例析三類抽象函數問題的解法

華錦梅

抽象函數沒有具體的解析式，因而抽象函數問題難度較大，很多同學在解題時經常不知該如何下手.下面結合實例來談一談三類常見的抽象函數問題的解法.

一、求抽象函數的定義域

對于抽象函數定義域問題，我們通常采用換元法來求解.在解題時，需根據函數 f（x）中括號內的式子具有等價性來進行換元，將括號內的式子用一個新的變量來代替，根據函數的定義域建立關系式，便可求得新變量的取值范圍，進而求得所求函數的定義域.

例1.已知函數 y =f（3x -1）的定義域為[-1，3]，那么函數 y =f（x +1）的定義域為（）.

A.[-1，3] ?B.[-2，2]?? C.[-5，7]?? D.[-3，9]

解：因為 y =f（3x -1）的定義域為[-1，3]，所以-1≤ x ≤3，

那么-3≤3x ≤9，即-4≤3x -1≤8，

令 t =3x -1，所以 f（t）的定義域為[-4，8]，再令 t =x +1，則-4≤x +1≤8，

解得-5≤ x ≤7，

因此函數 y =f（x +1）的定義域[-5，7]，本題的正確選項為C.

在求 f（g（x））的定義域時，同學們需明確 f（g（x））中的 g（x）與 f（x）中的 x 是等價的，若 f（x）的定義域為[a，b]，則 g（x）的值域為[a，b].

二、求抽象函數的值域

求抽象函數的值域問題綜合性較強.在解題時，需首先明確函數的定義域、單調性、周期性、對稱性等，然后在一個周期的單調區間內討論函數的最大值、最小值，從而求得函數的值域.對于復合函數，需遵循“同增異減”的原則來求解.

例2.若函數 y =f（x）的值域為[0，3），且函數在R 上為增函數，則函數 y = 的值域為（）.

A.[1， ]? B.[1， ）? ?C.[1， ]? ?D.[1， ）

解：令t =f（x），則 t ∈[0，3），

則 y = = ?，t ∈[0，3），

由 y = 可知函數在[0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，

而函數 y =f（x）在 R 上為增函數，

所以原函數在[0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，

所以當 t =1時，y = 取最小值1，又因為當 t =3時，y = ，

因此函數 y = 的值域為[1， ） .

該函數式較為復雜，我們需令 t =f（x），通過換元，將函數式拆分為兩個簡單函數，再分別……