“雙減”背景下初中數(shù)學學科育人的“三階”實踐路徑
—— 以“豐富的圖形世界”數(shù)學實驗教學為例

孫朝仁， 朱桂鳳

(1.蘇州市教育科學研究院， 江蘇 蘇州 215004；2.連云港市鳳凰學校， 江蘇 連云港 222003)

針對義務教育階段課業(yè)負擔太重這一突出問題，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》(以下簡稱《“雙減”意見》)。《“雙減”意見》指出，“要提升課堂教學質(zhì)量，教育部門要指導學校健全教學管理規(guī)程，優(yōu)化教學方式，強化教學管理，提升學生在校學習效率”。要減輕學生負擔，根本之策在于全面提高學校教學質(zhì)量，做到應教盡教，強化學校教育的主陣地，使學生回歸校園、回歸課堂。換言之，“雙減”的背后意蘊是“提質(zhì)增效”，需要走出一條學科育人的有效路徑。

本文以《豐富的圖形世界》(蘇科版《數(shù)學》七年級上冊)一課的教學實踐為例，以數(shù)學實驗活動為載體，闡述如何用“雙減”的視野教知識、用“雙減”的思想教方法、用“雙減”的教學行為教人成長，以此構(gòu)建初中數(shù)學學科育人的“三階”實踐路徑。

一、第一階：雙情境抽象，通過思維減負揭示數(shù)學世界與外部世界的一致性

抽象是數(shù)學的三大能力之一，是從數(shù)學現(xiàn)象中揭示出數(shù)學本質(zhì)的唯一路徑。雙情境抽象包括數(shù)學內(nèi)部關(guān)系的抽象和數(shù)學外部關(guān)系的抽象。其中，數(shù)學外部關(guān)系抽象旨在建立數(shù)學與生活關(guān)系的抽象，是用數(shù)學的思維方式刻畫現(xiàn)實世界的一種模型意識。比如，在數(shù)學世界里，為了研究點、線、面的需要，我們往往會把一個廣場或交叉路口抽象為一個點，甚至把一塊陸地抽象為一個點，而把筆直寬廣的城市大道抽象為一條直線，把平靜的湖面、水面抽象為一個平面等，這樣用數(shù)學的眼光觀察、刻畫、表征生活世界的表象行為，就是常見的外部數(shù)學關(guān)系抽象。內(nèi)部關(guān)系抽象指向數(shù)學到數(shù)學關(guān)系的抽象，是建立數(shù)學知識關(guān)系的一種結(jié)構(gòu)化行為，是學生“會一題、通一類、連一片”繞不開的路徑。比如，選擇恰當?shù)姆诸悩藴蕦ΤＲ姷膸缀误w進行分類就是數(shù)學內(nèi)部關(guān)系抽象的一種具體表現(xiàn)。再如，用兩塊全等的直角三角板拼圖，這一分類拼圖(分別用長直角邊、短直角邊、斜邊疊合)的過程也是對數(shù)學內(nèi)部關(guān)系的二次抽象；將正方體的展開圖歸納為“一四一型(9種)、二三一型(3種)、三三型(1種)、二二二型(1種)”，也是數(shù)學內(nèi)部關(guān)系的二次抽象。這種揭示數(shù)學內(nèi)部關(guān)系或數(shù)學變化規(guī)律的過程，也是初中階段數(shù)學內(nèi)部關(guān)系抽象的常見思維方式。

其中，“思維減負”表現(xiàn)在“大思考、小動筆”，表現(xiàn)在“學體驗、學思考、學表達”，還表現(xiàn)在橫向水平抽象、縱向水平抽象的過程中學生的思維互動、思考交往、問題質(zhì)疑以及清晰地表達數(shù)學認識等“學數(shù)學”的過程。數(shù)學家在創(chuàng)造數(shù)學的過程中相互之間的合作交流極大地有利于其數(shù)學創(chuàng)造[1]。在“雙減”政策的背景下，減輕過重課業(yè)負擔是一種辯證法、是一種認知哲學，不止于布置恰當、有效、適量的作業(yè)，更在于提高數(shù)學課堂學習實效，驅(qū)動“想學好”數(shù)學的心理狀態(tài)。這樣，力圖讓學生在獲得知識、獲得方法的同時，獲得人的全面發(fā)展與成長，才是數(shù)學課堂減負的本質(zhì)。減負的背后意蘊就是增值，思維減負能使得“冰冷的數(shù)學思考”轉(zhuǎn)化為暗流涌動的“火熱思維”，能使得學生建立一種穩(wěn)定的學好數(shù)學的情懷。因此，減負是數(shù)學育人的有效路徑，是學生自然生長的法定標準。

當代認知心理學認為，學習是一種遷移。雙情境抽象起于思維減負，成于數(shù)學世界與外部世界的一致性，終于知識遷移和學生的適性成長。當一門學科遠離它的經(jīng)驗本源繼續(xù)發(fā)展的時候，或者遠離社會向前邁進都是不利于學生的思維成長的。這就是通過數(shù)學“雙”情境抽象、或者通過二級抽象獲得研究對象的根本原因，也是推動數(shù)學社會學發(fā)展的一個視角。其實，20世紀90年代以來，“數(shù)學社會學成為數(shù)學教育和數(shù)學哲學話題的核心成分”是必然產(chǎn)物。為此，在雙情境抽象的過程中，需要注意以下幾個方面的思考：一是，外部抽象，讓學生產(chǎn)生思維的迫切性；二是，內(nèi)部抽象，讓學生知覺到學的必要性和價值；三是，縱向同化，用數(shù)學的思維表征數(shù)學世界，豐富原有認知結(jié)構(gòu)的意義屬性，突出概念“可接受”的心理狀態(tài)。這樣復合抽象，能使得概念連同它的語義、圖式命題存儲于長時記憶系統(tǒng)，并可雙向調(diào)用，具有高度的內(nèi)部關(guān)系一致性。

比如，在學習“豐富的圖形世界”這一內(nèi)容時，執(zhí)教者就是遵從雙情境抽象宗旨，讓學生在思維減負的課堂學習過程中，不經(jīng)意地建立了數(shù)學外部關(guān)系與內(nèi)部關(guān)系的一致性。或許，在單一數(shù)學知識范疇，師生并不覺知“我們在成長”，因為少做了一些題，多了一些思考。但從學習心理學看，類似于圖1的設(shè)計指向，卻客觀地反映了執(zhí)教者對數(shù)學育人的一種努力和追求。

圖1 雙情境抽象

從設(shè)計宗旨看，圖1設(shè)置的目的是力圖讓學生通過二次抽象，建立研究對象的表象，知道概念是什么、為什么和怎么樣，進而在建立概念表象的基礎(chǔ)上，體驗數(shù)學世界與外部世界的一致性，促進原型定向目標過程的實現(xiàn)，發(fā)展學生的模型意識；從教體驗的角度看，在圖1中，通過“連線”的直觀方式，激活學生的已有經(jīng)驗，建立新舊知識銜接的思維節(jié)點，體驗橫向數(shù)學化特征；從教思考的角度看，一方面讓學生從眾多的城市建筑物中抽象出常見的幾何體，這本身就是一種表象思考，是原型定向必經(jīng)之途；同時，在二次抽象的過程中指出常見幾何體的特征，重視“點無大小、線無粗細、面無厚薄”基本特征，并通過“畫出”的方式，將感性認識轉(zhuǎn)化為理性思考，這就是數(shù)學世界縱向同化的一種思維方式。

簡而言之，一般來說，獲得研究對象的過程往往需要二級抽象(生活→數(shù)學、數(shù)學→數(shù)學)和二次抽象(數(shù)學對象及其數(shù)學對象特征的揭示)過程，方能建立縱向同化數(shù)學知識目標，體驗“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的育人目標。其中，圖1中的問題(1)(2)屬于雙情境抽象，反應外部世界與內(nèi)部世界關(guān)系一致性，問題(3)屬于縱向同化的思維方式，是知識遷移的心理前提，標志著原型定向法定標準的建立，是獲得研究對象心象的一種表現(xiàn)。同時，在這里需要指出，減負思維就是減輕認知壓力，緩解數(shù)學認知的畏難情緒，解除新舊知識融通的心理障礙，進而鋪設(shè)學生學得好數(shù)學的心理基礎(chǔ)。

二、第二階：三分類建模，通過基數(shù)減負建立數(shù)學世界內(nèi)部的貫通性

數(shù)學建模是對數(shù)學模型的一種組織和優(yōu)化，是觸類旁通的思維基礎(chǔ)和心理支架。三分類建模就是選擇恰當?shù)姆诸悩藴蕦σ活愃季S對象的不同側(cè)面進行二次、三次研究，力圖揭示概念的“同與異”的一種辯證特征，帶有一定層面的數(shù)學“相對論”色彩。比如，對常見幾何體的分類可以從“有、無曲面”的視角進行分類，也可以從“有、無頂點”的視角進行分類，還可以從“柱體、錐體、球體”的角度進行分類，這樣從多個側(cè)面揭示一類事物的數(shù)學特征的研究方法，是建立數(shù)學世界內(nèi)部知識貫通性的基本方法。這種多視角的研究“同一問題”的基本方法，就是三分類建模的一個具體例子。

從分類建模的視角看，數(shù)學學科內(nèi)容劃分為“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐”四個領(lǐng)域，這就是一階分類；在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的經(jīng)典數(shù)學模型包括代數(shù)模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型等模型思想，這就是二階分類；在函數(shù)家族中包括一次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、反三角函數(shù)模型等類別，這就屬于三階分類。因此，三分類建模的本質(zhì)是系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、模式化、支架、圖式等教學行為和教學行為系統(tǒng)。

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》明確指出，要站在整體的高度、系統(tǒng)的高度學習相關(guān)知識，對于某些問題可以從不同側(cè)面進行研究、從不同角度進行分析、從不同層次進行理解，進而提高思維載體的育人價值。這就是“類”的教育思想。比如，“三視圖”問題(主視圖、左視圖和俯視圖)，可以放在小學階段研究，也可以放在初中階段研究，還可以放在高中階段研究，當然甚至可以放在大學階段研究，關(guān)鍵是學生需要什么和“可接受”的心理水平系數(shù)？這些“類”的行為要素及其子要素，需要重組、需要關(guān)注、需要深入思考。也就是說，任何一個數(shù)學教師在教學之前一定要充分思考學生需要什么，然后根據(jù)學生的需要，在學生可接受的思維范疇，讓學生獲得“可能”的發(fā)展，并驅(qū)動學生的成長，這本身就是基數(shù)減負(整合、重組意味著重質(zhì)輕量)。

當然，從數(shù)學教育過程看，基數(shù)減負由來已久，并不是新名詞，而是隨數(shù)學教育的發(fā)展不斷地更新。教學改革需要同時關(guān)注作為顯性表現(xiàn)的教學行為及其背后隱性的教學觀念[2]，數(shù)學教育是在教師引導下學生的“有限再創(chuàng)造”[3]過程。其中，隱性的教學觀、有限的再創(chuàng)造都是基數(shù)減負的另一種表達，是學生體驗數(shù)學的認知前提。沒有分類建模，“學”將深陷于題海的泥潭；沒有數(shù)學內(nèi)部知識的貫通，“學”將在“一盤散沙”中勞而無用。因此，整體地學、結(jié)構(gòu)地學、系統(tǒng)地學是“基數(shù)減負”的通用技術(shù)，是減輕課業(yè)負擔的有效行為。其實，早在1958年著名數(shù)學家華羅庚和關(guān)肇直就指出，“運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力是數(shù)學的三種基本能力”[4]，這就是分類建模，力圖通過“類”思維模式的培養(yǎng)，提高“學”的質(zhì)量，減少“學”的基數(shù)，促進數(shù)學縱向貫通的目標實現(xiàn)。

為此，在數(shù)學教學過程中，需要做好以下分類建模工作：一是堅持整體教學觀，既教知識又教方法；二是多側(cè)面研究，既教經(jīng)驗又教思想；三是在元認知體驗中，將知識經(jīng)驗上升為數(shù)學能力。這樣，方能在分類建模中促進數(shù)學世界內(nèi)部知識關(guān)系的貫通性，減負基數(shù)、減少重復，提高學的質(zhì)性。

比如，圖2的組織與設(shè)計就是三分類建模的一種哲學視角，力圖讓學生在減負基數(shù)的同時獲得數(shù)學能力的發(fā)展。其中，問題(1)旨在讓學生揭示幾何體特征的過程中，建立個體概念經(jīng)驗和事實經(jīng)驗，揭示整體教學觀的價值；問題(2)則是讓學生在多角度分類的過程中建立一類數(shù)學模型，反映不同層面研究數(shù)學的課程觀。同時，縱觀問題(1)到問題(2)的過程，則是將知識經(jīng)驗上升為思想方法的通用路徑，是將個體經(jīng)驗上升為客觀經(jīng)驗的一種表現(xiàn)，是“知識結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為“認知結(jié)構(gòu)”的有效方法。

圖2 三分類建模

這里需要指出的是，結(jié)構(gòu)化學習、整體觀學習、支架式學習以及產(chǎn)生式學習，都帶有一定層面的分類建模行為特征，是基數(shù)減負的基本方法，是貫通數(shù)學世界到數(shù)學世界的有效行為。其中，結(jié)構(gòu)化、整體觀、支架、產(chǎn)生式、命題、圖式等程序性操作，都是基數(shù)減負的一種教學行為，是學生學好數(shù)學、學優(yōu)數(shù)學的內(nèi)部思維支持條件。

三、第三階：超回歸編碼，通過增值遷移建立數(shù)學世界與育人世界的基本面

數(shù)學理解是數(shù)學教育的目的和目標。“超回歸編碼”就是在回歸數(shù)學概念、回歸數(shù)學理解、回歸數(shù)學的思維發(fā)展、回歸數(shù)學知識的生長與人的成長并重發(fā)展的過程。超回歸編碼是以超回歸理解模型的建立為支架的，而超回歸理解模型由原始認識、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認知、形式化、觀察述評、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造八個不同理解水平構(gòu)成，這八個層次性理解水平，反映了人們認識某一數(shù)學知識的全過程。其中，原始認識、產(chǎn)生表象、形成表象三因素屬于“超回歸編碼”的思維起點，性質(zhì)認知、形式化、觀察述評三因素是增值遷移的心理基礎(chǔ)，構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造是數(shù)學世界與育人世界的一個基本面，包括理性具體、理性一般以及理性中的具體等數(shù)學育人要素。從教育學看，史寧中教授把其解釋為數(shù)學的“三個世界”，通常用行為動詞“三會”來描述“三個世界”的本意。也就是，把“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界” 歸結(jié)為發(fā)展核心素養(yǎng)的思維本體論。

比如，在研究“豐富的圖形世界”的過程中，不僅要從眾多的城市建筑物中抽象出常見的幾何體(思維起點)，還要研究常見幾何體的特征及其新定義概念的合情、合理、合法屬性(增值遷移)，更要研究常見幾何體的多側(cè)面分類(數(shù)學育人、基數(shù)減負)，并研究常見幾何體的物理空間，以此揭示“數(shù)學研究對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”(恩格斯語)。

數(shù)學教育的本意就是人的充分發(fā)展問題。基數(shù)減負、增值遷移就是為了促進人的發(fā)展。朱德全對教學本質(zhì)進行哲學思考后指出，“人的發(fā)展促成問題解決，問題解決指向人的發(fā)展”[5]。通過超回歸編碼來建立數(shù)學世界與育人世界的基本面是數(shù)學課堂教育的根本任務和數(shù)學教育的目的，是數(shù)學課堂教育落實“雙減”政策的有效路徑。數(shù)學課堂作為育人的主陣地，總是以問題解決為載體，通過優(yōu)化問題解決路徑，靈活調(diào)用知識關(guān)系，實現(xiàn)減負增效，進而促進學生原本應有的內(nèi)在成長。這里的“基數(shù)減負”不止于少做題，既在于多思考，更在于“同構(gòu)、貫通、聯(lián)系”，拓展思考的深度、廣度和厚度。比如，圖3中設(shè)置的“游戲數(shù)學活動”就是學生全程體驗幾何體概念特征的有效設(shè)計，是對問題解決的二次升級，突出同構(gòu)，是學生理解數(shù)學模型水平的一項硬性指標。

圖3 超回歸編碼

當然，問題解決是超回歸編碼的心理支架，是揭示數(shù)學世界與育人世界的基本面的思維方式，是減負增值的載體。從認知心理學角度分析，“問題解決就是解題者在元認知調(diào)控下，對問題進行表征，對問題模式進行識別，然后在自己的長時記憶中提取解題圖式并遷移到新的問題情境，進而達到目標狀態(tài)的信息加工行為”[6]。

就這一認識來說，超回歸編碼需要處理好以下數(shù)學育人關(guān)系，方能減負增值、增值遷移，給學生帶來更多的數(shù)學成長時空。一是問題解決需要與學生的當前數(shù)學心理水平一致；二是問題組塊適合“場獨立”學生“跳一跳”，“場依存”學生“跳三跳”以及“場一般”學生“夠得到”；三是通過“同構(gòu)”和“異構(gòu)”的思維方式，讓學生在元認知活動中建立問題空間和直覺的“超回歸”發(fā)展，進而減負做題、增值思考、增值表達、增值數(shù)學方法，并獲得“帶得走”數(shù)學課堂的能力和終身數(shù)學發(fā)展的能力。

比如，圖3中的問題(1)(2)就屬于適應學生當前數(shù)學心理水平發(fā)展的好問題，有助于學生在回歸概念中增值理解；圖3中的問題(3)有助于“場依存”學生夠得到，有助于“場獨立”學生學得好。同時，制作幾何體的問題設(shè)計與實施，是基數(shù)減負的常見思維方式，有助于聚焦思考目標、貫通思考過程，有助于發(fā)展學生的問題空間，提高直覺的創(chuàng)造功能。

有學者指出，直覺比以往任何時候都更加成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造源泉。問題空間是以直覺為基礎(chǔ)的，通過聯(lián)想和想象建構(gòu)完整的知覺活動，并在二次反思和元認知的條件下，形成一定層面的邏輯活動和理性中的具體。其中，二次反思和元認知活動就是基數(shù)減負不可繞開的途徑。沒有反思就沒有知識關(guān)系的建立和直覺的進步，沒有二次反思就沒有數(shù)學世界與育人世界的基本面的建立，沒有元認知就沒有整體觀念的建立和人的充分發(fā)展。

比如，“情境抽象→折幾何體→摸幾何體→制作幾何體”就是以直覺思維為心理基礎(chǔ)的，是建立問題空間的一個常見例子，反映了認識幾何體的超回歸目標。其中，抽象是一種概括表達和反思表達，“折”是做中學、做中思和做中揭示特征的直覺思考方式，而由“摸→制作”是二次反思和元認知監(jiān)控的問題空間，是學以致用、貫通思維、建立結(jié)構(gòu)的通用技術(shù)。因此，數(shù)學世界到育人世界是以“直覺”和“問題空間”為思維支架的。具體來說，問題空間(狀態(tài)空間)，是指任務范圍的內(nèi)部心理表征，包括對目標、現(xiàn)有狀態(tài)與目標狀態(tài)的差別、可以執(zhí)行哪些操作等理解。源于此，在超回歸編碼過程中，問題設(shè)置要預留足夠的思維空間，讓每一個學生在能表達中獲得各自的表達能力，問題解決要讓學生在反思中反思，在反問監(jiān)控中提高元認知能力，進而提高學的目的性，減負問題基數(shù)、增值經(jīng)驗。

最后，在這里還需要指出，減負是一種行為目標，更是一種數(shù)學教育觀念，只有數(shù)學老師的育人觀念提高了，減負的本意才會“如我們所愿”。▲