高三數(shù)學(xué)橢圓復(fù)習(xí)的分析與研究

韓雪健

【摘要】圓錐曲線是高考中一個(gè)非常重要的考察內(nèi)容，學(xué)生通過對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)能夠提高自己的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算能力，進(jìn)而提高自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。在圓錐曲線中，橢圓是其中的核心部分。在高三橢圓復(fù)習(xí)過程中，教師如果能夠?qū)E圓知識(shí)的基本類型進(jìn)行歸類，可以幫助學(xué)生更好地掌握橢圓的相關(guān)內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);橢圓;分析

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，橢圓是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生如果能夠?qū)E圓的內(nèi)容理解透徹，會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)圓錐曲線部分甚至是平面幾何的知識(shí)有很大的幫助。高三教師在幫助學(xué)生橢圓知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，要讓學(xué)生將橢圓題目的類型和求解方法理解清楚，明確題目中重點(diǎn)要考察的內(nèi)容，進(jìn)而進(jìn)行求解，使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)橢圓知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，形成完整的知識(shí)框架，從而實(shí)現(xiàn)舉一反三，融會(huì)貫通。

一、橢圓中常見問題

1.探究橢圓的具體問題

第一，動(dòng)點(diǎn)軌跡問題。通過對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解，明確該曲線為橢圓。一般有兩種解決辦法：第一種是首先根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)能確定軌跡所表示的是橢圓，再求出橢圓的方程。第二種是根據(jù)題中已知條件，對(duì)動(dòng)點(diǎn)的x和y進(jìn)行化簡求解，求出軌跡的方程，在根據(jù)軌跡方程判斷圖形為橢圓。第二，求橢圓中的具體信息。根據(jù)題目中的具體信息確定橢圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，包括長軸、短軸、離心率等。包括進(jìn)一步求解弦長問題、面積問題等。具體可采用直譯法、轉(zhuǎn)化法、定義法等來求解。

2.橢圓中定值、定點(diǎn)的問題

這一類問題是指已知橢圓的方程、特殊的點(diǎn)和直線的位置關(guān)系。通過一些特定的變量和幾何性質(zhì)，使得不斷變換的變化量有了一些不變的性質(zhì)，從而對(duì)定值、定點(diǎn)問題進(jìn)行求解或者證明。第一，定點(diǎn)問題。這類問題往往已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和特定的直線方程，通過對(duì)已知條件進(jìn)行化簡來證明直線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)或者是某一點(diǎn)在直線上。第二，定量問題。在特定的題目中發(fā)現(xiàn)斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題。在求解或證明定值、定點(diǎn)問題的過程中可以利用等價(jià)轉(zhuǎn)換和代數(shù)表示等方式，抓住題中的恒等關(guān)系，通過計(jì)算的方式約去題中的參數(shù)部分，從而求出結(jié)果。

3.最值范圍問題

在橢圓問題中，除了定值、定點(diǎn)這些不變量之外，還經(jīng)常求解或證明一些特殊量的的最值和取值范圍的問題。包括橢圓離心率的最值，求一些特殊點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的取值范圍、求直線的取值斜率或弦長的取值范圍、求三角形周長或面積的取值范圍、求特定角的取值范圍的問題等。在求解最值問題的過程中，可以采用幾何方法和代數(shù)方法。通過對(duì)已知條件進(jìn)行分析，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示變量，可以利用函數(shù)或不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。對(duì)于范圍問題，首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)。

4.探究性問題

這一類問題往往有關(guān)結(jié)論是已知的，去探索是否存在滿足結(jié)論的條件，一般是求解點(diǎn)和直線。探究性問題往往更具有開放性，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力。探究性問題主要包括探索是否存在類的問題和確定存在類的問題。對(duì)是否存在類的問題的解題的策略包括先假設(shè)存在，將是否存在的問題轉(zhuǎn)化為確定存在，再根據(jù)已知條件進(jìn)行運(yùn)算，看能否推出矛盾。對(duì)于確定存在類的問題先進(jìn)行求解，再對(duì)特殊情況作出判斷。

二、高三橢圓復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐

第一，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和解題能力。學(xué)生的運(yùn)算和解題能力是高考中非常重要的一個(gè)考察內(nèi)容，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本能力。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解析幾何承載了考察學(xué)生運(yùn)算能力和解題能力的作用。在歷年高考試題中，平面解析幾何部分往往是一道小題和一道解答題，分值在17分左。這類問題往往計(jì)算量很大，并且這些計(jì)算不是簡單的基本數(shù)據(jù)運(yùn)算，而是要對(duì)題目情境進(jìn)行分析，了解題目中要進(jìn)一步考察的內(nèi)容。因此在對(duì)解析幾何尤其是橢圓的復(fù)習(xí)過程中，要讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣和對(duì)題目進(jìn)行抽象概況的能力，通過對(duì)題目進(jìn)行化簡和整理，靈活運(yùn)用橢圓的定義和性質(zhì)，盡量減少運(yùn)算的步驟，提高解題的能力和效率。

第二，優(yōu)化例題的選擇和板書的設(shè)計(jì)。在進(jìn)行橢圓復(fù)習(xí)時(shí)，教師要有明確的主線將高中階段的橢圓知識(shí)聯(lián)系起來，幫助學(xué)生形成橢圓知識(shí)的完整框架，同時(shí)在講解過程中要重視對(duì)高中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，要從整體性出發(fā)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，選取適當(dāng)難度的例題，既能承上啟下，又能引發(fā)學(xué)生的思考，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。好的例題能夠啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。要選取具有基礎(chǔ)性、可操作性的例題，并且在講解過程中注意將題目的運(yùn)算過程進(jìn)行板書，加深學(xué)生的影響，并且要注意板書的規(guī)范性。

第三，要進(jìn)行合理的作業(yè)安排和講評(píng)教學(xué)。教師在進(jìn)行一節(jié)課的橢圓復(fù)習(xí)之后，要選取適當(dāng)?shù)念}目給學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。練習(xí)的題目既要與本節(jié)課的知識(shí)相關(guān)聯(lián)，又要鍛煉學(xué)生的能力。題目不要過多并且要注意把握難度。并且，在第二節(jié)課時(shí)要對(duì)前一天的作業(yè)及時(shí)地進(jìn)行批改和講評(píng)，從而加深學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)的理解并提高學(xué)生的計(jì)算能力。

第四，引導(dǎo)學(xué)生整理錯(cuò)題集。學(xué)生通過整理錯(cuò)題集，對(duì)學(xué)過的題目進(jìn)行分析和歸類，歸納出易錯(cuò)題、好題以及好的解題方法，可以提高自己的運(yùn)算能力，完善數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化解法，從而提高自己的數(shù)學(xué)能力。因此在進(jìn)行橢圓復(fù)習(xí)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓的知識(shí)進(jìn)行改錯(cuò)、分析和反思，不僅能夠提高自己的運(yùn)算能力和解題水平，還能夠在整理錯(cuò)題的過程中，加深對(duì)橢圓知識(shí)的理解，并形成完整的知識(shí)框架。

橢圓知識(shí)是解析幾何里非常重要的一部分內(nèi)容，本文結(jié)合高三橢圓知識(shí)復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)橢圓知識(shí)進(jìn)行了分析和總結(jié)，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際提出高三數(shù)學(xué)橢圓復(fù)習(xí)的方法和技巧。教師在對(duì)橢圓知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，要注意幫助學(xué)生總結(jié)歸納，讓學(xué)生做到舉一反三，切實(shí)掌握好橢圓的相關(guān)知識(shí)，提高自己的運(yùn)算解題能力和邏輯思維能力，進(jìn)而提高自己的數(shù)學(xué)成績和數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁元龍.高中數(shù)學(xué)橢圓教學(xué)的有效策略[J].亞太教育，2019（7）;1.