析題意可知，已知條件只是限定了x、 y 的取值范圍，要求得x2+y2的最值，我們需從x +y =1和目標式入手，可通過消元、三角換元、構造幾何圖形等方法，將問題轉化為二次函數、三角函數、平面幾何問題來求解.

方法一：利用函數的性質

對于二元最值問題，通?？赏ㄟ^消元將問題轉化為單變量最值問題.通過構造二次函數，利用二次函數的圖象和性質來求得最值.對于本題，我們可根據 x +y =1將 y 消去，把目標式轉化為關于 x 的二次函數式，利用二次函數的單調性和有界性來求最值.

解：由 x +y =1得 y =1 -x ，

則 x2+y2=x2+1-x2= 2è（?）x - ?（?）2+? ，

當 x∈0， ??（ù）時，函數單調遞減，當 x∈ ?（é），1 時，

函數單調遞增，

因此函數在x = 時取得最小值，在x =0或x =1時取得最大值，

所以當x = 時，x2+y2的最小值為;

當 x =0或 x =1時，x2+y2的最大值為1.

方法二：數形結合

代數式的背后一般都蘊含著幾何意義.在求解雙變量最值問題時，我們可深入挖掘代數式的幾何意義，繪制相應的幾何圖形，通過分析幾何圖形中點、直線、曲線的位置關系以及幾何圖形的性質，找到使目標式成立的臨界情形，即可求得最值.

解：

通過構造幾何圖形，便將問題轉化為解析幾何問題……