后進生使用畫圖解決分數乘除法問題的教學探討

陳梓瑩

一、問題的提出

《課程標準》中強調教師應當注重發展學生的幾何直觀的核心素養，引導學生借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明形象。因此在教學過程中，教師會根據題目特點引導學生使用畫圖的方法來幫助解決問題，畫圖對于學生解決問題確實有不同程度的幫助。班上大部分學生能掌握畫圖解決分數乘除問題的方法，但部分后進生的學習效果不佳。如果我們能根據學生落后的現象找到其落后的癥狀和原因，然后依此對癥下藥進行指導，是可以進步并且轉化為優秀生。對此下面以測試題的方式進行實證研究。目的是找到后進生使用畫圖解題得分不理想的原因，再按照實際認知水平和數學能力制定合適的畫圖解題教學策略，實現班級內學生畫圖解題能力水平差異減少、整體提升的目標。研究對象為同一任教老師的兩個水平相當班級中，在學校組織的規模較大的考試中總分都在本班后5名，同年級后10%范圍內的學生。下面主要以戴再平教授的錯因分析理論為基礎進行質性分析。測試題總共分為3個部分，第1、2題是單位“1”已知，第3、4題是單位“1”未知，第5、6題考察對應量和對應分率關系。

二、畫圖解決分數乘法問題

第1、2題都是分數乘法中最基本的題型，本質都是給出一個數比另一個數多（少）多少，求另一個數是多少。學生需要先找出單位“1”，然后根據分數單位確定單位“1”的對應線段數，再根據“多”或“少”的關系畫出另外一個量，最后綜合圖和題意列式解答。筆者分析學生第1、2題的答題情況，發現學生基本上都傾向用數量關系列式解答，并沒有通過畫圖來解決問題。通過分析發現后進生不能正確作圖的原因主要是：對量的概念和量的比較關系認知混亂。

1.學生對量的概念認知混亂

某學生作圖部分出錯但還是能借助數量關系列式正確地解決問題。線段圖中單位“1”的份數是正確的，但是該生卻標記多出部分為單位“1”，屬于知識性錯誤。該生對單位“1”的概念理解不清，不知道單位“1”就是總量。這類學生具備從題目中辨別出單位“1”對應線段數的能力，但對具體的量以及關系還是不清晰。因此，我們在教學中應當再次強調，分數單位是單位“1”的線段數，另一個量是它的比較量，題目中多（少）的量是分率，這個數的分子也就是分數單位的個數，是比單位“1”“突”出來（“縮”進去）的段數。

2.對量的比較關系把握不到位

某學生能正確表示出單位“1”的份數，也能明白“少?5/6”是沒有的意思，要用虛線表示，但是對于“少”的比較關系理解不到位，屬于邏輯性錯誤。這類學生不理解量之間的比較關系，這里的少是與單位“1”相比較而言，單位“1”的分數單位為6，得知總共有6份，所以“少?5/6”就是比單位“1”少5份，應該是6-5=1（份），所以這個量是?1/6。或者從分數減法的角度來解釋，比“1”少?5/6，即1-?5/6=?1/6。因為該生在這個知識點存在邏輯性錯誤，所以在完成第2題“多?5/6”時，也是犯同樣的錯誤，沒有弄清楚量之間的邏輯關系。這類學生已經大致上能夠理解作圖的步驟和注意點，但是對量的比較關系沒有掌握，因此要多次強調，比較量就是和單位“1”作比較，“多”對應“+”，“少”對應“-”，根據比較關系得到的計算結果才是比較量。

三、使用畫圖解決分數除法問題

第3、4題和第1、2題是對照組，3、4題是單位“1”未知，1、2題是單位“1”已知，目的要讓學生在做題中更容易地發現它們的異同點和作圖規律，也為后面的教學講解作鋪墊。第5、6題是專門考察后進生使用畫圖解決“對應量對應分率=單位‘1’”問題的效果。

分析第3、4題的作答情況得知，大部分學生選擇使用數量關系來列式解決，并且都能寫出正確的數量關系，但因為無法判斷出單位“1”未知要用除法而失分。而畫圖方面最大問題就是把上個月開支當作單位“1”，說明學生對量的認知不清，錯因和分數乘法方面很相似。這兩題應用數量關系解決比作圖解決的效果更佳。

第5、6題比第3、4題難度要更大，但是后進生在此部分的畫圖完成度更高。因為需要處理的量少了，關系也簡單了。學生只需通過畫圖找到“已看”和“未看”的對應分率和量，然后代入公式再計算結果即可。后進生作圖的難點是要辨別出題目中“36頁”對應哪一部分以及對應分數。通過分析發現學生存在對分數概念、對應量和對應分率不理解的問題。

四、改進的教學策略

通過分析發現，對于后進生來說使用畫圖解決分數乘除法的優勢并不大，使用數量關系來引導列式求解更合適。因為后進生的分析、整理數據能力和畫圖表達能力相對欠缺，而且這部分學生對于分數的意義、辨別量以及量之間關系方面理解不到位，因此使用數量關系更符合他們的認知和能力水平。

但在解決“對應量對應分率=單位‘1’”問題時，使用畫圖解決的優勢則大于列數量關系。因為學生通過畫圖標記出分率和對應量就可以直觀展示對應關系，難度和能力要求相對較低。因此，在教學中先確保學生能理解分數的意義，并且知道要根據分數單位確定總線段數，然后引導學生在線段圖中把對應分率表示出來，再根據題意找到對應量，最后代入公式計算。總體而言，教師要因材施教，依據后進生的認知和能力水平決定是否要引導學生使用畫圖解決問題，不斷地反思實踐再反思才可以找到更好的教學策略。

【本文系廣東省中山市教育科研課題“利用畫圖提高農村小學生數學解題能力的實踐研究”（課題立項號：B2018021）的階段性研究成果】