合理運用導數的相關知識，快速解答函數問題

李桂君

導數的相關知識是解答函數問題的重要工具，尤其在解答較為復雜的函數問題，如含有指數、對數、高次式的函數問題時，運用導數的相關知識來求解，能起到化難為易、化繁為簡的效果.下面結合實例談一談導數的相關知識在解答函數問題中的應用.

一、求函數圖象上某點處切線的方程我們知道，導數的幾何意義：函數 y = f （x） 在點 x0處的導數即為曲線 y = f （x） 在點 P（x0，f （x0）） 處切線的斜率.在求函數圖象上某點處切線的方程時，我們可根據導數的幾何意義求得函數圖象上某點處切線的斜率，再將函數圖象上一點的坐標代入直線方程的斜截式中，便可求得切線的方程.

例 1.函數 y = x3 - 3x2 - 1 經過點 （1，-3） ，求該點處切線的方程.

分析：我們可以根據導數的幾何意義先求出函數圖象在 （1，-3） 點處的切線的斜率，再利用直線方程的斜截式便可求得切線的方程.

解：對 y = x3 - 3x2 - 1求導可得：y′ = 3x2 - 6x，

又因為切線經過點 （1，-3） ，

因此當 x = 1時，y′ = -3 ，即切線的斜率 k = -3 ，

因此切線的方程為 y + 3 = -3（x - 1） ，即 y = -3x .

二、求函數的單調區間

函數 f （x） 在某個區間 （a，b） 內的單調性與導函數f ′（x） 的關系：（1）若 f ′（x）> 0 ，則 f （x） 在這個區間上遞增;（2）若 f ′（x）< 0 ，則 f （x） 在這個區間上遞減;（3）若 f ′（x）=0 ，則 f （x） 在這個區間內是常數.我們可根據函數在某個區間內的單調性與導函數之間的關系，即由導函數與0之間的關系，求得函數的單調區間.

例2.已知函數 y = x3 - 3x2 - 1，求函數的單調區間.

分析：要求函數的單調區間，只需求得導函數y′ > 0 、y′ < 0 時 x 的取值范圍即可.

解：對 y = x3 - 3x2 - 1求導可得：y′ = 3x2 - 6x ，由 y′ = 3x2 - 6x > 0 可得 3x2 - 6x > 0 ，解得：x < 0 或 x > 2 ，由 y′ = 3x2 - 6x < 0 可得 3x2 - 6x < 0 ，解得 0 < x < 2，

綜上可知，函數 y = x3 - 3x3 - 1 的單調遞增區間是……