例談數列通項公式的幾種求法

王寶華

求數列的通項公式問題經常出現在各類試題中，側重于考查等差、等比數列的通項公式、前 n 項和公式以及性質.此類問題通常會要求根據已知的遞推式求數列的通項公式，解題的關鍵在于合理變形遞推式，將其轉化為易于計算的式子.下面介紹幾種數列通項公式的求法.

一、累乘法

累乘法是求數列通項公式的常用方法.這種方法適用于解答遞推式形如：an +1 =f（n）an的數列通項公式問題.解題的一般步驟是：由 =f n得= ?f 1， =f 2，…，=f n，再將這些式子的左右兩邊累乘，約掉中間的部分項，就能得到= f k，從而求得數列的通項公式.

例1.設{an}是首項為1的正項數列，且n +1a +1 -na +anan+1=0 ，求該數列的通項公式.

解：

二、待定系數法

對于形如an+1 = can + d 的遞推式，通?？刹捎么ㄏ禂捣ㄇ髷盗械耐椆?在解題時需引入待定系數 λ，使an +1+λ = c（an +λ），再通過對比 an+1、an的系數，即可求得 λ 的值，從而構造出等比數列的答案.

例2.已知數列{an}中，a1= 1，an=2an?1+ 1（n ≥2） ，求數列{an}的通項公式.

解：因為 an=2an -1+1（n ≥2），

設 an +λ=2an -1+λ，解得λ=1，

所以an +1=2（an -1+1），

又因為a1+1= 2，所以{an +1}是首項為2，公比為2的等比數列，

所以 an +1=2n，即 an =2n -1 .

該遞推式形如an+1 = can + d，可引入待定系數λ，以構造出首項為2、公比為2的等比數列{an +1}.

三、倒數變換法

倒數變換法是通過取倒數，對遞推式進行變換來求得數列通項公式的方法.該方法適用于由分式遞推式求數列的通項公式.一般來說，這種遞推式主要有以下兩種類型：

1.形如an -1 - an=pan -1an （ p 為常數且 p≠0 ）的遞推式.在求其通項公式時，要在遞推式的兩邊同除以an -1an，將其轉化為= ?+p 的形式，將問題轉化為an +1 =pan + q 型遞推式的通項公式問題，求出的表達式……