風箏飛行的動力學分析和實際應用

于冰川，楊 薇

(沈陽師范大學，沈陽 110034)

本文為中國高等教育學會2020年“基于一流課程建設的”教學改革與實踐研究專項課題、中國教育學會2021年度規劃課題(編號202100150702B)、國家教育考試科研規劃2021年度重點課題(編號GJK2021004)階段性成果。

將放風箏分為兩個階段，即放飛、抬升和高空穩定，進行抽象建模，利用動力學分析方程探究放飛過程的最優方式、抬升和高空穩定階段的穩定原理，通過理論結果，定性分析市面上幾種風箏的平衡原理、優勢與不足，為風箏的優質化生產提供建議。

1 風箏起飛的動力學分析與最優放飛方式

在起飛階段，將迎風面抽象為一個平面，對其運動學受力進行如圖1方式的建模。

圖1 風箏在起飛階段的動力學受力模型Fig.1 Kinetic force model of a kite in take-off stage

其動力學方程如下：

Fx=Fwindcosθ-Ffcosθ-Fstringcosα

(1)

Fy=Fwindsinθ-Ffsinθ-Fstringsinα-mg

(2)

Ff=k·v2+Fflow≈k·v2

(3)

圖1中，Wind代表風向，其對于相對風向成θ，牽引線與風箏質心所在豎直平面的張角為α，Fwind是風力在垂直于風箏平面方向上的分力，Fstring是風箏的牽引線上張力。

其相對于風力方向的反方向，受到空氣的黏滯力Fflow與空氣阻力k·v2，黏滯力較小，可忽略不計，將阻力視為空氣阻力，其是與速度相關的函數。根據伯努利流體力學可推出風力計算公式(在此情形下，為求簡潔，根據標準狀態情況下的風壓計算公式進行計算，且風壓的小范圍波動相對于風速、重力等較小，對于結果的影響相對也較小)：

(4)

(5)

將(3)、(5)代入(2)中運算取開始放飛狀態時有：

(6)

為了使風箏以較大的加速度飛向天空，需要使Fy數值較大。根據式中變量分析，可以通過跑動、借助高速風流等方式獲取相對較大的風速v。通過控制引線，使風箏與水平風張角θ=45°。

此過程中，對牽引繩施加的力應適宜，若施力過大，會導致Fy減小或符號變為負值，令起飛失?。蝗羰┝^小，在水平方向上：

(7)

使得其橫向加速度很大，在橫向上的運動位移大于豎直方向上的運動位移，令風箏與水平風張角θ迅速減小，從而(6)式中Fy減小，導致起飛失敗。利用“一收一放”，控制合適張角，使得風箏的動力學方程的解在豎直向上的加速度上最優。此外，在初始狀態下，可以對風箏施加一個向上的外力，即把風箏“揚”起，突破開始起飛的困難。

風箏起飛時的物理原理和理論最優放飛方式為：在起飛階段，利用牛頓運動力學將風力、重力和風箏牽引力作正交分解，通過其數學結果來判斷風箏的最佳起飛狀態。

2 風箏在抬升和高空靜止階段的穩定平衡原理

一般認為，低空風速場不均勻，空氣不能看做定常流動的流體。風速的相對大小會給予風箏一個轉動力矩(圖2)，由力矩的計算公式得到：

圖2 風箏在非定常流動風速場下的受力模型(平旋)Fig.2 Stress model of kite under unsteady wind speed field (flat spin)

Mwind1=rwind1×(Fwind1-Fwind2)

(8)

Mwind2=rwind2×(Fwind2-Fwind1)

(9)

二者是等價的，在此情形下，各自均在數值大小為正時有意義，即在兩個相對風力大小不相等的情形下，風箏有旋轉的趨勢。這里Fwind1、Fwind2是抽象出來的風速場對風箏兩翼的作用力，其力矩則是相對質心而言的。

由公式可知，在低空的風速場，風箏除了飛行狀態控制外，還需要通過改善自身結構，避免搖擺導致的風箏旋轉、飄動和跌落等行為。風箏結構中維持穩定的結構給予質心的力矩稱為“穩定力矩”，其一般采用相對對稱的結構，從而不改變風箏質心的位置，但是在風箏發生傾斜時，由于配重的二者相對質心的力臂改變，導致力矩改變。以下為簡化“配重”型風箏模型及其在側旋狀態下的作用(圖3)。

圖3 連接配重風箏在姿態改變前后的受力模型(側旋)Fig.3 Stress model for connecting counterweight kite before and after attitude change(lateral spin)

平旋不會在豎直高度上對風箏姿態造成影響，配重主要是為了避免風箏的側旋。當風力使風箏側旋時，風箏的形態如圖3(b)所示。此時，兩個“配重”對質心的作用效果發生改變，利用力矩公式：

M1=r1×F1

(10)

M2=r2×F2

(11)

(12)

在圖中位置，可根據矢量運算法則求得力矩數值大?。?/p>

(13)

由于“配重”材料的對稱性，其二者受到的重力滿足：

(14)

其作用效果表現為使風箏的姿態由側旋恢復圖3(a)的狀態。事實上，在偏轉后風箏的質心位置有所改變，圖中的質心應比圖示方向適當右偏，不過穩定力矩的作用效果性質類似。

由(13)可知，F越大，穩定力矩的大小就越大，考慮到風力的大小有限，若“配重”過于沉重，會使風箏起飛困難。

在風箏抬升至高空后，由于細線的作用，(2)中重力有所增加，同時在高空中，風速場減弱，風力大小也減小。在一定的高度上，風箏在以一定的姿態處于較穩定的平衡，即以下方程中滿足Fx=Fy=M=0。

Fx=Fwindcosθ-Ffcosθ-Fstringcosα

Fy=Fwindsinθ-Ffsinθ-Fstringsinα-mg

由此可以得到結論，通過“配重”裝飾風箏，不僅可以使風箏形態美觀，更可以作為穩定力矩的作用者維持風箏在抬升和高空靜止階段的姿態穩定、受力平衡。

3 常見風箏特性的定性分析和生產建議

風箏在較理想的模型基礎下有一個拱起的形變效果，以增加穩定性，但由于大多數風箏基本呈軸對稱，拱面上風力在x方向的分力抵消，y方向的分力差由人對風箏的拉力平衡，余下垂直于風箏平面的力(z方向)，需要對常見風箏的特性進行定性分析。

風箏主要有兩種，即十字風箏和三角風箏。

十字風箏是用橫豎兩根竹條做骨架，在尾部粘上用蒙面材料做成的長尾條，再將橫竹條背面用細線拉緊，使風箏面變成弧形，以增加飛行的穩定性，風箏姿態的穩定主要靠尾帶配重，王字風箏的穩定也是類似原理。此類風箏的生產建議是使用輕薄材料減小重量，連接長尾帶以增大配重(絲帶、燕尾)，采用軟質材料利用伯努利原理抬升。

三角風箏飛行狀態像傘翼機，主要是靠風箏面向上拱起成弧形達到姿態穩定。該種風箏用寬厚相同的三根竹條做骨架，一根粗細相仿的彈性竹條做撐桿，用尼龍綢做蒙面，彈性竹條可隨風力大小改變彎曲程度，進而改變風箏姿態。這種風箏的缺點是風力太大時背面撐桿會彎過頭，使迎風面積大幅度減小，升力驟減，風箏會調頭向下墜落。此類風箏的生產建議是使用切變模量合適的材料，使其小范圍變動內切變模量較小，大范圍時切變模量較大，盡量拓寬羽翼，同時考慮質量。

對于串形風箏，平衡配重極其重要，應使用輕軟質材料，維持其盤旋飛舞的姿態，一般用顏色較淺的輕桿作配重材料。

圖5 利用“配重”穩定的串形風箏(圖片來源：網易新聞)Fig.5 String kites stabilized by “counterweights”(source: NetEase News)

圖6 非傳統放飛式的異形風箏(圖片來源：騰訊新聞)Fig.6 Non-traditional flying shaped kite(source: Tencent News)

4 結論

通過建平面模型和動力學穩態分析，從理論上得出了放飛風箏的最佳方式：拋起風箏，給予初始速度和加速度；控制引線“一收一放”，使得風箏線與風箏迎風面處于合適張角；在放飛同時以合適的速度跑動，增加風力的相對大小，借助強風順勢，給予風箏更大的抬升力，使其能夠更快到達高空。通過配重力矩分析，得出了風箏在抬升、穩定、生產中的建議：增加配重，使用尾帶、拓寬羽翼等方式；使用輕軟質材料。存在的不足之處是理論過于趨向于平面化，而未考慮拱形在維持風箏穩態時的重要作用；力矩分析過于定性化，不能很好地應對實際風速場情況。