數學教學中學生認知與學科特征的側重與兼顧*
——以“完全平方公式”的教學為例

石樹偉

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求教學內容的呈現應“符合學生的認知規律，體現數學學科特征”［1］。符合學生認知規律，即教學內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索；體現數學學科特征，即體現數學內容的結構本質和應有的邏輯性、嚴謹性。

下面，筆者以“完全平方公式”的教學為例，討論教學實踐中如何達成“符合學生的認知規律，體現數學學科特征”的要求。

一、從兩個引入方案看學生認知與學科特征的選擇

（一）完全平方公式教學的兩個引入方案

【方案一】直觀發現貼近學生認知

（a+b）2、（a-b）2的幾何意義是邊長分別為（a+b）、（a-b）的兩個正方形的面積。因此，在教學過程中，教師可以構造出兩個正方形（見圖1），引導學生分別用兩種方法計算甲圖大正方形和乙圖陰影小正方形的面積，從而引入兩個完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。

（圖1）

【方案二】特例探究體現學科特征

一般化的多項式乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，當字母a、b、c、d有某些特殊關系時，會使公式變為特殊形式。如a=c、b=d時變為完全平方公式，a=c、b=-d時變為平方差公式，因此乘法公式是在一般化的多項式乘法基礎上對“特例”的考查。依據以上對乘法公式的數學理解，完全平方公式的引入可以先復習多項式的乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，然后引導學生探究它的特殊形式。完全放手讓學生探究，學生的結論可能會多種多樣，其中包括完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2；然后再利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2，得到（a-b）2=a2-2ab+b2。

（二）從兩個引入方案看學生認知與學科特征的選擇

方案一通過用兩種方法計算正方形面積引入完全平方公式，非常直觀、形象，而且有教師的適度引導——“計算面積”“兩種方法”，符合學生的認知規律，因而大部分學生都能發現結論，從而快速進入教學主題。此教學方法的不足之處是不能讓學生感悟完全平方公式與前后知識的聯系，學生學到的是瑣碎、零散、點狀的知識，無法感受數學知識的整體性。

方案二通過引導學生在一般化的多項式乘法的基礎上探究特例，引入完全平方公式。體現了從一般到特殊的思想，滲透“考查特例”是數學研究的“基本套路”，切合知識的發生發展過程和內在的邏輯線索，有利于學生把握知識的來龍去脈，學生學到的是有聯系的、結構化的知識，體現了數學的學科特征。此教學方法的不足是從抽象的代數公式到抽象的代數公式，且讓學生自主獨立探究，對學生的抽象思維能力和創新意識要求較高，不少學生可能難以達成。

通過對以上兩種引入方案的分析可以看出，數學教學無論是偏重學生認知還是偏重學科特征，兩者之間不存在孰優孰劣的問題。教學時應結合學情選擇適合的呈現方式，對于數學基礎一般、抽象思維能力較弱的學生來說，教學方案的設計應偏重于符合學生的認知規律；對于數學基礎較好、抽象思維能力較強的學生來說，教學方案的設計應偏重于體現數學學科特征。

二、從兩個方案的完善看學生認知與學科特征的兼顧

（一）兩個方案的完善

【完善后的方案一】直觀發現貼近學生認知，反思追根體現學科特征。［2］

1.探索活動：（1）分別用兩種方法計算甲圖大正方形和乙圖陰影小正方形的面積（見上頁圖1），你有什么發現？（2）你能證明（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2是正確的嗎？（3）觀察完全平方公式，你能說出這兩個公式的結構特點嗎？

3.課堂小結：（1）完全平方公式有什么特征？如何用語言描述完全平方公式？（2）我們是如何發現完全平方公式的？又是如何證明的？（3）從證明過程看，完全平方公式與多項式乘法法則之間有什么關系？（4）繼續研究多項式乘法法則的“特例”，你還有什么發現？

4.課堂檢測：當堂訓練，當堂反饋。

【完善后的方案二】特例探究體現學科特征，幾何表示貼近學生認知。［2］

1.探索活動：（1）前面已經學習了多項式的乘法，你能說說運算法則和運算的依據是什么嗎？（2）繼續研究多項式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，你認為它有哪些特殊形式？你能得到哪些新的結論？（3）如何利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2？（4）完全平方公式有什么特征？請你用自己的語言表述。

2.公式應用：與方案一類似，略。

3.幾何解釋：如果a、b分別表示兩個線段的長，則a2、b2分別表示兩個相應正方形的面積，你能根據公式形式，自己構造圖形表示完全平方公式嗎？

4.課堂小結：（1）請你說說公式的結構特點及應用時應注意的問題；（2）今天我們是如何研究完全平方公式的？（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

（二）從兩個方案的完善看學生認知與學科特征的兼顧

1.直觀感知貼近學生認知，反思聯系兼顧學科特征。

完善后的方案一通過用兩種方法計算正方形面積，直觀、形象地引入完全平方公式，符合學生的認知規律；在課堂小結時，引導學生回顧直觀發現的結論的證明過程（利用多項式乘法法則推導），進而反思完全平方公式與多項式乘法的關系（特殊與一般的關系），從而體現學科特征。這樣教學偏重于學生認知，同時又做到了學生認知與學科特征兼顧。

分析此方案可以看出，對于數學基礎一般、抽象思維能力較弱的學生來說，設計教學方案時應以學生認知為重。可以通過學生容易接受的操作感知、聯系實際等直觀形象手段，呈現新知的發生、發展過程，待新知鞏固后，再適時地引入一些反思性問題引導學生感悟新知與其他知識的聯系，揭示新知本質及其蘊含的數學思想和方法，從而兼顧學科特征。

2.理性探究體現學科特征，鞏固運用兼顧學生認知。

完善后的方案二通過對多項式乘法特例的探究引入完全平方公式，有利于學生充分感悟完全平方公式與多項式乘法之間特殊與一般的關系，體現了數學學科特征；在鞏固應用時，引導學生自己構造圖形直觀、形象地表示完全平方公式，加強了學生對完全平方公式的多元理解，符合學生的認知規律。這樣教學偏重于學科特征，同時又做到了學科特征與學生認知兼顧。

分析此方案可以看出，對于數學基礎較好、抽象思維能力較強的學生來說，設計教學方案時應以學科特征為重。可以引導學生從新知的“生長點”出發，在一般觀念（如一般到特殊、特殊到一般、簡單到復雜、幾何性質是關于組成要素或相關要素的恒定結論等）的指導下，主動探究新知、感悟知識聯系，后通過對新知的鞏固運用，引導學生直觀感受新知的現實背景或實際應用，加深對新知的直觀認識和理解，從而兼顧學生認知。

新課標強調“以生為本，以學定教”，數學教學應從學生的實際學情和未來發展出發，選擇適合的教學方法。因此，學生認知和學科特征從根本上來說，應以學生認知為前提和基礎，力求做到兩者兼顧。