求幾何體外接球半徑的幾個方法

肖進華

若一個幾何體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個幾何體是這個球的內接多面體，這個球是這個幾何體的外接球.求幾何體外接球的半徑問題在立體幾何中比較常見，側重于考查簡單空間幾何體的性質、球的表面積與性質.此類問題對同學們的空間想象能力和計算能力有著較高的要求.本文重點介紹三種求幾何體外接球半徑的方法.

一、補形

對于一些不規則的幾何體，在求其外接球的半徑時，可采用補形法來求解.首先根據幾何體的結構特征，將其補成規則的幾何體，如長方體、正方體、正棱錐、圓柱等，然后根據這些簡單幾何體的特點和性質，找到其中心的位置，便可確定球的球心，再根據勾股定理、正余弦定理求得半徑的長.

例1.

解：

將其補成長方體，根據長方體的對稱性可知其外接球的球心為長方體的中心，而長方體的體對角線為球的直徑，求得長方體對角線 BC1的長，即可求得球的半徑.

二、運用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.在求球的半徑時，可根據幾何體的特點構造直角三角形，確定球心的位置，只要在直角三角形中找到斜邊，以及斜邊在直角邊上的射影，便可建立關系式，求得半徑的大小.

例2.

解：

在 SO′上，如圖2，延長 SO′交球面于點Q ，則 SQ 為球的直徑.

由于 AB =2，∠ACB =120°，

所以根據正弦定理得，

所以，

△SAQ 為直……