“網絡空間安全數學基礎”教學方法探究

陳川 楊美紅 馬賓

[摘 要] 目前國內眾多網絡空間安全學院都開設了“網絡空間安全數學基礎”課程，該課程在教學過程中還存在著一些共性問題：“重”理論知識傳授，“輕”課堂引入;“重”計算和證明，“輕”動手實踐能力培養;未能將課程思政元素融入課堂;采用“一考定成績”的傳統考核方式。分析這些問題的成因及危害，提出相應的對策：精心選擇課堂引入方式;注重培養學生的動手實踐能力;將課程思政有機地融入課堂教學;采用注重過程的考核方式。

[關鍵詞] 網絡安全;數學基礎;課堂引入;實踐教學;課程思政

[基金項目] 2018年度齊魯工業大學（山東省科學院）校級教研項目“科教融合背景下網絡空間安全專業人才培養模式改革”（201804）;2020年度齊魯工業大學（山東省科學院）校級教研項目“基于‘敏捷教學’模式的科教融合學院高水平網絡空間安全人才培養體系建設與實踐”（2020zd22）;2021年度齊魯工業大學（山東省科學院）網絡空間安全學院院級教研項目“科教融合背景下《密碼學》的教學改革研究與實踐”（2021yj04）

[作者簡介] 陳 川（1982—），男，河南南陽人，博士，齊魯工業大學（山東省科學院）網絡空間安全學院講師，主要從事密碼學、復雜系統動力學研究;楊美紅（1966—），女，江蘇連云港人，碩士，齊魯工業大學（山東省科學院）網絡空間安全學院教授，主要從事網絡空間安全研究;馬 賓（1973—），男，山東濟寧人，博士，齊魯工業大學（山東省科學院）網絡空間安全學院教授，主要從事信息隱藏研究。

[中圖分類號] TP393.08-4;G642.4 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）03-0141-04 [收稿日期] 2021-06-11

引言

近年來，信息技術的發展日新月異，網絡空間安全受到黨和國家的高度重視，國內眾多高校新成立了網絡空間安全學院。網絡空間安全學院的學生肯定需要學習密碼學類課程和信息安全類課程，而這些課程對學生的數學基礎要求很高，更具體地說，這些課程與數學中的初等數論、抽象代數和橢圓曲線等內容密切相關。雖然學生學過了“高等數學”和“概率統計”等數學類課程，但這些課程基本上與初等數論、抽象代數和橢圓曲線并不存在交集。因此，各個高校的網絡空間安全學院通常將“網絡空間安全數學基礎”（或“信息安全數學基礎”）設置為一門獨立的課程，安排本科生在大二期間進行學習。“網絡空間安全數學基礎”的主要內容一般是初等數論、素性檢測、抽象代數和橢圓曲線等，內容抽象，概念繁多，對學生的邏輯思維能力要求較高。近兩年筆者一直承擔學院的“網絡空間安全數學基礎”教學工作，深感在該課程的課堂引入、實踐教學、課程思政和考核方式等方面還存在一些突出問題。鑒于這種情況，探索出符合該課程特點的教學方法[1，2]，充分調動學生的學習積極性和主動性，并切實提高該課程的教學質量，無疑具有重要的現實意義。

一、教學中存在的主要問題

雖然國內眾多高校開設了“網絡空間安全數學基礎”這門課程，但教師的“教”和學生的“學”銜接得并不理想，使得最終的教學效果通常差強人意，在課程思政融入課堂教學等維度上更是存在明顯短板。筆者結合切身體會，總結了當前在該課程教學方面存在的一些突出問題。

（一）“重”理論知識傳授，“輕”課堂引入

“網絡空間安全數學基礎”這門課的理論性很強，概念和定理非常抽象，學習難度較大，特別是該課程中有關抽象代數和橢圓曲線的內容尤為抽象難懂。作為該課程的任課教師，我們肯定要按照教學大綱，完成規定的教學任務。鑒于有限的課時，教師們通常把該課程上成了純粹的數學課，只是側重于概念辨析、定理證明和計算推導等環節，而恰恰忽視了該課程是一門應用性很強的課程，忽視了該課程與密碼學和信息安全的“血肉聯系”。作為這門課的受眾群體，工科大二學生覺得大一終于把“高等數學”和“概率統計”這些數學類課程修完了，對于大二還要學習“網絡空間安全數學基礎”這種數學課程的必要性認識不到位。如果教師未采取合適的課堂引入方式，課上所講內容就無法有效地激發學生的學習興趣，就不容易讓學生入“腦”、入“心”，部分學生甚至還會認為這是一門可有可無的課程（考研時肯定不考，也不是安全方面的專業課）。

（二）“重”計算和證明，“輕”動手實踐能力培養

“網絡空間安全數學基礎”這門課中的許多知識點在密碼學和信息安全中都是有特定用途的，比如：歐幾里得算法可用于求兩個數的最大公因數（見RSA公鑰加密算法），擴展歐幾里得算法可用于求模意義下的逆元（見RSA公鑰加密算法），模重復平方算法可用于簡化模冪運算（見RSA公鑰加密算法），中國剩余定理可用于求解一次同余方程組（見Asmuth-bloom門限秘密共享方案），模意義下的指數通常可用于判斷一個數是否是模意義下的原根（見ElGamal公鑰加密算法），素性檢驗算法可用于判斷一個數是否是素數（見RSA公鑰加密算法），多項式環上的加、減、乘和求逆運算可用于設計基于有限域的密碼算法（見AES分組密碼算法），橢圓曲線加法運算可用于設計公鑰加密方案和數字簽名方案（見SM2橢圓曲線公鑰密碼算法），等等。在該課程的教學過程中，教師們通常滿足于學生能夠完成一些基本的計算（解答一些數很小的例題）和證明，平時作業和期末考試考查的均是學生在這些方面的能力。然而，在具體的密碼算法（如上面提到的RSA公鑰加密算法、ElGamal公鑰加密算法、SM2橢圓曲線公鑰密碼算法）中，所用到的數通常比較大（動輒數百比特），這就要求學生必須能夠編程實現這些密碼算法。因此，在該課程的教學過程中，還需要更加注重對學生動手實踐能力的培養。

（三）未能將課程思政元素融入課堂

課程思政指以構建全員、全程、全方位育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，把“立德樹人”作為教育的根本任務的一種綜合教育理念。習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調：“要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人。”習近平總書記還指出：“其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”[3]。2020年，教育部印發了《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》），明確指出，課程思政建設要在所有高校、所有學科專業全面推進。目前，在“網絡空間安全數學基礎”的教學過程中，課堂教學僅圍繞專業知識展開，基本上完全忽視了對學生的思想政治教育，這顯然有違《綱要》中對高校教師提出的要求。不可否認，“網絡空間安全數學基礎”是一門“理工味特別濃”的課程，怎么在該課程中既引入課程思政元素，又讓整個課堂教學顯得不突兀、很自然，讓學生聽起來沒有違和感，現在并沒有成熟的做法，很大程度上需要任課教師“摸著石頭過河”[4]，慢慢總結經驗。

（四）采用“一考定成績”的傳統考核方式

目前，“網絡空間安全數學基礎”這門課通常采用傳統的考核方式——期末考試和平時作業，其中平時作業一般是一些計算題和證明題。任課教師為了照顧班里各個層次的學生，有時候也是顧忌班里的及格率，出的期末試題和留的平時作業一般難度都不大。需要指出，這種傳統的考核方式并不能很好地調動學生的學習積極性，首先，平時作業的真實性本來就很難保證;其次，學生認為期末考試一般都能及格。這就導致班里的大多數學生對知識的掌握浮于表面，滿足于“及格萬歲”，欠缺知識的綜合運用能力。在這種傳統的考核方式之下，課程成績不能全面地反映學生的知識、能力和綜合素質。

二、教學方法探究

針對“網絡空間安全數學基礎”教學中存在的上述問題，再結合該課程的一些自身特點，筆者嘗試從如下幾個方面進行教學方法改革。

（一）精心選擇課堂引入方式，以解決密碼學和信息安全中的實際問題為目標，引入新課

“網絡空間安全數學基礎”課程的針對性和目的性非常強，這門課就是為了解決密碼學和信息安全中所涉及的具體數學問題而設置的，它的每一節課都與密碼學和信息安全中的一些具體數學問題密切相關。因此，如果任課教師開動心思，每節課都能找到一個很好的課堂引入方式。教師在課堂引入時拋出的這個問題也不用很大，它可以是密碼算法中的一個小步驟，但利用已有的知識來解決這個問題學生會有點束手無策。如果經過一節課的學習，利用所學知識可以從容地解決課堂引入時拋出的問題，學生就會有一種很強的收獲感。課堂引入時拋出的問題最好是與一些知名的密碼算法相關，學生能有所耳聞，這樣更容易引起學生的學習興趣。例如，以RSA公鑰加密算法的密鑰產生過程作為課堂引入，可以引出素性檢測、歐拉函數、歐幾里得算法、擴展歐幾里得算法、同余、模意義下的逆元等知識點;以RSA公鑰加密算法的加密過程作為課堂引入，可以引出模重復平方法等知識點，等等。

（二）巧留平時作業，培養學生的動手實踐能力

以歐幾里得算法這一節的平時作業為例，教師們通常留的作業是讓計算兩個數的最大公因數，為了方便學生手算，這兩個數一般都不超過四位數（十進制）。然而，在RSA公鑰加密算法的密鑰產生過程中，需要判斷選取的e是否與歐拉函數互素，也就是讓判斷e和的最大公因數是否為1，其中e和的長度最小也是數百比特（二進制），這顯然是無法用手算完成的，肯定需要借助編程來實現。任課教師完全可以給學生留個編程的平時作業，就是求兩個數的最大公因數，學生為了編這個程序，就必須對歐幾里得算法爛熟于心，這樣的平時作業既促進了學生對歐幾里得算法的學習，又鍛煉了學生的動手實踐能力，還能將課上所學理論知識與現實應用進行很好的銜接，一舉多得。同樣地，素性檢測這一節的平時作業可以要求學生編個程序，判斷一個數是否是素數;中國剩余定理這一節的平時作業可以要求學生編個程序，利用中國剩余定理求解一個一次同余方程組，等等。任課教師在課上要及時對一些優秀的作業進行點評，并將這些作業發布于該課程的專用QQ群中，供全體同學參考學習。

（三）將課程思政有機地融入課堂教學中

“網絡空間安全數學基礎”是一門“理工味特別濃”的課程，該課程似乎和思想政治教育“風馬牛不相及”，在該課程中引入思政元素也確實較為困難。然而，如果任課教師巧動心思，還是能夠挖掘出一些很好的思政元素的。比如，在講授中國剩余定理時，可以從《孫子算經》的“物不知數”問題（今有物不知數，三三數之有二，五五數之有三，七七數之有二，問物有幾何？），引出一次同余方程組求解問題;在講解中國剩余定理的思路時，可以借助明朝程大位的四句口訣：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。”順便點明，在金庸著名武俠小說《射雕英雄傳》中，黃蓉曾用這個“物不知數”問題為難瑛姑，瑛姑回答不出來，黃蓉才將這四句口訣告訴了瑛姑。用這種講法講中國剩余定理，事實上也是一個很好的課堂引入方式，學生的好奇心和求知欲都被大大地激發出來。用這種講法講中國剩余定理，還可以作為一個很好的課程思政環節，它不但弘揚了愛國主義精神和民族傳統文化，而且增強了學生的民族自信心。尤為可貴的是，這種將思政元素融入課堂教學的方式很自然、不生硬、不突兀，學生聽起來沒有違和感，如沐春風地、不知不覺地受到了思想政治教育。另外，在講授橢圓曲線時，可以講講中國國家密碼管理局發布的一個標準——SM2橢圓曲線公鑰密碼算法。SM2橢圓曲線公鑰密碼算法包括三個算法：公鑰加密算法、數字簽名算法和密鑰交換協議。2011年國家密碼管理局下發了《關于做好公鑰密碼算法升級工作的通知》，其中規定：新開發的、使用公鑰密碼的信息系統應使用SM2橢圓曲線密碼算法;已投入使用的、使用公鑰密碼的信息系統應盡快進行系統升級，使用SM2橢圓曲線密碼算法。上述通知的中心思想事實上只有一個：用SM2公鑰密碼算法取代RSA公鑰密碼算法（由美國開發），建立國產密碼算法支撐體系。教師在講到這里時，順便點出中美之間近年來的貿易戰、美國對中國高科技企業等的無端打壓和制裁。橢圓曲線的這種講法，事實上也是一個很好的課程思政環節，它弘揚了愛國主義精神，增強了學生的民族自豪感和使命感，使學生意識到，當代大學生要奮發圖強，勇于創新，不怕困難，敢于斗爭。

（四）采用注重過程的考核方式

為避免“一考定成績”，適當加大平時成績在總成績構成中的權重，平時成績主要依據平時作業質量進行評判。平時作業盡量是編程題，通過編程質量綜合考查學生對理論知識的掌握程度及解決實際問題的綜合能力。為了完成這種編程作業，學生肯定需要花費較多心思，可以極大地提高學習的積極性。另外，以這種編程的形式留作業，也可以有效地避免班級里出現大量的雷同作業。對于學生的作業，課下要及時批改，課上要及時點評。對于特別優秀的作業，要在該課程的專用QQ群中發布，供全體同學參考學習。

結語

以解決密碼學和信息安全中具體問題為目標的課堂引入方法可以有效地激發學生的學習興趣，使學生能充分認識到所學知識的重要性。在“注重過程的考核方式”指揮棒之下，通過巧妙地布置平時作業，提高學生的學習積極性，培養學生的動手實踐能力。響應黨和國家的號召，精挑細選課程思政融入點，將思想政治教育悄無聲息地融入課堂教學中，為實現立德樹人的教育目標貢獻自己的一份力量。

參考文獻

[1]郎榮玲，劉建偉，金天.信息安全數學基礎理論教學方法研究[J].計算機教育，2012（17）：33-35.

[2]高瑩，張宗洋，郭華，等.“信息安全數學基礎”課程反例教學法探究[J].工業和信息化教育，2019（4）：48-51.

[3]習近平：把思想政治工作貫穿教育教學全過程[EB/OL].（2016-12-08）[2021-04-02]. http：//www.xinhuanet.com/politics/2016-12/08/c_1120082577.htm.

[4]胡國勝，范曉燕，魯家皓.高職信息安全與管理專業“信息安全基礎”課程思政的實踐[J].德育研究，2020（6）：22-24.

Research on the Teaching Method of the Course of The Mathematical Foundation of

Cyberspace Security

CHEN Chuan， YANG Mei-hong， MA Bin

（School of Cyber Security， Qilu University of Technology 〔Shandong Academy of Sciences〕， Jinan， Shandong 250353， China）

Abstract： At present， many cyberspace security colleges in China have set up the course of The Mathematical Foundation of Cyberspace Security. There are some common problems in the teaching process of this course： putting too much emphasis on the teaching of theoretical knowledge， and neglecting the introduction link of classroom teaching; putting too much emphasis on calculation and proof， and neglecting the practical ability training; being unable to integrate the ideological and political elements into classroom teaching; still following the traditional assessment method of “one exam determines everything”. This paper attempts to analyze the causes and hazards of these problems， and puts forward some countermeasures： carefully choosing the way of classroom introduction; paying more attention to cultivating students’ practical ability; integrating ideological and political education into classroom teaching; paying attention to process assessment method.

Key words： cyberspace security; mathematical foundation; classroom introduction; practice teaching; “curriculum ideological and political education”