解答解三角形問(wèn)題的三個(gè)常用辦法

彭姚鮮

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)高考的必考內(nèi)容.解三角形問(wèn)題側(cè)重于考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.下面，結(jié)合例題，探討一下解答解三角形問(wèn)題的三種常用辦法.

一、利用正余弦定理

正余弦定理適用于求解大部分解三角形問(wèn)題.在解題時(shí)，需首先根據(jù)題意和幾何圖形理清三角形的三邊、三角及其關(guān)系，然后運(yùn)用正余弦定理求解.一般地，正弦定理適用于解答已知角較多的問(wèn)題，余弦定理適用于解答已知邊較多的問(wèn)題.

例1.如圖1，甲船以每小時(shí) 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于 A1 處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105° 方向的B1 處，此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá) A2 處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120° 方向的B2 處，此時(shí)兩船相距 10 2 海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？

解：連接 A1B2 ，A2B2 .由 A2B2 = 10 2 ，A1A2 = 30 2 × 2060 = 10 2 ，得 A1A2 = A2B1 ，又因?yàn)椤螦1A2B2 = 180° - 120° = 60° ，所以△A1A2B1 是等邊三角形，所以 A1B2 = A1A2 = 10 2 .而 A1B1 - 20 ，∠B1A1B2 = 105° - 60° = 45° ，

所以在△A1A2B1 中，由余弦定理可得 B1B22 = A1B12 + A1B22 - 2A1B2?A1B2? cos 45° = 200，所以 B1B2 = 10 2 ，因此乙船的速度大小為 10202 × 60 = 30 2 （海里/小時(shí)） .

解答本題，需先結(jié)合圖形明確甲、乙兩船所在的方位，然后添加輔助線，構(gòu)造△A1A2B1 ，求得各個(gè)角、邊的大小，再在△A1A2B1 中運(yùn)用余弦定理求得 B1B2的長(zhǎng)，這樣便可求得乙船的速度.

二、采用向量法

三角形與向量的關(guān)系緊密.在解答解三角問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)三角形法則構(gòu)造出向量，求得目標(biāo)向量的大小，就能通過(guò)向量運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.運(yùn)用向量法解題，能巧妙地避開(kāi)一些繁瑣的運(yùn)算，有助于提升解題的效率.

例 2. 已知在△ABC 中， AB = 4 63 ，cosB = 66 ，AC 邊上的……