解答二面角問題的兩種路徑

顏廷美

從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地，二面角的大小可用其平面角的大小來表示.因此，解答二面角問題的關鍵在于找到二面角的平面角，求得該平面角的大小.下面介紹兩種求解二面角問題的路徑.

一、運用向量法

有些問題中二面角的平面角不易找到或求得，此時，我們可根據幾何圖形的特點、位置建立合適的空間直角坐標系，求得二面角的兩個半平面的法向量，根據向量的夾角公式求得兩個法向量的夾角的余弦值，即可求得二面角的大小.一般地，二面角與兩個法向量的夾角或補角相等.

例1.如圖1，已知在四面體C -ABO 中，OC⊥ OA，OC⊥ OB，∠AOB =120°，且 OA =OB = OC =2 ，D是AC 的中點，點E在AB 上，AB =3AE，求二面角O -AC -B 的余弦值.

解：如圖1，取 AO ， BE 的中點F ， M ，連接 EF ， OM .則 OM∥EF ，OM =2EF =2.在△AOB 中，∠AOB=120°，OA = OB =2? ，則 AB2=???? 圖 1OA2+ OB2- 2OA ·OBcos∠AOB =36， 所以 AB =6.因為AB =3AE，所以 AE =2，又因為 EF2=AE2+AF2-2AE ·AFcos∠OAB =22+（）2-2×2×? × =1，所以EF =1，所以AE2=EF2+AF2，即EF⊥AO ，因為OC⊥ OA ，OC⊥ OB ，OA ? OB = O ，所以 OC⊥平面AOB ，因為EF?平面AOB，所以 OC⊥EF .又因為 EF⊥AO，OC⊥EF ，AO ? OC = O ，所以 EF⊥平面AOC ，即 OM⊥平面AOC .以OA，OM，OC 為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則 O（0，0，0），A（2 ?，0，0），B（- ?，3，0），C（0，0，2 ）.所以O A =（2 ?，0，0），A C =（-2 ?，0，2 ），B C =（ ?，-3，2 ）.記平面ABC 的法向量為 n =（x，y，z），則n ⊥ A C ， n ⊥ B C ，所以取 x = 1，則，所以 同理求得平面 AOC 的法向量 e =（0，2，0），所以 cos < n， e >= n·e |n||e| = 155 ，所以二面角的余弦值為.

解答本題的關鍵在于建立合適的空間直角坐標系，將問題轉化為向量問題來求解.建立空間直角坐標系的原則是確保三條坐標軸兩兩相互垂直，并交于一點.在本題中，我們需添加輔助線，根據勾股定理、余弦定理、線面垂直的判定定理證明 OC ⊥ OA 、OB ⊥面AOC ，才能以 OA，OM，OC 為x，y，z軸建立……