解析幾何“搭臺”，核心素養“唱戲”

謝飛燕

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算、數據分析、直觀想象等數學學科核心素養. 因此，我們讓學生在學習數學知識的過程中如何發展并形成核心素養，是新一輪課程改革的任務.培養學生數學核心素養要貫徹到每一節課中，落實到每一道題的解決過程之中，細化到每道題的每個步驟.下面以2021年全國新高考Ⅰ卷解析幾何解答題為例，通過解析幾何問題的解答探究提出課堂教學中如何提升學生的數學核心素養，正所謂解析幾何“搭臺”，核心素養“唱戲”.

一、試題再現

（2021年全國新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-17，0），F2（17，0），|MF1|-|MF2|=2，點M的軌跡為C.（1）求C的方程;（2）設點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

二、解法探究

1.第一問解法分析

分析1：第一問利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點F1、F2為左、右焦點的雙曲線的右支，求出a、b的值，即可得出軌跡C的方程.

解法1：因為|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=217，所以，軌跡C是以點F1、F2為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡C的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），則2a=2，可得a=1，b=17-a2=4，所以，軌跡C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

評析：掌握了雙曲線的定義，才能辨別出問題的條件與定義的不同之處，準確不漏地寫出軌跡C的方程.不少考生可能忽略了雙曲線定義中的“絕對值”字眼而誤認為軌跡C是雙曲線，這充分暴露了考生在解析幾何方面嚴重缺乏數學抽象的核心素養所以對雙曲線的定義未能真正地理解，未能從雙曲線的標準方程中抽象出雙曲線的兩支，題中的軌跡C只是雙曲線的右支，并非整條雙曲線.

分析2：第一問也可以用解析法，根據求軌跡的步驟，先設出點C的坐標（x，y）根據題中的等式，代入坐標得到關于x，y的方程并化簡則可得出軌跡C的方程.

解法2：設點C（x，y），∵|MF1|-|MF2|=2，（x+17）2+y2-（x-17）2+y2=2，

則（x+17）2+y2=（x-17）2+y2+2，

兩邊平方并化簡可得17x-1=（x-17）2+y2①

兩邊平方并化簡可得x2-y216=1.

由①式可知，17x-1>0即x>0，/C的方程為x2-y216=1（x>0）.

評析：解析幾何法的基礎是解析法，解法2回歸原始的解析幾何思想，學生只要回憶之前推導橢圓的標準方程時的那段“艱苦”的歷程，重復體驗一下那兩次平方的過程即可.當然這里的化簡過程考察了考生的數學運算核心素養，并且要求不低，會算可能也會出錯，即“會而不對”.解析法遵循“建立坐標系—設點—列出限制條件—代入坐標—化簡—檢驗”等步驟，一般情況下最后一步可以省略，所以坐標法步驟簡稱“建設現（限）代化”五個步驟，但此題最后一步必不可少，不少考生沒有檢驗從而忽略了化簡過程中的隱藏條件x>0導致得出不完整的答案.

2.第二問解法分析

分析1：第二問的解題思路很清晰，先設點T的坐標為（12，t），再設直線AB與PQ的斜率分別為k1和k2，將直線方程與雙曲線方程聯立，根據兩點的距離公式或弦長公式便可求出|TA|和|TB|，同理可得|TP|和|TQ|，最后通過運算化簡可得k1+k2=0.

解法1：設點T（12，t），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，不妨直線AB的方程為y-t=k1（x-12），即y=k1x+t-12k1，聯立y=k1x+t-12k1

16x2-y2=16，消去y并整理可得（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0，設點A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1>12且x2>12.由韋達定理可得x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-12k1）2+16k21-16.

所以|TA|·|TB|=（1+k21）·|x1-12|·|x2-12|=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）=（t2+12）（1+k21）k21-16.

設直線PQ的斜率為k2，同理可得|TP|·|TQ|=（t2+12）（1+k22）k22-16，因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16，整理可得k21=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

評析：圓錐曲線綜合問題常用的“設直線方程—聯立方程組—消元—韋達定理……”解題策略，對于第二問，大部分考生都能完成前四步，但又只能到此“望題興嘆”了.因為按照兩點間的距離公式代入運算非常復雜，對學生的運算要求很高，此時優化運算變得尤為重要.我們熟悉的圓錐曲線弦長公式其實是直線上兩點間的距離公式，若A（x1，y1），B（x2，y2）是直線y=kx+b（k≠0）的兩點，則|AB|=1+k2|x1-x2=|1+1k2|y1-y2|，稱此公式為直線上的兩點的距離公式，若A，B是直線上與圓錐曲線的交點，則此公式即我們的弦長公式，因此本題可以直接應用以優化數學運算.

分析2：因為題中涉及兩個線段的長度的乘積，可以借用向量的數量積解決問題，由T，A，B三點共線可知|TA||TB|=|TA||TB|=TA·TB，現利用向量的坐標運算和前面得到的根與系數的關系求解.

解法2：（以上同解法1）|TA||TB|=|TA||TB=|TA·TB=（x1-12）（x2-12）+（y1-t）（y2-t）

=（k21+1）（x1-12）（x2-12）

=（k21+1）[x1x2-12（x1+x2）+14]

=（k21+1）（t2+12）k21-16

同理可得|TP||TQ|=（k22+1）（t2+12）k22-16（以下同解法1）.

評析：整體考慮|TA||TB|，利用向量工具解決問題可以避免運用弦長公式在運算過程中出現絕對值或根號等象征著復雜運算的符號，運用向量作為工具解決解析幾何問題是常用方法之一.

分析3：考慮到第二問中的|TA|和|TB|為過點T的直線與雙曲線的交點所形成的線段的長度，利用點T建立直線的參數方程，根據參數方程中t的幾何意義可快速求得|TA|和|TB|，可以簡化部分數學運算.

解法3：設點T（12，m），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，過點T的直線的參數方程為

x=12+tcosα

y=m+tsinα（t為參數）

代入雙曲線可得（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-12-m2=0

|TA||TB|=t1t2=-12+m216cos2α-sin2α=-12+m217cos2α-1

同理|TP||TQ|=-12+m217cos2β-1

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，所以cos2α=cos2β.

則cosα+cosβ=0，所以α=π-β即兩斜率和為零.

評析：引入參數，用直線的參數方程或曲線參數方程中參數的幾何意義搭起題目中量與量之間的關系，建立方程進行運算求解，這是解析幾何中常用的方法，但可能是學生們對參數方程的學習不夠，很少能把解析幾何問題與參數方程聯系一起，特別是在新高考中取消了最后一道大題即往年的選做題后，學生對參數方程更陌生了.

3. 教學思考

加強學生對解析幾何知識本質的理解，提升其數學抽象與直觀想象素養.注重學生的運算能力培養，提升其數學運算核心素養.探索數學中幾何關系如何代數化的途徑，提升學生邏輯推理素養.